几何最值问题参考答案.docx
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几何最值问题参考答案
几何最值问题
一.选择题（共6小题）
1.（2015?
孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6,点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（）
A.3B.3{C.2「；D.3.
考轴对称-最短路线问题.
占：
八、、♦
分由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P,由对称的性质可得,
析：
PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值.
解解：
•••△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
答：
•••BD丄AC,EC=3,
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
•••点E是边BC的中点，
•AE丄BC,
•人日也严_肿制护_护=3頁，
•PE+PC的最小值是3.「；.
点本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
评：
2.（2014?
鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB,AB=50cm,A、B到x轴的
距离分别为10cm和40cm,B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q,当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）
Y1
0
X
A.50B.50C.50口—50D.50!
.+50考轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.
占：
八、、♦
专压轴题.
题：
分过B点作BM丄y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN丄x轴交x轴于F点,析：
截取NF=AF，连接MN交X,Y轴分别为P,Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长.\
解解：
过B点作BM丄y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN丄x轴交x轴于答：
F点，截取NF=AF，连接MN交x,y轴分别为P,Q点，
过M点作MK丄x轴，过N点作NK丄y轴，两线交于K点.
MK=40+10=50,
作BL丄x轴交KN于L点，过A点作AS丄BP交BP于S点.\
•••ln=as=M5/—（純―io）'mo.\
•••KN=60+40=100.
二MN=^^i^=50丽.\
•/MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50.；
•四边形PABQ的周长=50!
.+50.
故选D.
A
-WE
B
Bs>
h.
Q
=丁
o
点本题考查轴对称-最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形
评：
的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长.
3.（2014秋？
贵港期末）如图，AB丄BC，AD丄DC，/BAD=110°在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，/MAN的度数为（）
AH
A.30°B.40°C.50°D.60°考轴对称-最短路线问题.
占：
八、、♦
分根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作
析：
出A关于BC和CD的对称点A',A〃，即可得出/AAM+/A〃=/HAA'=70°进而得出/MAB+/NAD=70°即可得出答案.\
解解：
作A关于BC和CD的对称点A',A〃，连接AA〃，交BC于M,交CD于N,答：
则A,〃即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH,.
•/ZDAB=110\
:
.ZHAA=70°,
•••ZAA'M+ZA〃=ZHAA=70°\
•/ZMA'=ZMAB,ZNAD=ZA〃，\
•ZMAB+ZNAD=70°
•ZMAN=110。
-70°=40°\
故选B.
点本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的
评：
外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M,N的位置是解题关键.
4.（2014?
无锡模拟）如图，ZMON=90°矩形ABCD的顶点A,B分别在OM、ON上，
当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,
BC=运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）
M
A.-；-B.严C.2D.-■:
考勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线.
占：
八、、♦
分取AB的中点，连接OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE,
析：
利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、
D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF丄OD于F,利用ZADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD.
解解：
如图，取AB的中点，连接OE、DE,
答：
•/ZMON=90°/
•OE=AE=*AB=*>2=1,
•••三边形ABCD是矩形，
•AD=BC=|f:
;,\/
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE=•••|；-j-J=2,
由三角形的三边关系得，0、E、D三点共线时点D到点0的距离最大,
此时，OD=OE+DE=1+2=3,
过点A作AF丄0D于F,则cos/ADE=—丄,
DEAD
•/0D=3,
•••点F是0D的中点,
•••AF垂直平分0D,
•0A=AD=：
.故选B.
点本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线评：
等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助
线并判断出0D最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观.
5.（2015?
鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1,长为：
的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan/MBC的值是（）
D
A.二
\B.1
C..二
D.1
3
3
C
考轴对称-最短路线问题；正方形的性质.
占：
八、、♦
分根据题意得出作EF//AC且EF=二，连结DF交AC于M,在AC上截取MN=.■:
析：
此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案.
解解：
作EF//AC且EF=】：
，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=.；:
，延长DF答：
交BC于P,作FQ丄BC于Q,
则四边形BMNE的周长最小，
由/FEQ=/ACB=45°可求得FQ=EQ=1,
•//DPC=/FPQ,/DCP=/FQP,
•••△PFQs^PDC,
丄一
FQ
PQ+QE4EC
'|，
1-
11
PQ+2
解得：
PQ二二
3/
•PC』，
3/
S
由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=_'二.
Z40
故选：
A.
A
B
C
点此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M,N的位置是解
评：
题关键.
6.（2015?
江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点,
以CE为半径OC.G是OC上一动点，P是AG中点，贝UDP的最大值为（）
D.4'
2\2
考圆的综合题.
占：
八、、♦
分根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得
析：
1
'DP==BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题.
解解：
连接BG,如图.
答:
•/CA=CB,CD丄AB,AB=6,
•••AD=BD=1AB=3.
2
又•/CD=4,
•BC=5.
•••E是高线CD的中点，
•CE=」CD=2,
\2/
•CG=CE=2.
根据两点之间线段最短可得：
BGCG+CB=2+5=7.
当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7.
•••P是AG中点，D是AB的中点，
•DP最大值为丄
故选A.
点本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定
评：
理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题
的关键.
二.填空题（共3小题）
7.（2014?
江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4,C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是2.
考
占：
八、、♦
分
析:
等腰直角三角形.
设AC=x,BC=4-x,根据等腰直角三角形性质，得出
根据勾股定理然后用配方法即可求解.
解解：
设AC=x,BC=4-x,
答:
占
八、、
评:
•••△ABC,△BCD均为等腰直角三角形,
•••CD=L,CD=:
（4-x）
22
•/ZACD=45°/BCD=45°
•ZDCE=90°
•DE2=CD2+CE2=^x2+丄（4-x）2=x2-4x+8=（x-2）2+4,
2^2\
•••当x取2时，DE取最小值，最小值为：
4.
故答案为：
2.
本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.
&（2012?
河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=4时，四边形APQE的周长最小.
A
D
V
£
p
Q
考轴对称-最短路线问题.
占：
八、、♦
专压轴题.
题：
分要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即析：
可.为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F'、点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线
交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交
DC的延长线于H点，那么先证明ZGEH=45°再由CQ=EC即可求出BP的长度.
解解：
如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G,连接EG与答：
BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作
BC的平行线交DC的延长线于H点.
•/GH=DF=6,EH=2+4=6,ZH=90°/
:
.ZGEH=45°.\/
设BP=x，贝UCQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,
在厶CQE中，•/ZQCE=90°ZCEQ=45°
•CQ=EC,
•6-x=2,
解得x=4.
故答案为4.
占
八、、
评:
题目具有一定的代表性，是
一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求.
9.（2013?
武汉）如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_辰1.\
B
n
考
正方形的性质.
占：
八、、♦
专
压轴题.
题：
分
根据正方形的性质可得AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG，然后利用
析:
\边角边”证明△ABE和厶DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/仁/2,利用
SAS”证明△ADG和厶CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/3,从而得
到/仁/3，然后求出/AHB=90°取AB的中点O,连接OH、OD，根据直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=2aB=1，利用勾股定理列式求出OD，然
\2/
后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小.
解解：
在正方形ABCD中，AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG,
答：
在厶ABE和厶DCF中，
[
AB=CP\/
ZBAD=ZCDA,\/
AE=DF\/
:
.△ABE◎△DCF（SAS）,
•••/1=/2,
在厶ADG和厶CDG中，
1
AD=CE
Zadg=Zcdg，
DG=DG//、
:
.△ADG◎△CDG（SAS）,
•••/2=/3,
•••/1=/3,
•//BAH+/3=/BAD=90°
•/1+/BAH=90°
•/AHB=180°-90°=90°,
取AB的中点0,连接OH、0D,
贝U0H=A0=_AB=1,
/2
在Rt△A0D中，0D=」j.j丄•：
='!
,
根据三角形的三边关系，0H+DH>0D,
•••当0、D、H三点共线时，DH的长度最小,
最小值=0D-0H=!
-1.
（解法二：
可以理解为点H是在RtAAHB,AB直径的半圆上■，上运动当0、H、D
占
八、、
评:
点共线时，DH长度最小）
直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关
键，也是本题的难点.
三.解答题（共1小题）
10.（2015?
黄冈中学自主招生）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC（其中/BAC是一个可以变化的角）中，AB=2,
AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值.
小伟是这样思考的：
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合•他的方法是以点B为旋
转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A'BC，连接AA，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）.\/
请你回答：
AP的最大值是6.
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,PABC内部一点，贝UAP+BP+CP的最小值是_
（或不化简为二二「厂—.（结果可以不化简）
考点专题分析解答
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形.
几何综合题.
（1）根据旋转的性质知AA=AB=BA=2,AP=AC,所以在△AA'C中，利用三角形三边关系来求A'C即AP的长度；
（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B.根据旋转的性质推知
PA+PB+PC=P'A+P'B+PC.当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A'+P'B+PC）最短，即线段A'C最短•然后通过作辅助线构造直角三角形ADC,在该直角三角形内利用勾
股定理来求线段AC的长度.
解：
（1）如图2,•/△ABP逆时针旋转60°得到△ABC,
•••/ABA=60°,AB=AB,AP=AC
•••△ABA是等边三角形，
•A'A=AB=BA=2,
在厶AA'C中，A'CvAA+AC，即APv6,
则当点AA、C三点共线时，AC=AA'+AC，即AP=6，即AP的最大值是：
6；故答案是：
6.
（2）如图3,•/Rt△ABC是等腰三角形，•AB=BC.
以B为中心，将△APB逆时针旋转60。
得到△A'P'B.贝UA'B=AB=BC=4,PA=PA',PB=PB,
•PA+PB+PC=P'A'+P'B+PC.
•••当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，
•A'C=PA+PB+PC,
•A'C长度即为所求.
过A'作A'D丄CB延长线于D.
•••/A'BA=60°（由旋转可知），
•/仁30°/
•/A'B=4,
•A'D=2,BD=2々花
•CD=4+2二
在Rt△A'DC中A'C=；|「一厶_-；=2■+2i.；
•AP+BP+CP的最小值是：
2琲弓+2」（或不化简为■':
1'；）.
故答案是：
2：
+2（或不化简为.—―；）
占
八、、
评:
本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质•注意：
旋转前、后的图形全等.
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