四年级奥数数论奇偶性质与染色性质C级学生版.docx

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四年级奥数数论奇偶性质与染色性质C级学生版

奇偶性质与染色问题

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数

性质2：

偶数±奇数=奇数

性质3：

偶数个奇数的和或差是偶数

性质4：

奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：

偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

三、两个实用的推论

推论1：

在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：

对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶

【例1】是否存在自然数a和b，使得ab（a＋b）=115?

【巩固】是否存在自然数

和

，使得

？

【例2】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。

求证：

是一个偶数。

【巩固】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：

但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？

【例3】数列

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的排列规律是前两个数是

，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前

个数中共有几个偶数？

【巩固】八十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：

0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数是奇数还是偶数？

【例4】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？

【巩固】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，154．问：

原来写的三个整数能否为1，3，5？

【例5】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。

【巩固】你能不能将整数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?

【例6】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：

“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？

”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？

【巩固】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：

“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：

“是化学家．”那么请你证明：

k为偶数．

【例7】在一张

行

列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如

．问：

填入的

个数字中是奇数多还是偶数多？

【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：

．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？

【例8】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：

78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？

【巩固】商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。

上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。

剩下的一桶重千克。

【例9】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：

每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：

现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?

并简述你的理由．

【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？

【例10】有一个袋子里装着许多玻璃球．这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的．假设有人从袋中取球，每次取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只黑球．请问：

原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？

【巩固】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球42个、黄球23个、蓝球43个，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？

【例11】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?

为什么？

【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

（1）如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？

（2）某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？

为什么？

【例12】右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

【巩固】右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

【例13】用11个

和5个

能否盖住8×8的大正方形?

【例14】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

【巩固】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问：

能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.

【例15】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图

（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？

如果有80棵果树，如图

（2），连小屋排成九行九列呢？

【巩固】9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！

【随练1】李东到商店买练习本。

每本3角，共买9本。

服务员问：

“你有零钱吗?

”李东说：

“我带的全是5角一张的”。

服务员说：

“真不巧，您没有2角一张的，我的零钱全是2角一张的，这怎么办?

”你帮李东想一想，他至少应该给服务员________张5角币。

【随练2】用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．

【随练3】黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5．每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；……）.如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是．

【作业1】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：

，他做得对吗？

【作业2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。

（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10

（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27

【作业3】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：

8丛植物上能否一共结有225个浆果?

说明理由．

【作业4】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、

、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？

【作业5】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？

【作业6】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3（如图）．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。

问：

是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?

【作业7】一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：

哪个阅览室的桌子数是奇数？

【作业8】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？

【作业9】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座（前后左右）上去，问这能否办到?

【作业10】用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

家长意见及建议

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