复杂电路等效电路.docx
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复杂电路等效电路
复杂电阻网络的处理方法
在物理竞赛过程中经常遇到，无法直接用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻的情况,这样的电路也就是我们说的复杂电路，复杂电路一般分为有限网络和无限网络。
那么，处理这种复杂电路用什么方法呢？
下面，我就结合自己辅导竞赛的经验谈谈复杂电路的处理方法。
一：
有限电阻网络
原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。
它包含的两类方程出自于
两个自然的结论：
（1）对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。
电
路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。
下面我介绍几种常用的其它的方法。
1:
对称性简化
所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算。
它的效果是使计算得以简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法
在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时,这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响），充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。
例
（1）如图1所示的四面体框架由电阻都为RC勺6根电阻丝连接而成，求两顶点AB间
的等效电阻。
◎分析：
假设在AB两点之间加上电压，并且电流从A电流入、B点流处。
因为对称性，图
中CD两点等电势，或者说CD间的电压为零。
因此，CD间的电阻实际上不起作用，可以
拆去。
原网络简化成简单的串、并联网络，使问题迎刃而解。
解：
根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得
FAb=R/2
例
（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻为
R,试求图中AB两点之间的等效电阻。
图3图4图5
分析：
从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。
从如图4所示的网络中可以看出，从A
点流到0电流与从0点到B电流必相同；从A1点流到0电流与从0点到B1电流必相同。
据此可以将0点断开，等效成如图5所示的简单网络，使问题得以求解。
解：
根据以上分析求得Rab=5R/48
例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。
求A、G之间的电阻是多少?
2|7所示
C
的简单虫路。
G
分析：
假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性DBE的电势是相等的,C、
B
F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图’
A
解:
由简化电路，根据串、并联规律解得Rag=5R/6
（同学们想一想，若求AF或A、E之间的电阻又应当如何简化？
）
例（4）在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R,试求A、B之间的等效电阻
D
B
A
图10
11
分析：
由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。
而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。
解法（a）:
简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起
作用的两段电阻，使之等效变换为如图10所示的简单网络。
最后不难算得
RA=ROe=5R/14
RAb=Rac+Rde=5R/7
解法（b）:
简化为如图所示的网络以后，将图中的0点上下断开，如图11所示，最后不难
算得
RAb=5R/7
2:
电流分布法
例：
有如图12所示的电阻网络，求A、B之间的电阻RAb
分析：
要求A、B之间的电阻甩b按照电流分布法的思想，只要设上电流以后，求得A、B间
的电压即可
图12解：
设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。
根据分流思想可得
I2=|-|1
I3=I2-I1=|-2I1
A、0间的电压，不论是从A0看，还是从ACC看，都应该是一样的，因此
I1（2R）=（I-I1）R+（I-2I1）R
A
B
解得I1=21/5
取AOB路径，可得AB间的电压
b=|1*2R+|4*R
根据对称性
I4=12=1-11=3I/5
所以UAb=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5
Rxb=U/=7R/5
这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。
3:
Y△变换复杂电路经过丫△变换，可以变成简单电路。
如图13和14所示分别为△网络和丫网络,
两个网络中得6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢?
b
Ia=IA,Ib=IB,Ic=Ic
在丫网络中有
IaRa-|bR=Ub
在△网络中有
解得Ia=（Ub/Rab）-（Uca/Rca）
因为要求Ia=IA，所以
又因为要求UAB，Uca=UcA所以要求上示中对应项系数相等，即
IcR-|aR=Ua
用类似的方法可以解得
Rc=（RaR+RR+RR）/Ra（3）
（1）、
（2）、（3）三式是将丫网络变换
到△网络的一组变换式。
在
（1）、
（2）、（3）三式中将RAb、Fk、Ra作为已知量解出艮、R、
R即可得到R3=FAb*Rc//（Rab+FBc+FC/）（4）
Rd=Rae*Rb（/（Rab+Rjc+Rz）
（5）R=RjC*Rca/（RAe+Rbc+Rd/）
（6）（4）、（5）、（6）三式是将△网络变换到丫网络的一组变换式
例
（1）求如图15所示双T桥网络的等效电阻RAb，
图16
图15
分析：
此题无法直接用串、并联规律求解，需要将双T桥网络中两个小的丫网络元变换成两个小的△网络元，再直接用串、并联规律求解即可。
解：
原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得Rab=118/93Q
4:
电桥平衡法
如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中R、R、R、F4分别叫电桥的臂，G是灵敏电流
计。
当电桥平衡（即灵敏电流计的示数为零）的时候，我们称之为电桥平衡。
这时有
I1=12,
I3=|4,|1R=I3恳，|2R=|4R1
有这些关系可以得到
R1/R2=F3/R4上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化对称性不明显的
电路，十分方便。
图19
例：
有n个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。
分析：
粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便得求解。
解：
如右图所示，设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱CDE----中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻都可
以删除，这样电路简化为:
A、B之间连有电阻R,其余（n-2）个接线柱之间仅有电阻分别与AB两点相连，它们之间没有电阻相连。
即
1/Rab=1/R+1/[2R/（n-2）]
所以RAB=2R/n
二：
无限电阻网络
无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论
1:
线型无限网络
所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用“无限”这
R,求AB之
个条件，再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。
例
（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是
C
间的等效电阻RaA.
T^^T^=|-rI
匕图2』
D
解：
因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即Bb应该等于
从CD往右看的电阻RCd
RAb=2R+R*R/（R+Rci）=Rcd
整理得Rc3-2RR^2R2=0
解得：
Rc=（1+31/2）R=RAb
例
（2）一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。
图22图23
解：
此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则
Rb=（2Rx+r）r/（2Rx+2r）即是无穷网络，bb1之间的电阻仍为R贝9Rx=（31/2-1）r
代入上式中解得RU二（6-31/2）*r/6
2:
面型无限网络
解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。
A
?
__B
例
（1）如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点AB之间的等效电阻。
分析：
假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到
B点。
假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面
八方汇集到B点后流出，根据对称性，同样有1/4
电流经A点流到B点
图27
解：
从以上分析看出，AB段的电流便由两个1/4叠加而成，为1/2因此UAB=（l/2）*r
A、B之间的等效电阻RAB=U/l=r/2
例
（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如下图所示。
所有正六边型每边的电阻均为R），求间位结点a、b间的电阻。
分析：
假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有
I/3电流由a流向
c,有I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集
4
由f流向c,有I/3电流由c流向b.
解：
将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知
9
那么必有1/6电流
Iac=I/3+I/6=I/2（由a流向c）
Icb=I/3+I/6=I/2（由c流向b）
因此ab之间的等效电阻为
Rab=Ub/l=（lacR+lcbR）/l=R0
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