高中简单立体几何体附例题详解.docx

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高中简单立体几何体附例题详解

2.简单几何体

知识网络

简单几何体结构简图

画龙点晴

概念

棱柱：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所

围成的几何体称为棱柱。

两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.

棱柱的分类:

按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:

斜棱柱:

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：

侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

按底面的多边形的边数可分为:

底面是三角形、四边形、五边形我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四

棱柱、五棱柱

棱柱的表示法:

棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:

棱柱,或棱柱.

棱柱的性质：

（1）侧棱都相等,侧面都是平行四边形；

（2）两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；

直棱柱的性质:

直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体:

底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.

长方体:

底面是矩形的直平行六面体叫做长方体,长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱

的长的平方和.

正方体:

棱长都相等的长方体叫做正方体.

公式

棱柱的侧面积和全面积:

直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高h的乘积,即S直棱柱

Ch,斜棱柱的侧

面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长C1与侧棱长l的乘积,

即S斜棱柱侧

C1l

棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.

[活用实例]

[例1]如图，在平行六面体1B1C1D1中，已知5，4，1=3，，A113，

（1）求证:

顶点A1在底面的射影O在∠的平分线上;

（2）求这个平行六面体的表面积.[题解]

（1）如图,连结A1O,则A1O⊥底面.

作⊥交于M,作⊥交于N,连结A11N.

由三垂线定理得A1M⊥1N⊥.

∵∠A1∠A1,∴△A1≌△A1.∴A11N.

∴.∴点O在∠的平分线上.

（2）AM

AN3,

2

AA1

cos

3

313,

22

33

侧面1和侧面1的面积都等于4

=6,侧面1和侧面1的面积都等于5

2

=7.5,

2

又，两底面面积都等于45=20，平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2]如图1B1C1是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面的交线记作l.

（1）判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;

（2）若A1143,∠90°,求顶点A1到直线l的距离.

[题解]

（1）根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面平行.

由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A11,直线l=平面A11∩平面.

根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.

（2）解法一:

过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.

连结.由直棱柱的定义知A1A⊥平面.

∴直线是直线A1E在平面上的射影.

又l在平面上,根据三垂线定理的逆定理有⊥l.

由棱柱的定义知A1C1∥,又l∥A1C1,l∥.作⊥于D,则是△斜边上的高,且,

从而ABBC4312.

AC55

在△A1中,∵A11,∠A190°,

A1E

AE2

A1A

（12）212

5

13.

5

13

故点A1到直线l的距离为.

5

解法二:

同解法一得l∥.

由平行直线的性质定理知∠∠,从而有△∽△,

AEBC

AB

以下同解法一.

AC

[例3]如图,已知A1B1C1是正三棱柱是中点.

（1）证明1∥平面1;

（2）假设1⊥1,求以1为棱1与1为面的二面角α的度数.

[题解]

（1）∵A1B1C1是正三棱柱,∴四边形B11是矩形.

连结B1C交1于E,则B1.连结.

在△1C中,∵,∴∥1.

又AB1

平面1,平面1,∴1∥平面1.

（2）作⊥,垂足为F,则⊥面B11,连结,则是在平面B11上的射影.

∵1⊥1,由

（1）知1∥,∴⊥1,则1⊥,∴∠是二面角α的平面角.

设1,则1.

2

∵△是正三角形,∴在△中,

DFDC

sinC

3

DC

4

cosC1.4

取中点G.∵,∴⊥.在△中1,

EF2

BFGF,

又3,1,

44

EF2

3133

.

即

44164

tan

DEFDFEF

3

41.

3

4

∴∠45°.故二面角α为45°.

概念

棱锥：

有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的分类:

按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥

棱锥的表示法:

棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示.

例如,棱锥,或棱锥.

正棱锥：

底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.

正棱锥的性质：

（1）各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

（2）棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；

（3）棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。

一般棱锥的性质:

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比；截得棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们相应的高的平方比。

棱锥的中截面:

过棱锥的高的中点并且平行于底面的截面叫做棱锥的中截面.

公式

正棱锥的侧面积和全面积:

正棱锥的侧面积等于底面周长C与斜高

h/乘积的一半.

即S正棱锥侧

1Ch/.

2

[活用实例]

[例4]如图,在三棱锥中在底面上的射影N位于底面的高上是侧棱上的一点,使截面与底面所成的角等于∠.

求证：

垂直于截面.

[题解1]因为是底面的垂线是斜线在底面上的射影⊥,所以⊥（据三垂线定理）.

连结.

因为⊥⊥,所以垂直于和所决定的平面.

又因在这平面内,所以⊥.

∴∠是截面与底面所成二面角的平面角,∠∠.

在△和△中,因为∠∠,∠是公共角,所以∠∠90°从而⊥.

从⊥⊥,可知⊥截面.

[题解2]连结，因为是底面的垂线⊥,所以⊥（据三垂线定理）.从而⊥平面.

因都在平面内,故⊥⊥.

由⊥⊥,可知∠是截面与底面所成二面角的平面角,∠∠.

以下同证法一,故⊥截面.

[题解3]连结.因为分别在△的两边上,所以和都在平面内,且相交于一点P.

又因是底面的垂线⊥,所以⊥（据三垂线定理）.

∴∠是截面与底面所成二面角的平面角,∠∠.

又∠∠,∠是△和△的公共角,故∠∠90°.从而⊥.

从⊥⊥,可知⊥平面.因为是平面内的直线,所以⊥.

从⊥⊥,可知⊥截面.

[例5]如图，正四棱锥的棱长和底面边长均为a,求：

（1）侧面与底面所成角的余弦；

（2）相邻两个侧面所成二面角的余弦。

S

[题解]

（1）作⊥面于O，作⊥于E，连接，则⊥，，

SE3

2

a,OE

1a,

2

cos

OE3.F

SE3DC

OE

（2）设的中点为F，连接、，和都是正三角形，

AB

BFSA,DF

SA,

BFD.

BFDF

3

a,BD

2

2a,

cos

DF2

2

BF2

DF

BD21

.

BF3

概念

多面体：

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.两个面的公共边叫做多面体的棱.若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.

凸多面体:

把多面体的任何一个面伸展为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体.

正多面体：

每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点这其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做

正多面体.

正多面体的种类:

正多面体只有五种：

正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其中

正四面体、正八面体、正二十面体的面是正三角形，正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。

公式

欧拉公式:

简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律2，它叫做欧拉公式。

[活用实例]

[例6]如果一个凸多面体，各顶点引出奇数条棱，求证：

顶点数为偶数。

[题解1]假设多面体的顶点数21（n1*），第i个顶点处有21条棱（1,*），棱数为E，则2（2m1+1）+（2m2+1）+（21）+（2m21+1）

=2（m12+m21）+（21）.

1

（m12+m21）.

2

这与棱数是正整数矛盾，此多面体的顶点数为偶数。

[题解2]设顶点数为V，各顶点引出的棱数分别为2n1+1、2n2+1、、21（1，*）,

则棱数

1[（2n1+1）+（2n2+1）++（21）],

2

22（n12+）,22（n12+）.故V一定是偶数.

0

[例7]一个多面本，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600，

求这个多面体的面数F、顶点数V及棱数E.

0

[题解]设多面体的每个面的边数为x，每一个顶点处出发的棱数为y，则

3600

0

（x2）

180,F

（2）=20,

20.

x2

Fx10x.又E

Vy,V2E

20x.

2x2

2y（x

2）y

代入欧拉公式得

20x

2010x

2.x2

10.

*

（x2）y

x2x2

3y5

又x3,（x

*

N）,

3,（y

）,可得3y

5.3,4,5.

*

y3或4N,5时3,

这个多面体的各面是三角形，各顶点处有5条棱，所以，这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱.

[例8]一个简单多面体的顶点数为12，以每个顶点为一端都有3条棱，面的形状只有四边形和六边形，求多面体中四边形和六边形数目。

[题解]设这个多面体中四边形和六边形分别有x个、y个，则面数，

3V

12且每个顶点为一端都有3条棱，

2

1（3

2

12）18，

由欧拉公式2，得12+（）-18=2，即8①，

又1（4x

2

6y）

1（3

2

12）

，即时2318②，

由①、②解得62，

该简单多面体有6个四边形，2个六边形。

概念

体积:

几何体占有空间部分的大小叫做它的体积.

定理

祖暅原理：

夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

公式

长方体的体积:

V长方体

abc,其中

a,b,c分别为长方体的长、宽、高.

正方体的体积:

V正方体

a3,其中a为正方体的棱长.

柱体的体积公式：

V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

锥体的体积公式：

V锥体=1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

3

[活用实例]

[例9]三棱锥A—中，且，，是、的公垂线段，，求三棱锥的体积，。

.

[题解]连、，

ABCD,AB

EF,CD

EFF,则平面，则

1

SCED

3

=

AE1S

3

1mnh.

6

CEDBE

1

SCEDAB

3

11CDEFAB32

点评：

这里用的就是分割，把一个三棱锥分割成两个，分别求体积。

o

[例10]三棱锥P—中，，2a，60，求三棱锥P—的体积.

o

[题解]在中，，2a，60，由余弦定理可得

3a，

222

，

PAPB,

同理可证，平面，也就是可以把作为

底面，高，只需求的面积即可。

o

∵2a，602a，边上高线

3a，

SPBC

VAPBC

1BC

2

1S

3

PD

PBCPA

12a

2

1

3

3a

3a2a

3a2,

3

3

a3.

点评：

（1）三棱锥的四个面都可以做底面，解题时可根据具体问题选择；

o

（2）本题也可以用作底，由已知从A点出发的三条射线两两所成角都是60

O落在的平分线上，是高线，由已知条件求出正三角形的面积，再求出长即可。

[例11]已知1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱1与1的中点，求四棱锥A11的体积。

，点P点在平面上的射影

[题解]EB

BFFD1

D1E

a2（

a）2

2

5a,

2

A1D1

四棱锥A11的底面是菱形，连接，则

EFB

EFD1，

1

VAEFB

VAEFD,

CC1

||平面1A1，

1

B1C

E

1

1

三棱锥1的高是1到平面1的距离，即棱长a，

AF

D

BC

SEBA1

1

A1EAB

2

1aa1a2.

224

VA1

EFB

VFEBA1

11a2a

34

1a3.

12

VA1

EBFD1

2VA1

EFB

1a3.

6

点评：

本例运用“等积变换”和“割补”的思想，将求一个四棱锥的体积转化为求两个体积相等的三棱锥的体积，而求三棱锥的体积又利用了三棱锥的特点（体积的自等性），从而简化计算。

概念

球：

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心.连结球心和球面上任一点的线段叫做球的半径.连结球心和球面上两点并且经过球心的线

段叫做球的直径.球面也可以看作与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）.

球的表示:

一个球通常用它的球心的字母来表示,例如球O.

球的截面的性质：

（1）球的截面是圆面;

（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面;

（3）球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系是

R2d2.

球的大圆和小圆:

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.

两点间的球面距离:

在球面上，两点之间的最短路线,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点间的球面的距离.（求两点间的球面的距离的关键，在于求出过这两点的球半径的夹角）.

经度:

某地的经度是一个二面角的度数，即经过该地的经线所在半圆面与00经线所在半圆面所成的二面角的度数。

纬度:

某地的纬度是一个线面角的度数，即该地与球心的连线与赤道平面所成角的度数。

公式

球的表面积公式:

设球的半径为R，则球的表面积为S球面=4R2，即球的面积等于大圆面积的4倍。

43

球的体积公式:

V球

3

[活用实例]

.其中R为球的半径.

[例12]在球O内有相距1的两个平行截面，截面面积分别为52和82，球心不在截面之间，求球O的表面积。

[题解]作球O的轴截面如图所示，圆O是球的大圆，

A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，

B1C1

A

1

C

过O作1A1B1

于C1

，交A

2B2

于C2，A

1B12B2，

1A2B2，

B2A2

2

O

C1、C2分别为A1B1、A2B2的中点，

设两平行截面的半径分别为r1、r2,且r2>r1,则有r12=522=8,

2

2

r1=5,r2

=8,

r

2

1、2都等于球的半径R，

r

1

1=R22

R25，2=R22

R28，

2

2

2

R5R81，解得9，

S球=49=36（

2）.

[例13]A、B、C是球面上三点，已知弦18，24，30，平面与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积。

[题解]222，为直角三角形，

的外接圆O1的半径15，AO1C

B

因圆O1

即为平面截球O所得的圆面，因此有R2=（

R）2+152，

O

2

2

2

R=300，S球=4R

=1200（

2）.

点评：

求球的表面积实际上即求球的半径，要注意利用球的截面的性质.[例14]设地球的半径为R，在北纬600圈上甲、乙两地，它们在纬度圈

R

上的弧长是

求这两地的球面距离。

2

[题解]如图北纬600圈小圆的半径，O

01

1160,

北纬600圈上弧长是

R的弧对的圆心角

2

2

R

12，

1

AO1B

RO

2

即为北纬600圈小圆的直径，由，

OAB

R

AOC,

3

为正三角形，为球心角，弧

即为所求.

3

[例15]如图，球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的长为4，求这个球的半径。

[题解]由已知600，

则、、是等边三角形，是正三角形，

1，经过这三个点的小圆周

6

3

设球半径为R，，则，外接圆半径，

3

由已知小圆即外接圆周长为4，即2，

32，23.

3

[例16]正三棱锥的侧棱长为，两侧棱的夹角为2，求其外接球的体积.

[题解]如图，作底面于D，则D为正三角形的中心，P

OD底面，P、O、D三点共线，

PAPBPC

APB2,

AB22

22cos2

2sin,

AD3AB

3

23sin，O

3

设APD，作于E，在PAD中，C

DA

B

sin

AD23

PA3

sin

，又，

PE1PA1，

22

.