强度折减法在HoekBrown准则中的应用.docx
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强度折减法在HoekBrown准则中的应用
第卷第期中南大学学报自然科学版
386（Vol.38No.62007年12月J.Cent.SouthUniv.（ScienceandTechnologyDec.2007
强度折减法在Hoek-Brown准则中的应用
林杭,曹平,赵延林,李江腾
（中南大学资源与安全工程学院,湖南长沙,410083
摘要:
为了在Hoek-Brown准则中实施强度折减法,并使其得到的结果与Mohr-Coulomb准则中强度折减法得到的结果等效,首先,通过理论推导确定Hoek-Brown准则参数m,s,σci与粘结力c和内摩擦角φ之间的关系;
然后,进一步得到在Hoek-Brown准则中实施强度折减法时,m,s和σci的折减系数以及它们之间的关系;最后,由FLAC3D软件建立计算模型,采用所确定的折减方法计算边坡的安全系数,并将该结果与Mohr-Coulomb准则得到的结果进行对比,结果表明:
参数m,s和σci的折减系数须满足一定关系,强度折减法在Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则中得到的安全系数的差别为3.54%,差别微小,从而验证了所确定的折减方法的可靠性。
关键词:
Hoek-Brown准则;Mohr-Coulomb准则;等效;强度折减法;FLAC3D软件
中图分类号:
TU353.6文献标识码:
A文章编号:
1672-7207（200706−1219−06
ApplicationofstrengthreductionmethodinHoek-Browncriterion
LINHang,CAOPing,ZHAOYan-lin,LIJiang-teng
（SchoolofResourcesandSafetyEngineering,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China
Abstract:
InordertoimplementthestrengthreductionmethodintheHoek-Browncriterion,andmaketheresultobtainedbyHoek-BrowncriterionequivalenttothatbyMohr-Coulombcriterion,somedeductionsandnumericalcalculationsweredone.Firstly,therelationshipsamongHoek-Brownparametersm,s,σciandcohesionc,internalfrictionangleφwereestablishedbytheorydeduction.Secondly,thereductionfactorsofm,s,σciwereobtainedbyfurthertheorydeductionandtheirrelationshipsamongthesefactorswerefound.AtlastthecalculationmodelswereobtainedbyFLAC3Dsoftware.Inthecalculationprocedureforsafetyfactorofslope,theproposedreductionmethodwasadopted.
ThecomparativeanalysiswasdoneforthesafetyfactorsobtainedbyHoek-BrownandMohr-Coulombcriterion.Theresultshowsthat,threereductionfactorsform,sandσcishouldsatisfycertainrelationship,thedifferencebetweenthetwosafetyfactorsis3.54%,whichisverysmall,whichprovesthatthereductionmethodproposediscorrect.
Keywords:
Hoek-Brwoncriterion;Mohr-Coulombcriterion;equivalence;strengthreductionmethod;FLAC3Dsoftware
近年来,随着计算机技术的发展,弹塑性数值技术日趋成熟和完善[1−8],采用数值方法对边坡的稳定性进行评判成为可能,其中,强度折减法是一种重要的方法,其原理是逐渐折减边坡的强度参数,直到临界失稳状态,此时所对应的折减系数即为边坡的整体安全系数。
目前,强度折减法主要针对Mohr-Coulomb准则进行实施,即对抗剪强度参数粘结力c、内摩擦角φ进行折减,从而得到边坡的安全系数。
但Mohr-
收稿日期:
2007−03−10;修回日期:
2007−05−05
基金项目:
高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20060533071;中国博士后科研基金资助项目（20060400264;国家自然科学基金资助项目（50774093
作者简介:
林杭（1980−,男,福建福州人,博士研究生,从事岩土工程数值计算的研究
通信作者:
林杭,男,博士研究生;电话:
137********;E-mail:
linhangabc@
中南大学学报（自然科学版第38卷
1
220Coulomb准则对岩体强度的描述有一定局限性,如不
能解释低应力区对于岩体的影响[9],只能反映岩体的线性破坏特征等。
Hoek-Brown经验准则能够反映岩体的固有特点和非线性破坏特征,弥补了Mohr-Coulomb准则的不足,符合边坡岩体的变形特征和破坏特征
[10−11]
。
因此,必须将强度折减法和Hoek-Brown准
则相结合。
在此,本文作者首先通过理论推导确定m,
s,σci与c和φ之间的关系;然后,进一步得到m,s和σci的折减系数,以及它们之间的关系;最后,通过算例验证所确定的折减方法的正确性。
1FLAC3D中的Hoek-Brown模型
Hoek等[12]认为,
岩石破坏判据不仅要与实验结果相吻合,其数学表达式也应尽可能简单,并且岩石破坏判据除了适用于结构完整且各向同性的均质岩石外,还应当适用于碎裂岩体及各向异性的非均质岩体等。
Hoek和Brown对大量岩石抛物线型破坏包络线的系统进行了研究,提出岩石的Hoek-Brown破坏经验判据,其表达式为:
2
331cicismσσσσσ++=。
（1
式中:
σ1为岩体破坏时的最大主应力;σ3为作用在岩体上的最小主应力;σci为完整岩石单轴抗压强度;m和s为经验参数,m反映岩石的软硬程度,s反映岩体的破碎程度。
Hoek-Brown准则将影响岩体强度特性的复杂因素,集中包含在该准则所引用的2个经验参数m和s以及力学参数σci之中,概念简洁明确,便于工程应用。
1.1弹性增量方程在主应力空间中,虎克定律的增量表达式可写为:
（321111e
eeεεαεασΔ+Δ+Δ=Δ;（312212eeeεεαεασΔ+Δ+Δ=Δ;
（212313eeeεεαεασΔ+Δ+Δ=Δ。
（2
式中:
3/41GK+=α;3/21GK−=α;K为体积模量;G为剪切模量;表示i方向的弹性应变增量;
i=1,2,3,表示3个主应力方向。
eiεΔ由弹性增量理论可得估算应力分量:
iiI
iσσσΔ+=0
（i=1,2,3（3
式中:
为初始应力;为试算应力。
iσI
iσ式（1表示一曲面,落在曲面内的应力点为弹性状态。
塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和（认为材料的破坏与中间主应力σ2无关,因此,其不引起塑性应变:
pe
111εεεΔ+Δ=Δ;e
22εεΔ=Δ;
pe
333εεεΔ+Δ=ΔpiεΔ（（3322111011ppNεεεαεεασσΔ−Δ+Δ+Δ−Δ=−（33112210
22ppNεεεεαεασσΔ−Δ+Δ−Δ+Δ=−（（1212331033ppNεεεαεεασσΔ−Δ+Δ+Δ−Δ=−N1σN
2σN3σppIN331111εαεασσΔ−Δ−=ppIN123133εαεασσΔ−Δ−=pp31ελεΔ=Δ（21311αλαεσσ+Δ−=pIN1（2322λαεσσ+Δ−=pI
N（12333αλαεσσ+Δ−=pIN。
（4
式中:
表示i方向的塑性应变增量。
;
;。
（5
联立式（2~式（5得新的应力分量,和为:
;
（31222ppI
NεεασσΔ+Δ−=;
。
（6
流动法则中的流动系数λ由下式确定:
。
（7
从而得:
;
;
。
（8
对于位于屈服面上的应力点,满足屈服函数:
033
1=+−−=smf
ci
Nci
NNσσσσσ。
（91.2流动法则
流动法则规定了塑性应变增量的方向。
为了描述材料屈服时候的体积变化,需选择一种合适的流动法则。
流动系数λ与应力以及加载历史有关,因为典型
第6期林杭,等:
强度折减法在Hoek-Brown准则中的应用1221
岩体破坏模式是轴向劈裂而不是剪切破坏,与围压较小或拉伸状态下材料的膨胀角并不相同。
所以,其采用非线性剪切屈服函数,流动法则为基于应力水平的塑性流动法则。
虽然塑性应变增量和材料的应力水平之间存在复杂的关系,但对于一些特殊的情况,可采用以下的流动法则求得,而对于其他复杂的情况,可通过这些流动法则并进行插值求得[13]。
1.2.1关联流动法则
在无围压情况下,岩石屈服时表现出较大的体积膨胀并伴随轴向劈裂效应。
关联流动法则在理论上提供最大的体积应变率。
单岩石处于单轴压缩时可采用该流动法则,其表征塑性应变方向与屈服面垂直。
ipif
σλε∂∂−=Δ（i=1,2,3。
（10将其展开,得关联流动法则中的流动系数:
/（/（2
1
11
2/1（3ciciciafmsmσσσσλ−++−
=。
（11
1.2.2径向流动法则
在单轴拉伸过程中,材料将沿拉伸方向破坏;或者当各个方向施加相等的拉应力时,材料将沿不同方向发生相同的变化。
以上2种情况均可用径向流动法则来描述,其流动系数为:
3
1
σσλ=
rf。
（121.2.3常体积流动法则
当围压增加时,达到屈服状态时材料的体积不再发生膨胀,此时可用常体积流动法则对这种现象进行
描述。
当围压大于自定义的围压上限值时,流动
系数为:
cv
3σ1−=cvλ。
（13
1.2.4复合流动法则
对于不同的应力状态,将采用不同的流动法则。
若在完全拉伸区域,则采用径向流动法则;当围压等
于零时,采用关联流动法则。
对于0<3σ<的状态,流动参数λ可通过关联流动法则和常体积流动法则之间的插值得到:
cv
3
σcvaf
cvaf3
3
1
111
σσλλλλ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=
。
（14
若=0,则模型的情况接近非关联流动法则,
即膨胀角等于
0。
若设置为一较大值（相对于σci,
则模型情况接近关联流动法则。
cv3σcv
3
σ
2Hoek-Brown中的强度折减技术
2.1m,s,σci与c和φ的关系
将Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则进行对比。
在确定m,s和σci后,可利用式（1得到岩体力学参数。
岩体单轴抗压强度为:
cicmsσσ=。
（15
岩体单轴抗拉强度为:
4（2
12smmcitm+−=σσ。
（16
Mohr-Coulomb准则的表达式为:
φφσσNcN231+=。
（17
式中:
φsin1sin1−+φ
;c和=
Nφ
φ分别为粘结力和内摩擦
角。
根据与Hoek-Brown准则对应的Mohr-Coulomb准则,可求得岩体的粘结力c和内摩擦角φ[14−16],即:
tmcmcσσ⋅−=2
1;（18
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅−+=tmcmtmcmσ
σσ
σφ2arctan。
（19m,s,σci与c和φ之间的关系为:
4（8
122
2msmscci−+⋅=
σ;（20
4（84（2tan22
22msmssmms−+⋅⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+−+=φ。
（21
2.2m,s和σci的折减方法
假设边坡处于原始状态时,其参数为c0,0φ,m0,s0和0ciσ;处于临界失稳状态时,其参数为ccr,crφ,mcr,scr和cicrσ。
对于Mohr-Coulomb准则,其折减方法为:
Kcccr0=
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=Kcr0tanarctanφφ。
当K=F（F为边坡的整体安全系数时,边坡达到
（22
中南大学学报（自然科学版第38卷
1222临界失稳状态。
由式（20和（21求逆函数,并根据式（22可得:
crm,,（,（,（00000cicrcrsmmcmcmσφφ===;（23,,（,（,（00000cicrcrcrsmscscssσφφ===;（24
,（,（,（00000cicicicrcrcicicrsmccσσφσφσσ===。
（
中:
f（a,b,…表示关于a,b,…的函数（f=m,s,25
式σci;（a,b,…=（ccr,crφ;c0,0φ;m0,s0,0ciσ。
经整理得:
=⎟⎠
⎞⎜⎝−+0020024msmsciσ
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−+crcrcrcrcicrmsmsK4222σ;（26
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+cismmsσ02
00042
cicrcr
crcrcrsmmsKσ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+4222。
（27
可见,对m,s和σci实施不同的折减系数,可得到与折减c和φ相同的安全系数,
具体折减方法如下:
mc
mcrKKm==;（28m
m00
mc
scr
Ks
Kss00==;（29σ
σσKcicicr0=
。
（30
中:
Km,Ks和Kσ分别表示对m,s和σci的折减系（31
算例模型与分析
.1算例模型
选取均质岩坡作为分析对象,该边坡高式数;Kmc为Mohr-Coulomb准则所对应的折减系数。
因此,m,s和σci的折减系数之间的关系为:
KK=2,1=K。
smσ3
3为便于讨论80m,坡角为90°。
按照平面应变建立FLAC3D计算模型,模型共756个单元,1638个节点。
流动法则为非关联流动法则。
边界条件为下部固定,左右两侧为水平约束,上部为自由边界,计算模型见图1。
其中,K为折减系数;K1和K2分别为K的上、下限值。
边坡参数为:
弹性模量E=30MPa,泊松比μ=0.27,σci=150MPa,m=1.50,s=0.04,γ=27.0kN/m3。
本构模型采用Hoek-Brown准则以实施强度折减技术,其中对m,s和σci的折减系数由式（31确定。
图1边坡计算模型Fig.1e
.2计算分析
减法实施的关键问题是如何判断边坡达到的增大,ra（节数时,各折减时步所保存的K
Calculationmodelofslop3由于强度折失稳状态,因此,需事先确定边坡的失稳判据。
赵尚毅等[4]认为边坡达到破坏状态时,滑动体上的位移将发生突变,产生很大且无限制的塑性流动,程序无法找到一个既能满足静力平衡,又能满足应力−应变关系和强度准则的解,此时,不管从力的收敛标准判断,还是从位移的收敛标准来判断,计算都不收敛。
因此,以静力平衡方程组是否有解、计算是否收敛作为边坡是否失稳的判据是合理的[4,6,17−18]。
在判据的实施过程中,随着折减系数点平均内力与最大不平衡力的比值[13]逐渐无法满足ra<10−6的求解要求,计算由收敛状态转为不收敛状态,此时边坡产生失稳破坏;其求解流程如图2所示。
在确定K1和K2时,设K=1,若计算收敛,则K1=1,K2=KC,KC为试算得到的某一较大值;若计算不收敛,则K1=0,K2=1。
采用二分法计算安全系值如表1所示。
经计算安全系数为:
1703.12
2
1
BrownHoek=+KK=−F。
第6期林杭,等:
强度折减法在Hoek-Brown准则中的应用1223
图2安全系数求解流程
Fig.2FlowchartforsolutionofsafetyfactorTable1Reductionfactorsforeachreductionstep折减时步
4
表1各折减时步对应的折减系数123K1.0000
2.0000
1.5000
1.7500
折减时步
567
K
1.62501.68751.7188
由ohr-Co则得Mohr-Coulomb6;Mulomb准到F=1.765
%100|
|Coulomb
Mohr−F见,两
CoulombMohrBrownHoek×−−−FF=3.54%。
可者的相对误差很小。
而产生这种误a.FLAC3D
在Mohr-Coulomb准则中实施强度折减的影切流动法则;Hoek-BrowBrown准则中实施强度折减法的关键问题是使其与Mohr-Coulomb准则中的强度折减法等效,的安全系数为1.71,在,袁海平,等.基于拉格朗日差分法的全长注浆锚杆支护参数优化[J].中南大学学报:
自然科学版,2006,ofgroutedboltsbyLagrangiandifference99,49（6:
835−840.eth:
332−336.
nfiniteelement[5]
差的主要原因是:
技术时,主要考虑剪切破坏,而未考虑材料拉伸破坏响;Hoek-Brown准则将工程岩体在荷载作用下表
现出的复杂破坏,归结为拉伸和剪切破坏2种机制[11],在引入剪切强度准则的同时,还引入拉伸破坏准则,因此,得到的安全系数略小。
b.屈服准则采用的流动法则不同,Mohr-Coulomb准则采用非关联的剪n准则中的流动系数与应力状态有关[15],分别采用关联流动法则、径向流动法则、常体积流动法则以及复合流动法则。
4结论
a.在Hoek-且需对准则中的3个参数m,s和σci进行折减,
这3个折减系数的关系须满足:
sm
KK=2
1=σK。
b.通过FLAC3D软件算例的对比分析可知,强度折减法在Hoek-Brown准则中得到03Mohr-Coulomb准则中得到的安全系数为1.7656,两者之间的相对误差为3.54%,差别微小,说明强度折减法在2个准则中的等效性,可见,所确定的折减方法是可行的。
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