新课程下的数学教学设计.docx
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新课程下的数学教学设计
第二章新课程下的数学教学设计
义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：
人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
摘自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
第1节认识新课程
国家义务教育阶段数学课程标准（实验稿）已于2001年7月正式颁布，并已有相应的实验教材进入了实验区。
随着时间的推移，该“课程标准”（下简称“标准”）的实验区将逐渐扩大，到2005年，全国都将进入“标准”实验区，届时，国家普通高中数学课程标准也将进入实验阶段。
因此，本书的讨论将以“标准”作为立论的根基。
1．学数学应当给学生带来什么
设想一下：
当一名学生走出校门以后，如果不参加速算比赛，他会遇到这样的情形吗——迅速计算诸如37.2×8.46，或者972÷23.5类型的式子，还不许使用计算器？
一个步入社会的公民，如果他的职业不是数学——既不专业研究数学，也不专业教数学，他在工作或生活中会面临这样的任务吗——今天必须证明⊿ABC≌⊿DEF？
显然，这些问题的答案都是否定的，由此我们可以想到：
学生究竟为什么而学数学？
他们应当学什么样的数学？
在现实生活中，每一个学生自进入学校开始，几乎每天都要花一定的时间学习数学——学数学概念、定理、公式，做代数计算、几何证明，…他们为什么要花大气力学数学？
尤其是那些未来的职业不是数学的学生（这样的学生在同龄人中占99%以上），或者说，数学学习究竟能给学生带来什么？
我们都同意这句话：
数学使人精细；
我们也都同意这样的观点：
数学能够使人聪明。
甚至我们都相信：
数学学习能够提高学生的能力，能够帮助他们在自己的生活或工作中解决更多的问题——既包括数学的，也包括非数学的。
然而，这是一种理想、信念。
她并不说明学了100个数学概念的学生一定比学了90个数学概念的学生要聪明；证过100个三角形全等题目的学生一定比只证过80个三角形全等题目的学生有更高的推理、证明能力；…
事实上，“数学能够使人聪明”的意义更多的不是指学生在学过数学以后能够解决多少纯数学问题，毕竟，他们中的绝大多数人在步入社会以后不再需要解决更多的纯数学题了——如证明两个三角形全等。
它的意义主要在于对学生一般能力的提高、在于对学生整体发展的帮助。
比如，尽管许多成人一生中不会面对“证明两个三角形全等”这样的问题，但他一定要做“证明”这件事——证明自己的观点是正确的；证明某一个方案是可行的；证明某种看法是不正确的；…这些就是数学证明的学习应当给学生带来的最大收益。
因此,我们说：
有了计算器、学生还应当掌握基本的计算技能，但不需要花费大量的时间去练习复杂的数值计算和代数运算；学生应当学习几何证明，因为他们需要发展自身的逻辑论证能力，但是，学习的重心不应当是那些证明三角形全等、四边形相似的技巧，而应当是证明的意识、基本过程和主要方法。
所以，对每一个接受义务教育的学生来说，他作为一个未来社会的公民所必须获得的整体发展是这一阶段数学教学的最基本目的。
正如“标准”所说的：
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。
作为科学的数学与作为学科的数学，即作为教育的数学应当有所区别——它不再是纯粹的数学事实：
概念、公式、定理、法则等。
那应当是什么呢？
或者说，学生应当学的数学是什么？
看一个例子。
课例中位数与众数1
⑴教学目标：
①掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表．
2能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步
1．马复主编义务教育课程标准实验教科书教师用书（数学7-9年级）八上P221
选择恰当的数据代表对数据做出自己的评判．
⑵设计意图
单纯从计算的角度来看，“中位数”和“众数”是非常简单的——只要知道数的大小、会数数，就能够计算它们。
但作为一个统计概念，它就不那么简单了。
因此，教学的重点不能够放在怎样找（计算）中位数与众数上面，而应当放在对概念含义的理解上。
⑶教学过程
①教师呈现问题情境：
某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
6000
4000
1700
1300
1200
1100
1100
1100
500
你怎样看待该公司员工的收入？
（各人从不同的角度理解问题可能得到不同的结论，这里的目的是引起学生的认知冲突，因此自然应允许学生有不同的看法．）
②学生讨论。
③教师提供信息：
经理、职员Ｃ、职员Ｄ从不同的角度描述了该公司员工的收人情况：
经理：
我公司员工收入很高，月平均工资为2000元。
月平均工资2000元，指所有员工工资的平均数是2000元，说明公司每月将支付工资总计2000×9元．
职员C：
我的工资是1200元，在公司算中等收入。
Ｃ的工资1200元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有４人的工资比他高，有４人的工资比他低）,我们称它为中位数．
职员D：
我们好几个人的工资只有1100员。
９个员工中有３个人的工资为1100元，出现的次数最多，我们称它为众数．
4学生思考：
你认为用哪个数据表示该公司员工收人的“平均水平”更合适？
为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？
⑤呈现概念
一般地，ｎ个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．如一组数据1.5、1.5、1.6、1.65、1.7、1.7、1.75、1.8的中位数是
，即1.675；这组数据的众数是1.5和1.7．
6学生讨论：
平均数、中位数、众数各自特征是什么？
如果要选用它们代表一组数据的“平均水平”，你认为它们各自在什么场合下使用比较合理？
设计思路分析：
显然，学习“平均数”、“中位数”和“众数”概念的最主要目的不是会计算它们的值——那样做是把统计当作算术（代数）来教了。
重要的是让学生理解为什么需要它们；它们各自的含义是什么；在什么样的场合下能够有效地使用他们等。
而这一切又只能在情境中学，只能让学生在对现实问题情境分析的过程中逐渐理解这些概念的意义。
2．数学的“学与教”
学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
…有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
数学教学活动必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.
摘自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
当我们把数学教学的基本目标定位在促进学生全面、持续、和谐的发展之上时，我们的数学教育就注定要改变以往“学科为本”的理念——让学生知道更多的数学不再是最重要的了；让每一个学生牢记抽象、严谨的数学知识体系不再是我们着力追求的目标了；让学生熟练掌握尽可能多的解题技巧也不再成为好的数学教学的标志了；数学课程也不再成为一个“筛子”——将不聪明的学生淘汰出局，将聪明的学生留下……
作为教育的数学也不只表现为“现成的数学——作为结果，它是静态的、固定的，清晰的、没有矛盾的。
学习者的目的是了解它的意思，并能够模仿与复制它。
”它更应当表现为“做出来的数学——作为活动，它是动态的、可创作的，结论或操作程序未知的。
学习者的目的是理解其意义，寻求在合适水平上的合理解答，数学方面的漏洞可以随着学习的深入逐渐弥补。
将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法就是“再创造”方法。
”
在数学学习过程中，学生不再是“被动的”知识接受者——完全接受和模仿教材所写的、教师所说的，他们应当“自主、主动”地参与到数学活动中来，成为“数学学习的主人”；
教师也不应当是数学教学活动的“管理者”——严格规范学生在课堂的一切数学行为，而应当成为学生数学学习的“组织者、引导者与合作者”。
教师的主要职责是向学生提供从事“观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”的机会，为学生的数学学习活动创设一个宽松的氛围，激发学生数学学习的欲望、最大限度地发挥他们数学学习的潜能，让学生在活动中通过“动手实践、自主探索、合作交流、模仿与记忆”等方式学习数学、获得对数学的理解，发展自我。
数学课堂也不应当被简单地看作是“传递数学知识的地方”——教师将数学、学生听数学；教师示范做数学、学生模仿做数学；数学课堂应当成为学生交流数学的场所——课堂里有丰富的数学情境；有意义的数学课题；宽松的数学学习氛围；有价值的数学交流活动；善于帮助学生的教师；…
对于学生,我们应当相信：
每一个生理与心理正常的学生都能够接受中小学教育，都能够达到“标准”所设定的基本要求；学好数学不是少数人的专利而是每一个学生的权利。
但这并不意味着“所有的学生学数学都是一样的容易”，事实上，一个学生在某个领域学习中的进步可能比在其它领域里更快，一些学生的数学学习成绩可能比另外一些人要好，这种现象不仅与学生的兴趣和爱好有关，也与他的学习能力有关——如果一个学生没有花费多少时间和精力，就取得了较好的成绩，而另一个学生花费了大量的时间和精力，还是不能取得这样的成绩，那就是前者较后者的学习能力强（在不考虑外部因素前提下）。
当我们给学生提供了一个宽松、民主且富有思考空间的学习环境以后，学生的聪明才智将会得到激发，有效的学习就将发生。
下面是一个教学过程的浓缩，从中可以见到学生的聪明才智。
课例探究函数性质
教师示范例题：
已知函数
的周期为4，且等式
对一切
均成立。
求证：
为偶数。
教师讲完例题后，要求学生按4人一组对问题进行多方位的研究，比
如问题的条件与结论之间的关系、进一步的猜想等等，然后交流研究成果。
下面是部分学生的交流情况。
在学生探究过程中，教师往来于不同小
组之间，对学生所提出的帮助要求给予适当的反馈。
小组A：
我们主要研究了这个问题的条件与结论之间的关系。
发现这三者中的任何两者都可以推出第三者。
即
●若函数
的周期为4，且
为偶函数，则等式
对一切
均成立。
●若
为偶函数，且等式
对一切
均成立，则函数
的周期为4。
师：
A组同学研究了这个问题的条件与结论之间的关系，得到了一个很理想的猜想，也证明了自己猜想的正确性，就是说，他们发现了定理！
其他组的成果呢？
一段时间以后，
小组B：
我们也发现了这个特点。
我们还从图像的角度进行了研究：
为偶函数说明
的图像有一条对称轴，它的方程为
，而
对一切
均成立说明
的图像还有一条对称轴，它的方程为
。
我们猜想：
●若一个函数的图像有两条不同的对称轴，那么这个函数是周期函数。
●若一个函数的图像有两个不同的对称中心，那么这个函数是周期函数。
●若一个函数的图像有一条对称轴和一个对称中心，那么这个函数是周期函数。
我们分别用一个满足上述条件的具体的函数检验了一下，完全对！
师：
B组向我们提出了挑战——他们的猜想是正确的吗？
有哪个组愿意应战？
或者说帮助B组得到一个确定的答案？
小组C：
我们刚才的研究没有很具体的结果。
但是，我们想把刚才B组的结论用一般的数学表达式表示出来，并给出证明。
又一段时间以后，
小组D：
B组的研究给我们很大的启发！
我们把他们的研究推进一步，研究两个函数。
提出下列猜想：
●若函数
的图像与函数
的图像既关于点
对称，又关于点
对称，则函数
与函数
都是周期函数。
●若函数
的图像与函数
的图像既关于直线
对称，又关于直线
对称，则函数
与函数
都是周期函数。
●若函数
的图像与函数
的图像既关于点
对称，又关于直线
对称，则函数
与函数
都是周期函数。
师：
更严峻的挑战来了，也许我们现在还不能对这些问题完全给出答案，但我们应当可以通过自己的努力，建立几个“定理”！
还有其他方面的研究吗？
让我们全班同学分享一下吧。
小组E：
我们的研究方向是给出“广义偶函数”、“广义奇函数”的概念：
●对于函数
，若存在常数
，使得函数定义域内任意
，都有
成立，则称
为广义偶函数。
特别地，当
时，
就是偶函数。
●对于函数
，若存在常数
，使得函数定义域内任意
，
成立，则称
为广义奇函数。
特别地，当
时，
就是奇函数。
孙孝明
课例分析：
显然，从这个课例中，我们可以感受到学生的聪明才智——在教师的积极鼓励和适当的帮助之下，通过小组内部成员之间、不同小组间同学平等的“交流、协商、合作”，他们像数学家那样工作——即如何构造一个证明或反例，如何选择一个一般性的例子，如何使定义精确化，等等……同学们运用“特殊化、一般化、分离、重新组合、类比”等思维方法，以及“分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合”等解题策略，由原问题不断地提出新问题，探索、解决新问题，把函数的奇偶性、对称性、周期性等性质间的关系不断推广和发展，形成一定的知识结构。
在这里，学生的角色、教师的作用和数学学习的意义都有了新的、更加丰富的含义。
事实上，当我们重新诠释了数学课程的价值、重新认识了数学教学的意义以后，目前课堂里发生的许多司空见惯的事情都可以做重新解释，例如：
●教师讲课，学生能否插嘴？
至少，学生插嘴不一定是坏事，一方面，它说明学生开动脑筋了，比教师一个人讲更好；另一方面，它表明了课堂中存在一种“民主”的氛围，师生之间的不同看法能够在一起平等地交流。
那么，听课的老师能否当堂发表意见？
应当也可以，甚至还可以扮演讲课教师的角色．下面是一位老教师的回忆：
在一次公开课上，学生提了一个问题，笔者被问住了，来听课的几位老师也非常着急，都在研究学生提的这个数学现象，一时也解决不了．下课后听课的老师问我下一堂课怎样上？
（数学课两节连排）我一时也说不清楚．岂料，第二节一上课，就有个学生向我打手势，指指他坐位旁的一位听课老师．学生的手势我是懂的，一定是那位老师已解决了．我一看，这位老师是以前我教过的学生，他来听我课当然是来向我学习的，现在这个问题他能解决，学生要我下来，让他来讲．我有点犹豫．后来一看不行，还得请他讲．为什么呢？
因为我发现这个学生非常着急，他不停地指着那位老师，以为我还没有理解他的手势，动作越来越快．这可不得了，我还是老实点好．我说：
“这个问题看来仇老师已经解决，我们欢迎他来给我们上课．”话音一落，哄堂大笑．我的脸红了没有？
没有．我想这是大笑，不是讥笑．大笑，意味着师生之间亲密无间——因为我们的课堂是交流数学的场所，每一个人都是参与交流的成员，都应当有机会表达自己的看法。
●教师“挂黑板”一定不可取吗？
当然，作为一名走上讲台的教师，应当对所要教授的数学内容有充分的准备——不论是在数学方面，还是在学习过程方面。
但是，一旦我们“把学习的主动权交给学生”，那么，学生在课堂里会出现什么样的想法、会提出什么问题，那就不一定是教师所能够完成预料到的——当然，这也不是为出现“挂黑板”现象开脱。
重要的是教师如何面对“挂黑板”现象——担心自己的“权威”受到损害，那就否定学生的想法和疑问；把自己定位成学生数学学习的合作者，那就坦诚面对现实，与学生共同解决所面临的问题。
数学大家希尔伯特对于教数学有自己的见解，他“不能容忍数学课只是填鸭式地向学生灌输各种事实而不去教会他们怎样提出问题和解决问题。
”1他喜欢问学生：
我们已经学了这么多的数学方法，但它们在新的情形下似乎不适用了，怎么可能呢？
为什么？
我们还能做些什么？
我们怎样才能摆脱这种困境？
在接下去的教学过程中，他也有“细节推不出来或推错的时候”2，而随后所进行的师生共同研究过程会使学生觉得在他的课上，数学是“活”的——因为这种研究过程可以使学生感受到真正的“做数学”过程。
事实上，某种情形下有意识的“挂黑板”（类似于假装），反而会起到意想不到的效果。
有人说：
一个高明的数学教师有时得像一个优秀的演员——他所扮演的角色栩栩如生地呈现在观众面前，使得观众情不自禁地走进剧目中和角色悲喜与共，也许不无道理。
●一堂课的教学是否成功主要看什么？
主要不是看教师的表演：
板书
1．康斯坦西•瑞德著袁向东等译希尔伯特P146
是否漂亮、语言是否动听、讲解是否细腻、是否使用了新的教育技术——显然这些都会在一定程度上影响课堂教学的效果。
更为重要的应当是关注学生的表现：
是否在从事有价值的数学活动——从活动素材、活动方式到活动水平、是否有思维的时间和空间、是否有机会表达自己对数学内容的理解、是否在学习过程中得到发展。
……
第2节：
教得好就是促进学得好
每一位教师都希望自己能够教好数学，但什么是“教好数学”？
却是一个需要探讨的问题。
事实上，对这个问题的思考带有很强的时代背景，而从本质上看，它都与思考者对数学教育基本问题的看法有着密切联系。
1．一些看法
从历史上看，当基础教育还只是少数人能够享受的权益时，教与学是基本分开的：
学生的任务是认真学习，教师的职责则是向学生提供有“价值”（以教师评判标准）的数学、维持学习秩序、检查学生的学习结果；学生学习的结果与教师的教学行为基本不挂钩——潜在假设是每个教师总是教得好的，尤其是肚里有学问的教师，因为他们可以向学生展示更多、“更好”的数学。
学生没有学好是因为他笨或者不用功。
对大多数教师而言，教学是没有“负担”的工作——他们可以在课堂里尽情地展示自己在数学方面的学识，让学生见到更多的数学知识。
所以，
教得好=提供更多的数学
当基础教育逐渐普及以后，相反的情况开始出现了：
学生数学学习结果的优劣被视为决定于数学教师的教学行为，进而，发展到把学生的学习成绩作为检查与评定教师教学水平的最重要，甚至唯一的指标。
对大多数教师而言，教学开始成为有“负担”的工作——他们必须使自己的学生能够在各种数学考试里取得好成绩，以此证明自己的数学教学是高水平的，或者说自己是一个高水平的数学教师。
十九世纪后半叶，英格兰、威尔士的一些学校曾经实施过教师的酬金由所教授学生的考试成绩决定。
在我们的数学教学实践中，类似的情况应当说是普遍的——当我们提到某人是一位优秀数学教师，通常是以他所教授的学生在升入高一级学校（特别是重点学校）的数学考试中所取得的分数为最终依据。
也就是说，教学的结果（主要是学生的学习成绩）是评价数学教学是否成功的最重要、甚至是唯一依据。
教得好=学生的成绩好
在第1节中我们曾经说到：
新一轮数学课程改革对于数学教育、数学课程目标都有新的解说，对于学生的数学学习和教师的教数学也有新的定位。
这些新的观念和定位与课堂里正在进行的数学教学活动所反映出来的相应观念有许多明显的区别，而由此产生的影响极有可能是广泛而深刻的。
比如：
新的数学课程标准使得数学教学从“学科为本”转向“学生发展为本”，也就是说，数学教学的最重要目的不是向学生展示更多的数学、不是让学生见识精确的数学结构；就基础教育阶段而言，数学教学的最重要目标是让学生通过有效的数学学习去促进自身的全面发展，因此，
教得好≠提供更多的数学；
而“教得好≠学生的成绩好”应当是显然的——毕竟，影响学习成功的可变因素实在太多，正如我们前面所提到的，仅就学生本人的兴趣爱好、能力差异而言，就有着许多令教师无法加以控制的因素，即使是有丰富经验的教师。
而学生家庭背景和生活经验对此所带来的影响更是无法预料的。
然而，尽管有效的“教”并一定能够导致学习上的成功，但如果“教”的行为不能引起有效的“学”，那这个“教”自然就是无效的；“教”的目的就是引起“学”的行为，教师有效的数学教学是指他有效地促进了学生有意义的数学学习：
教师的教学行为使得学生能够通过自己的探索和推理、与同伴的交流去发现那些从没有被告诉过的基本原理；而不再是告诉学生诸如：
除以一个分数，就是将它的分子、分母颠倒后相乘；负数乘以负数得到正数；…然后再用一套套练习使学生们熟练这些规则——与此同时，学生们逐渐地疏远数学。
所以，
教得好=促进学得好！
2．怎样促进学得好
在实践过程中我们发现，所谓“促进学得好”就表现为教师的教学能够：
有利于学生学习“现实的、有趣的、富有挑战性”的数学；有利于学生主动地从事“观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”；有利于学生在有效的数学活动中正确地理解数学、积极地发展自我；
课例日历中的方程1
日历在学生的生活中常常可以见到，而其中有许多有趣的数学现象值得
1．马复主编义务教育课程标准实验教科书教师用书（数学7-9年级）七上P179
探究。
以此为例，可设计如下学习活动：
●观察某个月的日历，一个竖列上相邻的３个数之间有什么关系？
如果设其中的一个数为Ｘ，那么其他两个数怎样表示？
根据你所设的未知数Ｘ，列出方程，求出这三天分别是几号。
如果我说和是７５，你能求出这３天分别是几号吗？
为什么？
如果我说和是21，你能求出这３天分别是几号吗？
为什么？
●取一份日历，用一个正方形在上面任意圈出2×2个数（如10、11、17、18），做类似于上面的活动。
什么样的条件能保证你所列出的方程是有解的？
显然，这样的学习素材可以算是“现实的、有趣的、富有挑战性的”；这样的活动所经历的主要方式是“观察、实验、猜测、验证、推理与交流”。
而它对于学生理解数学关系、理解方程及其解的意义，都有非常积极的意义；而对于发展学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力也有明显的帮助。
怎样才有益于促进学得好——一个非常富有现实意义的问题！
一个典型的数学课堂里坐着的学生是有很大差异的：
●对数学知识有着不同的理解水平——数学知识就是课本上的概念、名词、公式、定理和一些题目；数学知识是一个严密的逻辑体系；数学知识除了包含概念、公式、定理、法则以外，还有许多重要的思想方法；数学知识就是我们所学习的那些数学事实……
●对数学有着不同的兴趣——或爱好代数、或喜欢几何、或偏爱统计与概率，也可能没有特别的喜好与不喜好。
●对学习数学有着不同的看法——学数学就是记住概念、定理和公式，和能够用定理（公式）解题；学数学就是做题，记住老师讲的、或者课本（习题集）上的各种“题型”，熟练运用它们解题；学数学是提高自己数学能力的过程，学好数学就意味着能够用数学去解决问题，包括生活或工作中的“非数学”问题；学数学是人的一个发展过程，数学能够使人变得更理智，更有逻辑性，更聪明……
●对应用数学解决问题有着不同的感受、信心和能力——在数学课以外，很少有应用数学解决问题的想法；在生活中，除了计算以外，数学还能有什么其他的用处？
我们真的能够应用数学去解决一些实际问题吗？
在思考许多“非数学”问题时，也许用不上什么数学的概念、定理，但研究数学问题时所用到过的一些思想方法、思考问题的角度却常常能够给我启示，帮助我获得解决问题的有效策略。
……
这些差异使得我们的数学课堂里充满了对数学学习的不同需求；对数学活动的不同态度；对数学理解的不同表现…而“有益于促进学得好”是指使得他们中的每一个人在数学学习活动中都能够在自己已有的基础之上得到发展（最好是充分的发展）；使得他们对数学、对数学学习、对数学的价值能够有一个比较客观、相对全面的认识。
这可能吗？
从实践层面来看，这个问题在世界范围内也没有得到圆满的解决。
不过这并不妨碍我们去追求这个目标。
课例：
探索规律1
⑴教学目标
●让学生经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程，发展他们的符号感。
●使学生会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
⑵设计意图
如何使每一个学生都能够投入到数学活动中来，是一个非常现实的问题。
本设计采用的基本思
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