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饮酒驾车
饮酒驾车的数学模型分析
摘要
本文着重分析解决驾驶员血液中酒精浓度与其喝酒数量及喝酒时间的关系，与此同时给广大驾驶员提出了解决驾驶与饮酒这一艰难抉择的建议。
首先，将人体吸收酒精简化为药物动力学中的二室模型，列出酒精含量、浓度关于时间的微分方程组，然后通过计算得出浓度关于时间的函数模型，再用MATLAB软件将题目中所给的数据拟合成计算出来的函数模型，从而确定其中的参数，得出短时间喝酒后血液中酒精浓度与时间的函数关系。
然后利用微元法，将长时间喝酒看成许多个时间差很短的短时间喝酒，以此推导出对短时间喝酒的函数求定积分，即可得到血液酒精浓度在（0，T]内的变化情况。
当时间大于T时，可以将以后的过程看做在短时间喝了T时刻胃中留下的酒，再运用短时间所得到的函数进行相关计算即可。
关键词：
二室模型、微分方程、微元法、拟合曲线
一．问题重述
在全国道路交通事故中因饮酒驾车而造成死亡的人数占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家颁布了新的国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克/百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车（原标准是100毫克/百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定义为饮酒驾车，着让他既懊恼又困惑，为什么和同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1.对大李碰到的情况做出解释。
2.在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况回答：
（1）酒是在很短时间内喝的；
（2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4.根据你的模型论证：
如果天天喝酒，是否还能开车？
5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2.体重约为70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一段时间测量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升），得到数据如下：
时间（小时）
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41
时间（小时）
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
酒精含量6
38
35
28
25
18
15
12
10
7
7
4
二．问题分析
本模型是与实际生活接近的饮酒驾车问题。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，6小时后检查符合驾车标准。
而在晚饭时又喝了一瓶啤酒，凌晨2点检查时却被认定为饮酒驾车，这主要是因为胃液中的初始酒精含量不同造成的。
其实，大李在第二次喝酒时，胃液中仍存有一定浓度的酒精，这才造成他在第二次检查时胃中酒精浓度超标。
因此，在建立模型时，应该以围绕酒精在血液中的浓度与时间的关系为线索。
三．模型假设
1.酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比；
2.酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比；
3.酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不存在误差；
4.在整体过程中大李没有摄入任何影响代谢的药类物质且没有剧烈运动；
5.人的体重为定值70kg；
6.人体自身产生的酒精可以忽略不计，且酒精全在体液中的血液中；
7.人的体液占人的重量的65%至70%（计算时取中间值67.5%），其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的；
8.大李用完晚餐后大约是在晚上8点左右；
9.每瓶啤酒的酒精量为640ml，密度为800mg/ml，酒精浓度为4%;
10.胃且体液的容积保持不变；
11.胃中的酒精全部进入到体液中，酒精不会从胃中直接排出。
四．符号说明
K0：
酒精从体外进入胃的速率；
F1（t）：
酒精从胃转移到体液的速率；
F2（t）：
酒精从体液转移到体外的速率；
Vi：
分别表示胃和体液的容积；
X（t）：
胃中酒精的含量；
Y（t）：
体液中酒精的含量；
K1：
酒精从胃转移到体液中的速率系数；
K2：
酒精从体液转移到体外的速率系数；
Ci（t）：
分别表示在胃中和体液中的酒精浓度；
D0：
短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量；
T：
较长时间喝酒所用的时间；
五．模型的分析与建立
（一）模型的分析：
假设酒精先以速率k0进入胃中，然后以速率f1（t）从胃进入体液，再以速率f2（t）从体液排到体外。
K0f1（t）f2（t）
体外k1k2
分解或排除体外
胃部体液
（二）模型建立：
找到C（t）与t的关系
用X（t）、Y（t）分别表示酒精在胃与体液中的量，用ci（t）表示酒精在胃中与体液中的浓度,用vi分别表示胃和体液的容积，根据前面的假设可知：
1.对胃建立方程：
把
代入上式得：
解此一阶线性常微分方程，得：
其中，
又因为
，
可得：
2.再对中央室建立方程：
其中可令：
同理：
因为
将其代入上式得：
解此微分得：
又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，
，即
其中：
（三）模型的讨论
模型一：
当酒是在较短时间内喝的
此时有x（0）=D0=x0,k0=0,Ci（t）=0；
且c1=x0-k0=D0
因此有：
（*）
根据数据表一:
通过Matlab进行数据拟合,模拟出如图1所示图形，题目中所给出的散点基本上曲线上：
图1
得出解：
模型二：
当酒是在较长时间内喝的
我们可对其进行分段讨论：
1.在t
（0,T]，k0=
，x（0）=0，
在两小时不间断喝酒的情况下，当t（0,t]时，可用微元法结合短期饮酒的分析方法将每个时刻的酒精含量分析出来，具体如下：
将饮酒时间T分为n等分，每等分时间t=T/n,在每一个小的时间段里，我们可以近似考虑为短期饮酒的情况，则每一个小时间段所饮下的酒都对后面某一时刻t的酒精含量有影响，且影响程度如表1所示：
表1
小时间段序列号
时间长度
对时间t时酒精含量的影响
1
t
f（t-t）
2
t
f（t-2t）
……
……
……
k
t
f（t-kt）
所以时刻t时体液中酒精浓度为
=f（t-t）+f（t-2t）+……+f（t-kt）+……
当n+时，t0，故此时c（t）为函数f从0到t的定积分，即
根据函数
利用MATLAB软件做出C2（t）如图2所示:
图2
得到函数解析式如下：
2.当t>T时，此问题可以完全回归到短时间喝酒问题，只是此时初始值
=172.7717，所以：
化简得：
做出图像如图3所示：
图3
六．问题的求解
问题一：
假设大李第一次喝酒是在较短时间内喝完的，根据模型一推出的公式（*）可知，在同一时刻人体体液中酒精浓度与此人喝酒的多少成正比关系。
故当大李喝过一瓶啤酒时，体内酒精含量对时间变化情况为：
当t=6时，c（t）=18.7993毫克/百毫升，小于20毫克/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾车。
紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，而凌晨2点回家遭遇检查时却被定义为饮酒驾车。
第一次喝完6小时后残余18.7993毫克/百毫升，又过了8小时后残余为4.2324毫克/百毫升。
因此，在第二次检查时，血液中的酒精含量为第一次喝酒残余量加上晚饭时第二次喝酒残余量，即4.2324+18.7993=23.0617毫克/百毫升>20毫克/百毫升，所以第二次检查时为饮酒驾车。
问题二：
（1）当酒是在很短时间内喝的，由模型一可知喝三瓶啤酒时:
图像如图4所示：
图4
有图易知，当c（t）=20毫克/百毫升时，t=11.261小时。
所以当司机在很短时间内喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后，在11.261小时内驾车就会违反国家标准。
（2）当三瓶啤酒是在较长一段时间内喝的，由模型二可知：
将两个函数用同一个坐标系表示出来如图5所示：
图5
当c（t）=20毫克/百毫升时，不存在与之对应的时间值。
所以当司机在较长一段时间（T=2小时）喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后，此后驾车就会违反国家标准。
问题三：
在短时间内喝酒时，由模型一可知，结合图形和方程组，不论喝多少瓶啤酒，都是在1.3小时时刻，浓度达到最大值。
当在较长时间（2小时）饮完时，由模型二知，在3.3小时时刻酒精浓度达到最大值。
问题四：
如果天天饮酒并且还能开车，是可行的。
因为在饮完酒之后的时间段内，血液中酒精的含量会随着时间的变化而发生变化。
而且经过一段时间后，血液中酒精浓度会成下降的趋势。
我们用Matlab软件算出喝完酒后多长时间后驾车是符合标准的：
七．模型的评价与模型的改进
1.在建立的模型中忽略了很多影响酒精浓度的因素，比如说：
每个司机的体质不同，那么就会直接影响酒精在体内的散发速率。
所以，本题给出的模型及结果具有普遍性，可能对某些司机不适合。
2.同时，酒精在进入体液的过程中，肯定会有一些酒精直接从胃液中排出，并且，酒精进入体液后，会与周边室之间存在一定的运转，所以所构建的模型太过简单，会造成一定的误差。
八．给司机朋友们的忠告
司机朋友们，适量的饮酒可以促进血液循环，对身体又一定的好处，但是过量饮酒不仅会给自身带来伤害，也会对社会造成一定的困扰与不安全隐患。
同时建议您喝酒时不要空腹，适量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，这样可以保护您的胃。
在您感觉身体不舒服时，尽量不要喝酒。
每次喝酒最好不要超过一瓶，对车辆驾驶人员来说，出车前不能饮酒。
司机喝完酒后最好6小时之后再开车。
科学家曾做过实验，一个人喝完酒后反应速度大大降低，这样就增加了交通隐患，这样既不利于个人自身的安全，同时也威胁着他人的生命并对整个社会造成了一定的困扰。
掌握好饮酒时间，这不仅对您的身体与健康有利，也是对他人生命的负责。
希望广大司机朋友们看了这篇文章后能有所启发，适量的饮酒。
九．参考文献
1.姜启源，《数学模型》（第四版），北京，高等教育出版社。
附录
（1）functionf=yinjiujiashi（c,tdata）
f=c
（1）*（exp（-c
（2）*tdata）-exp（-c（3）*tdata））
（2）tdata=[0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516]
cdata=[3068758282776868585150413835282518151210774]
c=lsqcurvefit（@yinjiujiashi,c0,tdata,cdata）
得到结果c=114.43240.18552.0079
即得到函数为c=114.4324（e^（-0.1855t）-e^（-0.20079t）
把所得函数即题中数据画在同一个坐标系中，程序：
（3）x=0:
0.1:
16
y=114.4324*（exp（-0.1855*x）-exp（-2.0079*x））
plot（x,y,'b'）
holdon
t=[0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516]
c=[3068758282776868585150413835282518151210774]
plot（t,c,'r*'）
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