武汉科技大学2线性代数A卷试题及答案解读.docx
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武汉科技大学2线性代数A卷试题及答案解读
学院:
专业:
班级:
姓名:
学号:
2010-2011-2线性代数期末试卷（本科A
一、单项选择题（每小题3分,共15分
1.设,AB为n阶矩阵,下列运算正确的是（。
A.（;kkkABAB=B.;AA-=-
C.22（（;ABABAB-=-+D.若A可逆,0k≠,则111（kAkA---=;
2.下列不是向量组12,,,sααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（。
A.12,,,sααα⋅⋅⋅都不是零向量;
B.12,,,sααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.12,,,sααα⋅⋅⋅中任意两个向量都不成比例;D.12,,,sααα⋅⋅⋅中任一部分组线性无关;
3.设A为mn⨯矩阵,齐次线性方程组0AX=仅有零解的充分必要条件是A的（。
A.列向量组线性无关;B.列向量组线性相关;C.行向量组线性无关;D.行向量组线性相关;
4.如果（,则矩阵A与矩阵B相似。
A.AB=;B.（（rArB=;C.A与B有相同的特征多项式;
D.n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同;
5.二次型（222123123（,,（11fxxxxxxλλλ=-+++,当满足（时,是正定二次型。
A.1λ>-;B.0λ>;C.1λ>;D.1λ≥。
二、填空题（每小题3分,共15分
6.设300140003A⎛⎫
⎪
=⎪⎪⎝⎭
则（12AE--=;
7.设（,1,2ijAij=为行列式2131
D=中元素ija的代数余子式,则
111221
22
AAAA=;
8.100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ç⎪ç⎪
⎪ç⎪ç⎪⎪ç⎪ç⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
9.已知向量组123,,ααα线性无关,则向量组122313,,αααααα---的秩为;
10.设A为n阶方阵,AE≠,且（（3RAERAEn++-=,则A的一个特征值
λ=
三、计算题（每小题10分,共50分
11.设（111122220+a
aAannnna+⎛⎫⎪+
⎪=≠⎪⎪⎝⎭
求A。
12.设三阶方阵A,B满足方程2ABABE
--=,试求矩阵B以及行列式B,
其中
102030201A
⎛⎫⎪=⎪
⎪-
⎝⎭。
13.已知
111011001A
-⎛
⎫
⎪=⎪
⎪-⎝⎭,且满足2AABE
-=,其中E
为单位矩阵,求矩阵B。
14.λ取何值时,线性方程组1231231
232124551
xxxxxxxxxλλ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解或有无穷
多解?
当有无穷多解时,求通解。
15.设（
12340,4,2,（1,1,0,（2,4,3,（1,1,1αααα===-
=-,求该向量组的秩和一个极大无关组。
学院:
专业:
班级:
姓名:
学号:
四、解答题（10分
16.已知三阶方阵A的特征值1,2,3对应的特征向量分别为
1
α,2α,3
α。
其中:
（
1
1,1,1T
α=,（
2
1,2,4T
α=,（
3
1,3,9T
α=,（1,1,3Tβ=。
（1将向量β用
1
α,
2
α,
3
α线性表示;（2求nAβ,
n为自然数。
五、证明题（每小题5分,共10分
17.设A是n阶方阵,且（（RARAEn+-=,AE≠;证明:
0Ax=有非零解。
18.已知向量组（I123,,ααα的秩为3,向量组（II1234,,,αααα的秩为3,向量组（III1235,,,αααα的秩为
4,证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
武汉科技大学
2010-2011-2线性代数期末试卷（本科A
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分,共15分
1.设,AB为n阶矩阵,下列运算正确的是（D。
A.（;kkkABAB=B.;AA-=-
C.22（（;ABABAB-=-+D.若A可逆,0k≠,则111（kAkA---=;2.下列不是向量组12,,,sααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（B。
A.12,,,sααα⋅⋅⋅都不是零向量;
B.12,,,sααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.12,,,sααα⋅⋅⋅中任意两个向量都不成比例;D.12,,,sααα⋅⋅⋅中任一部分组线性无关;
3.设A为mn⨯矩阵,齐次线性方程组0AX=仅有零解的充分必要条件是A的（A。
A.列向量组线性无关;B.列向量组线性相关;C.行向量组线性无关;D.行向量组线性相关;4.如果（D,则矩阵A与矩阵B相似。
A.AB=;B.（（rArB=;C.A与B有相同的特征多项式;
D.n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同;
5.二次型（222123123（,,（11fxxxxxxλλλ=-+++,当满足（C时,是正定二次型.A.1λ>-;B.0λ>;C.1λ>;D.1λ≥。
二、填空题（每小题3分,共15分
6.设300140003A⎛⎫⎪
=⎪⎪
⎝⎭
则（12AE--=1
001102200
1⎛⎫
⎪⎪-
⎪⎪⎝
⎭
;7.设（,1,2ijAij=为行列式2131
D=
中元素ija的代数余子式,则
111221
22
AAAA=;
8.100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ç⎪ç⎪⎪ç⎪ç⎪⎪ç⎪ç⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫
⎪⎪⎪⎝⎭
;
9.已知向量组123,,ααα线性无关,则向量组122313,,αααααα---的秩为10.设A为n阶方阵,AE≠,且（（3RAERAEn++-=,则A的一个特征值
λ=
三、计算题（每小题10分,共50分
11.设（111122220+a
aAannnna+⎛⎫⎪+⎪=≠⎪⎪⎝⎭,求A。
解:
11111111
01111000
2222000
+00aaAaan
n
na
na
+-==+--
.
...................5分111111000
（1100020
00n
in
nnniia
ainnaaaaaa
=-=++⎛
⎫=
=+=+⎪⎝⎭∑
∑
.
.................10分12.设三阶方阵A,B满足方程2ABABE--=,试求矩阵B以及行列式B,其中
102030201A⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭
。
解:
由2ABABE--=,得（2AEBAE-=+,即
（（
AEAEBAE+-=+......................3分
由于202040202AE⎛⎫
⎪
+=⎪⎪-⎝⎭,320AE+=≠,
002020200AE⎛⎫⎪
-=⎪⎪-⎝⎭
80AE-=≠,
...........................6分
（（（（1
11100200110200102200100BAEAEAEAE-----⎛⎫⎛⎫
⎪⎪=-++=-==⎪⎪⎪⎪
-⎝⎭⎝⎭
....8分所以B=。
......................................................10分
13.已知111011001A-⎛⎫
⎪
=⎪⎪-⎝⎭
且满足2AABE-=,其中E为单位矩阵,求矩阵B。
解:
因为111
01110001A-==-≠-,所以A可逆,...........................2分
由2AABE-=,得2AEAB-=,故（121AAEAAB---=,即1AAB--=,....4分
不难求出1112011001A---⎛⎫
⎪
=⎪⎪-⎝⎭
.................................8分
因此1111112021011011000001001000BAA----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
=-=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
...............10分
14.λ取何值时,线性方程组1231231
232124551
xxxxxxxxxλλ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解或有无穷多解?
当
有无穷多解时,求通解。
解:
由于方程个数等于未知量的个数,其系数行列式
（（221
1154154455
Aλλλλλλ-=-=--=-+;.......................3分
1.当45
λ=-时,有（42115104555,11245510400094551Abr⎛⎫--⎪--⎛⎫⎪⎪
⎪=-
---⎪⎪⎪⎪⎝⎭--⎪⎪
⎝⎭
（（2,3RARAb=≠=,原方程组无解;..............................5分2.当1λ=时,有（211103331001,1112111
20111455109990000Abrr---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪
=----⎪⎪⎪⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以原方程的通解为1230111,10xxkx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
=+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
..................................8分
3.当4
1,5
λ≠-时,方程组有唯一解。
....................................10分
15.设（12340,4,2,（1,1,0,（2,4,3,（1,1,1αααα===-=-,求该向量组的秩和一个
极大无关组。
解:
（21341021102110211441~0462~0462023102310000TTTT
Aαααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.6分
所以向量组的秩为2,.................................................8分因为任意两个向量均不成比例,
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。
......................10分四、解答题（10分
16.已知三阶方阵A的特征值1,2,3对应的特征向量分别为1α,2α,
3α。
其中:
（11,1,1Tα=,（21,2,4Tα=,（31,3,9Tα=,（1,1,3T
β=。
（1将向量β用1α,2α,3α线性表示;（2求nAβ,n为自然数。
解:
（1把β用123,,ααα线性表示,即求解方程
112233xxxαααβ++=
11111111100123101200102149300110011rr⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故12322βααα=-+。
.................................................5分
（2（1231232222nnnnnAAAAAβαααααα=-+=-+
11211122331233222322223223.223nnnnnnnnnnnλαλαλαααα++++++⎛⎫
-+⎪
=-+=-+=-+⎪⎪-+⎝⎭
.
.........10分五、证明题（每小题5分,共10分
17.设A是n阶方阵,且（（RARAEn+-=,AE≠;证明:
0Ax=有非零解。
证明:
（01AEAERAE≠⇒-≠⇒-≥,................................2分
（（（（1RARAEnRAnRAEn+-=⇒=--≤-,........................4分
所以0Ax=有非零解。
.................................................5分
18.已知向量组（I123,,ααα的秩为3,向量组（II1234,,,αααα的秩为3,向量组（III
1235,,,αααα的秩为4,证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
证明:
向量组123,,ααα的秩为3,向量组1234,,,αααα的秩为3,所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组,因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示;....2分假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4,又因为向量组123,,ααα的秩为3,所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3,因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示;...4分因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示,而向量组1235,,,αααα的秩为4,即1235,,,αααα线性无关,因此5α不能由123,,ααα线性表示,矛盾,因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
........
.....................................5分
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