华师大版 变量与函数 教案.docx

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华师大版变量与函数教案

课题

§17.1.1变量与函数

（1）

时间

2009年3月2日

三

维

目

标

知识与技能

（1）掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；

（2）了解表示函数关系的三种方法：

解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程与方法

（1）通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

（2）引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.

情感、态度与价值观

经历对有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。

教学重点

函数的定义以及运用方程的方法列出具体实例中的两个变量间的关系．

教学难点

对函数概念的理解，说出生活实际中有函数关系的量的实例．

教法学法

观察法、归纳总结法

教具学具

多媒体课件、刻度尺等

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

一、回顾与探索

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．

问题1如图是某地一天内的气温变化图．

（让B层的学生回答问题,并适当加以鼓励）

学生回答问题,并让学生互相补充

创设问题

情景引导

学生回忆,并巩固所学知识

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

看图回答：

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？

任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

（2）这一天中，最高气温是多少？

最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？

什么时段的气温在逐渐降低？

解

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

（让A层学生举出生活中实例并适当的加以鼓励）

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．

让学生充分思考,互相交流,并让学生代表回答问题

解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流及反馈情况加以总结并引导学生得出结论

观察上表回答：

（1）波长l和频率f数值之间有什么关系?

（2）波长l越大，频率f就________．

学生思考,探索交流,并尝试解题

解

（1）l与f的乘积是一个定值，即

lf＝300000，

或者说

．

（2）波长l越大，频率f就　越小　．

探究新知2

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括。

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：

S＝______．

利用关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，

圆的半径越大，它的面积就_________．

解S＝πr2．

圆的半径越大，它的面积就越大．

1、由问题1引出“变量”；由问题2引出“常量”．

问：

一个量变化，具体地说是它的什么在变？

什么不变呢？

引导学生观察发现：

是量的数值变与不变．（归纳变量与常量的定义并板书）

在其他二个问题中有哪些是变量?

哪些是常量?

2、学生再次观察问题1、2、3、4变化过程，寻找共同之处：

⑴

一个变化过程，⑵两个变量，⑶一个量随另一个量的变化而变化．若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系．

问：

上述第三条描述了两个变量的关系，具体地说是什么意思？

以问题4说明：

对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．引出“自变量”、“函数”．（归纳自变量与函数的定义并板书）

在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值．

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量，如问题3中的300000，问题4中的π等．

3、问：

上述4个问题中在表示函数的方法上有什么区别？

解析法：

如问题3、4等式；列表法：

问题2、3的表格；图象法：

如问题1的气温曲线图．

三、探索与应用

例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

（3）上表反映了哪些变量之间的关系?

其中哪个是自变量?

哪个是因变量?

教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流及反馈情况加以总结并引导学生得出结论

解

（1）平均身高是146.1cm

（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；

讨论归纳：

学生思考,探索交流,并尝试解题

（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．

讨论归纳

培养学生提高把文字叙述转化为数学语言的能力

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

（1）圆的周长C与半径r的关系式；

（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

（3）n边形的内角和S与边数n的关系式．

巡视检查学生情况,并加以指导,根据学生的讨论情况给予适当的表扬

题例分析

分组讨论,并让学生代表进行归纳

学生先画。

试着写出作图步骤

解

（1）C＝2πr，2π是常量，r、C是变量；

（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；

（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．

探究新知3

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括

让学生感悟提高观察能力和提出问题的能力

四、课堂小结

1.函数概念包含：

（1）两个变量；

（2）两个变量之间的对应关系．

引导学生总结

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

讨论、体会

3.函数关系三种表示方法：

（1）解析法；

（2）列表法；

（3）图象法．

提高学生口头语言表达能力和总结归纳能力

五、布置作业

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．

2.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

（1）每个同学购一本代数课本，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；

（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．

3.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

六、课后反思

数学教学过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，而不能再是单一的、枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满生命力的过程。

1．本节课是在学生已有的知识基础上，教师（或学生）提出适当的数学问题，通过师生之间或生生之间互相讨论、学习、探究，在问题解决过程中活化知识、启动思维，运用有关知识进行解题。

掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；了解表示函数关系的三种方法：

解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2．本节课始终以学生为中心，教师作为教学活动的组织者，引导者，合作者，引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.体现“动手实践，自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”这一思想，教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

课题

§17.12变量与函数

（2）

时间

2009年3月3日

三

维

目

标

知识与技能

（1）掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

（2）掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程与方法

（1）使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

（2）联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

情感、态度与价值观

经历探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识,

增强对图形欣赏的意识。

教学重点

熟练的列出函数关系式，求函数关系式中的自变量的取值范围．

教学难点

实际问题中的自变量的取值范围的确定．

教法学法

启发式教学

教具学具

课件、刻度尺等

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

一、回顾与探索

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．

（让B层的学生回答问题,并适当加以鼓励）

学生回答问题,并让学生互相补充

解如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式：

y＝10－x．

创设问题

情景引导

学生回忆,并巩固所学知识

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

问题3如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分

面积ycm2与MA长度xcm

之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：

y＝180－2x．

解y与x的函数关系式：

．

二、探究归纳

⑴探索1：

在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？

如果有，写出它的取值范围．

（让A层学生举出生活中实例并适当的加以鼓励）

让学生充分思考,互相交流,并让学生代表回答问题

归纳1：

上面例子中的函数，都是利用解析法表示的．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题

⑵探索2：

在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？

当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流及反馈情况加以总结并引导学生得出结论

学生思考,探索交流,并尝试解题

归纳2：

对于问题1中的函数

，当自变量

时，对应

的函数y的值

，则把7做这个函数当

时的函数值

探究新知2

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括。

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

三、探索与应用

例1求下列函数中自变量x的取值范围：

⑴

；

⑵

；

⑶

；

⑷

．

例2在问题3中，当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少?

教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流及反馈情况加以总结并引导学生得出结论

分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．

加问：

你能从这些解析式中概括出确定自变量x的取值范围的一些特点吗？

讨论归纳：

学生思考,探索交流,并尝试解题

解：

⑴函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

⑵函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

⑶函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

解:

设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，y与x之间的函数关系式为

．当

时，

，所以当MA=1cm时，重叠部分的面积是

cm2．

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括

让学生感悟提高观察能力和提出问题的能力

四、课堂小结

引导学生总结

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

（1）要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

讨论、体会

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：

把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

提高学生口头语言表达能力和总结归纳能力

教学环节

知识内容

教师活动

学生活动

设计意图

五、布置作业

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm．求y和x间的关系式；

（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝－2x－5x2；（3）y＝x（x＋3）；

（3）

；（4）

．

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：

s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

（1）y＝（x+1）（x－2）；

（2）y＝2x2－3x＋2；（3）

．

课题

§17.2.1函数的图象

（1）

时间

2009年3月4日

三

维

目

标

知识与技能

1.掌握平面直角坐标系的有关概念；

2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．

过程与方法

1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；

2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

情感、态度与价值观

经历对有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。

教学重点

直角坐标系的画法与有序实数对在坐标系中所对应的点。

教学难点

直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应。

教法与学法

启发式教学

教具学具

多媒体、课件、刻度尺等

教学设计

一、创设情境

如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．

二、探究归纳

问题1例如你去过电影院吗？

还记得在电影院是怎么找座位的吗？

解因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．

问题2在教室里，怎样确定一个同学的座位？

解例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．

问题3要在一块矩形ABCD（AB＝40mm，AD＝25mm）的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：

（1）孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，

（2）孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．

试问：

钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？

分析圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数（20和10）．

在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系（rightangledcoordinatessystem）．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标（abscissa）；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标（ordinate）．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数（3,2），称为点P的坐标（coordinates）．这时点P可记作P（3,2）．　　在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

三、实践应用

例1在上图中分别描出坐标是（2,3）、（－2,3）、（3,－2）的点Q、S、R，Q（2,3）与P（3,2）是同一点吗？

S（－2,3）与R（3,－2）是同一点吗？

解Q（2,3）与P（3,2）不是同一点；

S（－2,3）与R（3,－2）不是同一点．

例2写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：

（1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征？

（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

解A（－1,2）、B（2,1）、C（2,－1）、D（－1,－1）、E（0,3）、F（－2,0）．

（1）在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；

在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；

在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；

（2）x轴上点的纵坐标等于零；

y轴上点的横坐标等于零．

说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．

例3在直角坐标系中描出点A（2,－3），分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：

（1）关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

（2）关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

（3）关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

解

（1）关于x轴对称的两点：

横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

（2）关于y轴对称的两点：

横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

（3）关于原点对称的两点：

横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．

例4在直角坐标平面内，

（1）第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？

（2）第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？

分析　如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．

解

（1）第一、三象限角平分线上点：

横坐标与纵坐标相同；

（2）第二、四象限角平分线上点：

横坐标与纵坐标互为相反数．

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法；

2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；

3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确：

（1）（2，3）和（3，2）表示同一点；

（2）点（－4，1）与点（4，－1）关于原点对称；

（3）坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；

（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．

2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？

3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：

A（－3,－5），B（6,－7），C（0,－6），D（－3,5），E（4,0）．

4.填空：

（1）点P（5,－3）关于x轴对称点的坐标是　；

（2）点P（3,－5）关于y轴对称点的坐标是　　　　　；

（3）点P（－2,－4）关于原点对称点的坐标是　　　　　．

5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为（12,十三）．请至少说出图中四个棋子的“位置”．

课题

§17.2.1函数的图象

（2）

时间

2009年3月5日

三

维

目

标

知识与技能

1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；

2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．

过程与方法

通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．

情感、态度与价值观

经历对有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。

教学重点

根据函数图像认识简单问题中的运动、变化规律

教学难点

同上

教法与学法

启发式学习

教具学具

多媒体、课件、刻度尺等

教学设计

一、创设情境

问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．

问图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？

答横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．

问