中考宝典中考数学真题分类汇编 模块四 图形的认识与三角形.docx
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中考宝典中考数学真题分类汇编模块四图形的认识与三角形
一、相交线与平行线
1.（2015宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．
60°
B．
50°
C．
40°
D．
30°
解析：
∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．
∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．
2.（2015聊城）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（ ）
A．
58°
B．
70°
C．
110°
D．
116°
解析：
∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，
即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C．
3.（2015崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ C ）
A．
B．
C．
D．
4.（2015滨州）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为（ ）
A．互余B．相等C．互补D．不等
解析：
∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，故选A
5.（2015东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等于（ ）
A．50°B．30°C．20°D．15°
解析：
由题意得：
∠4=∠2=40°；由外角定理得：
∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4﹣∠1=40°﹣20°=20°，故选C．
6.（2015昆明）如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
解析：
∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD=65°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣65°﹣40°=75°
即∠ACB的度数为75°．故选D．
7．（2015毕节）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．55°
解析：
过点C作CE∥a，∵a∥b，∴CE∥a∥b，
∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，∵∠C=90°，∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°．
故选C．
8．（2015黔南州）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1=∠2，则a∥c
C．若∠3=∠2，则b∥cD．若∠3+∠5=180°，则a∥c
解析：
A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．
9．（2015恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（ ）
A．
20°
B．
30°
C．
40°
D．
70°
解析：
延长ED交BC于F，
∵AB∥DE，∠ABC=70°，
∴∠MFC=∠B=70°，
∵∠CDE=140°，
∴∠FDC=180°﹣140°=40°，
∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，
故选B．
10.（2015宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
解析：
如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选A．
11.（2015庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥C．
其中真命题的是 ①②④ ．（填写所有真命题的序号）
解析：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．
故答案为：
①②④．
12.（2015云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α= 64° ．
解析：
如图1，，
∵∠1+56°=120°，
∴∠1=120°﹣56°=64°，
又∵直线l1∥l2，
∴∠α=∠1=64°．
故答案为：
64°．
13.（2015永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 120 度．
二、三角形
1.（2015达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．
48°
B．
36°
C．
30°
D．
24°
解析：
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选A．
2.（2015滨州）在△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=3：
4：
5，则∠C等于（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
解析：
180°×
=
=75°即∠C等于75°．故选：
C．
3.（2015长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．
4．（2015桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
解析：
由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．
5.（2015南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）
解析：
A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．
6.（2015宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．7或9D．9或12
解析：
当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．故选：
B．
7.（2015连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：
3 ．
解析：
∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：
AC=4：
3.
8.（2015盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 5 ．
9.（2015昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE= 4 ．
解析：
∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=
AB=
×8=4．
10.（2015巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足
+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
11．（2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为
（n为正整数）．
解析：
在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，
可得：
P1M1=
，P2M2=
，故PnMn=
，故答案为：
12．（2015聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是
．
13.（2015陕西）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
解：
如图，直线AD即为所求：
三、全等三角形
1.（2015娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD=∠CBD或AD=CD． ．（只需写一个，不添加辅助线）
解析：
答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵
，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：
∠ABD=∠CBD或AD=CD．
2.（2015永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．
解：
△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3.
3.（2015永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
（1）求证：
∠ABC=∠EDC；
（2）求证：
△ABC≌△EDC．
（1）证明：
在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
（2）连接AC，由
（1）证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
4.（2015崇左）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：
BE=CD．
证明：
在△ADE和△AEB中，
，
∴△ADE≌△AEB，
∴BE=CD.
5.（2015通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：
△ABC与△DEC全等．
解：
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
6.（2015云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
解：
添加∠BAC=∠DAC．理由如下：
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
7.（2015昆明）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：
AC=DF．
证明：
∵BF=EC（已知），
∴BF+FC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．
8.（2015温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：
AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
证明：
（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=
．
四、等腰三角形
1、（2015陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
解析：
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．
2.（2015湘西州）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
解析：
∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：
C．
3.（2015烟台）等腰三角形三边长分别为
，且
是关于
的一元二次方程
的两根，则
的值为（C）
A．9B.10C.9或10D.8或10
4.（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．
解析：
∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，
设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=
，
∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣
，
在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣
=180°，
解得：
α=52°．故答案为：
52．
5.（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 110°或70° ．
解析：
此题要分情况讨论：
当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°=70°．
故答案为：
110°或70°
6.（2015攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 （2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） ．
解析：
∵四边形OABC是矩形
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：
（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，PC=
=3，
∴点P的坐标为：
（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE=
=3；
分两种情况：
当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5﹣3=2，
∴点P的坐标为：
（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：
（8，4）；
综上所述：
点P的坐标为：
（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故答案为：
（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
7.（2015成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1= 45 度．
解析：
∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵直线m∥n，∴∠1=∠ABC=45°，质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．
8．（2015庆阳）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：
BD平分∠CBA．
解：
（1）如图1所示：
（2）连接BD，如图2所示：
∵∠C=60°，∠A=40°，
∴∠CBA=80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠A=∠DBA=40°，
∴∠DBA=
∠CBA，
∴BD平分∠CBA．
9．（2015青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=3时，m=1．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当n=4时，m=0．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=5时，m=1．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=6时，m=1．
综上所述，可得：
表①
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
表②
n
7
8
9
10
m
2
1
2
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
【问题解决】：
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）
表③
n
4k﹣1
4k
4k+1
4k+2
m
k
k﹣1
k
k
【问题应用】：
用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了 672 根木棒．（只填结果）
解：
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，能搭成二种等腰三角形，
即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
当n=7时，m=2．
（2）用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，
分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
所以，当n=8时，m=1．
用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=9时，m=2．
用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=10时，m=2．
故答案为：
2；1；2；2．
问题解决：
由规律可知，答案为：
k；k﹣1；k；k．
问题应用：
2016÷4=504，504﹣1=503，
当三角形是等边三角形时，面积最大，
2016÷3=672，
∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．
10.（2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：
∠C=2∠D．
证明：
∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．
五、直角三角形与勾股定理
1.（2015毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．
，
，
B．1，
，
C．6，7，8D．2，3，4
解析：
A、（
）2+（
）2≠（
）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（
）2=（
）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：
B．
2.（2015宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 5 ．
解析：
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=
AB，
又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=
×10=5cm故答案为：
5．
3．（2015枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 8 ．
4．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
解析：
如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，
∴展开后AB=2πcm，BC=3cm，
由勾股定理得：
AC=
=
cm．
故答案为：
．
5.（2015东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为
．
解析：
将正方体展开，
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