复变函数与积分变换答案马柏林李丹横晏华辉修订版习题2.docx
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复变函数与积分变换答案马柏林李丹横晏华辉修订版习题2
1.求映射
-下圆周|z|2的像.
解：
设
iy.
wuiv则
iv
xiy
因为
x2
4,所以u
iv
所以
5-x,v
4
3-y
4
所以
2
v
32
2
2.在映射
z2下,
wuiv.
（1）0
⑶x=a,
n
；
4
y=b.（a,b为实数）
2,
解：
设
uiv（xiy）
所以u
2小
y,v2xy.
（1）记w
e'，则0r
习题二
xiy
y
i（y
2y2）
22）xy
3・
yi
4
表示椭圆
平面上的图形映射为
（2）0r
2,0
平面上的什么图形，设
ei或
2x2
y22xyi
2,
n
-映射成w平面内虚轴上从0到4i的一段，即
4
J
lv
1
□
肛M
0
4,
⑵记wei，则0
n
0
r2映成了w平面上扇形域，即0
4,0
⑶记wuiv,则将直线x=a映成了u
a2y2,v2ay.即v24a2（a2u）.是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将y=b映成了uxb[v2xb.
即v24b2（b2u）是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示
lim
z
3.求下列极限.
1;2;
1z
⑵lim）Re^;
z0z
解：
设z=x+yi，
Re（z）
z
有
xiy
..Re（z）
limlim—
z0zx0x
ykx0k
x
ikx
1
1ik
显然当取不同的值时所以极限不存在.
（3）limz_^2
z1z（1z）
f（z）的极限不同
解:
limz—^2=lim
ziz（1z）z「z（iz）（zi）
1
lim
z」z（iz）
zz
lzmi—
2zz
解：
因为
z21
zz2zz2
（z2）（z1）z2
（z1）（z1）z1
zz2zz2
所以回’21
4.
讨论下列函数的连续性:
0,
z0,
z0.
因为当k取不同值时，f（z）的取值不同，所以f（z）在z=0处极限不存在从而f（z）在z=0处不连续，除z=0外连续.
3
xy
⑵f（z）x4y2
0,
所以f（z）在整个z平面连续.
5.下列函数在何处求导？
并求其导数•
（1）f（z）（z1）n1（n为正整数）；
解：
因为n为正整数，所以f（z）在整个z平面上可导
f（z）n（z1）n1.
（2）f（z）
z2
2・
（z1）（z1）
解：
因为
f（z）为有理函数，所以f（z）在（z1）（z21）0处不可导.
从而f（z）除z1,zi外可导•
22
（z2）（z1）（z1）（z1）[（z1）（z1）]
1）2
（z1）2（z2
2z35z24z3
222
（z1）（z1）
（1）
f（z）
2
xy
・2
ixy;
解:
u（x,y）
xy
2
v（x,y）
x
y在全平面上
可微
_y
2
y,
u
2xy,
v
-2xy,
v
x
y
x
y
所以
'要使得
u
v
u
v
x
y
y
x
只有
当z=0
时，
从而
f（z）在
z=0处可导，在全
:
平面上不解析
⑵
f（z）
2・
xi
2y.
解:
u（x,y）
2x
v（x,y）
2
y
在全平面上可彳
微.
u
u
v
v
2x,
0,
0,
2y
x
y
x
y
6•试判断下列函数的可导性与解析性
2x
只有当z=0时，即（0,0）处有——
xy
u
y
所以f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析
⑶
f（z）
2x33iy3;
解:
u（x,y）
2x3,v（x,y）
3y3在全平面上可微
u
2
u
v2
v
6x,
0,
9y,
0
x
y
x
y
所以只有当
2x、3y
时，才满足
C-R方程
从而f（z）在.2x.3y0处可导，在全平面不解析
（4）f（z）zz.
7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数
（1）f（z）0；
证明：
因为f（z）
0,所以——
0
V
V
0
xy
x
y
所以u,v为常数，:
于是f（z）为常数.
⑵f（z）解析.
证明：
设f（z）u
iv在D内解析则
u（v）u
V
xyx
y
u（V）
V
yx
y
uVu
V
x/y
x
而f（z）为解析函数,
所以-
uu
5
u
V
xy
y
x
所以vv,
V
v,即u-
u
V
v0
xx
y
yx
y
x
y
从而V为常数，u
为常数,
即f（z）为常数.
⑶Ref（z）=常数.
证明：
因为Ref（z）为常数，即u=Ci,-u0
xy
因为f（z）解析，C-R条件成立。
故——0即u=C2
xy
从而f（z）为常数•
（4）Imf（z）=常数.
证明：
与（3）类似，由v=Ci得丄丄0
xy
因为f（z）解析，由C-R方程得——0，即u=C2
xy
所以f（z）为常数•
5.|f（z）|=常数.
证明：
因为|f（z）|=C，对C进行讨论.
若C=0，则u=O,v=O,f（z）=O为常数.
若C0,则f（z）0,但f（z）f（z）C2，即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数，有
uvuv
2u2v0,2u2v0
利用
u
x
所以
xxy
C-R条件，由于f（z）在D内解析，有
v
uu—
x
u
v—
x
v
v—
x
vu—
x
所以
0,
即U=Ci,v=C2,于是f（z）为常数•
⑹argf（z）=常数.
证明：
argf（z）=常数，即arctan-C,
u
（v/u）
2u
（u
v
x
v-
-）
x
2u
（u」
y
u、
v）y
n
2
2
2
2
22
2
0
1（v/u）
u
（u
v）
u（u
v）
v
u
0
v
u
uv-
—
u
—v
0
得x
x
C-R
条件
x
x
v
u
0
v
u
0
u—v-
—
u
—v
—
y
y
x
x
解得—――—0，即u,v为常数，于是f（z）为常数.
xxyy
8.设f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）在z平面上解析，求m,n,l的值.
解:
因为
f（z）解析，从而满足C-R条件
u
u22
—
2nxy,一3mynx
x
y
v
2
2v
—
3x
ly,2lxy
x
y
u
v
—
—
n1
x
y
3,13m
3,m1.
uv
n
yx
所以n3,19•试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.
（1）f（z）=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：
u（x,y）=x3-3xy2,v（x,y）=3x2y-y3在全平面可微，且
—3x23y2,—
6xy,-
v
6xy,
v2
3x3y
x
y
x
y
所以f（z）在全平面上满足
C-R方程，
处处可导，
处处解析.
f⑵—
v2
i3x
3y26xyi
22
3（xy
2
2xyi）3z.
xx
（2）
f（z）ex（xcosyysiny）iex（ycosyxsiny）•
x
e（xcosy
ysiny）
e（cosy）
e（xcosy
ysinycosy）
u
x
x
—
e（xsiny
siny
ycosy）e
（xsiny
siny
ycosy）
y
v
e（ycosy
xsiny）
ex（siny）
ex（ycosy
xsin
ysiny）
x
v
—
e（cosy[
y（siny）
xcosy）
e（cosy
ysiny
xcosy）
y
所以
uv
u
v
xy
y
x
x
x
x
所以f（z）处处可导，处处解析•
0.z0.
求证：
（1）f（z）在z=0处连续.
（2）f（z）在z=0处满足柯西一黎曼方程.
（3）
f'（0）不存在.
证明.
（1）Tlimf（z）limux,yivx,y
而limux,y
x,y0,0
x,yim
0,0
33
xy
~22
xy
同理
肿0,0
3x
~~T
x
lim
x,y0,0
xy
~22
xy
•••f（z）在z=0处连续.
⑵考察极限$叫丄^
lim-fx
x0x
它们分别为
•满足C-R条件.
•limf不存在.即f（z）在z=0处不可导.z0z
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f（z）在区域D内解析，求证
Fzfz在区域D1内解析.
证明：
设f（z）=u（x,y）+iv（x,y），因为f（z）在区域D内解析.
所以u（x,y）,v（x,y）在D内可微且满足C-R方程，即——,——.
xyyx
fzux,yivx,yx,yix,y，得
x
x
vx,y
y
y
vx,y
y
vx,y
x
x
y
y
y
ux,y
ux,y
ux,y
故Hx,y）,咲x,y）在Di内可微且满足C-R条件————,————
xyyx
从而fz在Di内解析
13•计算下列各值
（1）e2+i=e2/fei=e2/?
cosi+isini）
2
e3e
2
e3
cos
isin
2
e3
xiy
尸
x
x2y2
Ree
x
~22
xy
Re
Ree
cos
isin
cos
x
22
exy
i2xe
iy
ei
e2iy
e2xiy
14.
设z沿通过原点的放射线趋于R点，试讨论
f（z）=z+ez的极限
解:
令z=rei0,
对于0,
时，rT8.
故limre
r
i---
reiircosisin
elimree
r
.
所以limf
z
z.
2xe
2xe
15.计算下列各值.
（1）ln23i=ln13iarg2
3iln13i
3narctan
2
⑵ln33iln23iarg3
3iIn23
inln23
66
（3）ln（ei）=ln1+iarg（ei）=ln1+i=i
n
（4）InieIneiargie1i
16.试讨论函数f（z）=|z|+lnz的连续性与可导性.
解：
显然g（z）=|z|在复平面上连续，Inz除负实轴及原点外处处连续.
ivx,y
设z=x+iy,g（z）|z|xyux,y
ux,y.xy,vx,y0在复平面内可微.
故g（z）=|z|在复平面上处处不可导.
从而f（x）=|z|+lnz在复平面上处处不可导.
f（z）在复平面除原点及负实轴外处处连续.
17.计算下列各值.
一卢
In3-5
、5ln3
（2）
3
e
e
.5In3
in2kn
.5ln35i
n2kn5i
e
e
：
5In3e
cos2k
1n.5
isin2k
1n5
35cos2k
1n.5
isin2k
1n.5
iIn1
iiln1
iIn1i
02kn
⑶1
e
e
e
ei2kne2kn
（4）
ln
e
1iln
e
18.
（1）
ln1
2kn
2kne
n
e4
n
e4
计算下列各值
COSn
sin
5i
15i
cos1
⑶tan3i
（5）arcsini
n2kn
2kn
2kn
ei11
n5i
n
e4
2kn
2kn
n..cosisin
4
n5i
ch5
5iei1*5i
ei5ei5
2i
2i
5
isin1ecos1isin1
sin1
sin
2i
55
ee
icos1
2
cos3
2i
i3ii3i
ee
2i
sin6isin2
22
ch1sin3
1
yxi
yxi
一e
e
2i
.2sinx
chy
cos
.2sinx
ch2y
sh
.2
.2
sinx
shy
2
（4）sinz
sinxchy
2
2
y
iln
i
i2
xsh2y
2cosx
iln
ln
i2kn
icosxshy2
sin2
xsh2y
0,
1,L
ln
（6）arctan1
2i
1
ln
2
12i
1i12i
ln
ln5
1
解：
zarcsin2In2i、3iIn2.3i
i
iIn232k丄n
2
1L
2k_niln2、3,k0,1L
2
⑵ez1.3i0
解：
ez
13
Ji即zIn1
ln2
3i
2k
ln2i
1.n
3
-2kn
3
（3）ln
z
n
i
2
解：
lnz
n
i
冗
即ze^i
2
⑷z
ln
1i
0
解：
z
ln1i
iln2i—
2kn
In.2
1.
2kn
4
4
20.若z=x+iy,求证
（1）sinz=sinxchy+icosxIShy
ize
ize
ixiyxyii
ee
2i
2i
1
yxi
yxi
2i
.e
e
证明：
sinz
sinxchyicosx.shy
（2）cosz=cosx?
shy-isinx?
shy
证明：
ecosz
e
1
2
ixyie
ixyie
2
1
yxi
yxi
—
e
e
2
1
y
—
e
cosx
isinx
e.cosxisinx
2
y
y
yy
e
e
ee
.cosx
isin
X・-
22cosx.chyisinx.shy
（4）|cosz|2=cos2x+sh2y
|sin（x+iy）|和|cos（x+iy）|都趋于无穷大.
证明：
coszcosxchyisinxshy
22
2
.2
2
coszcos
x.chy
sin
x.sh
y
2
2
.2
2.2,2
cos
xchy
sh
y
cosxsinx.shy
2cos
xsh2y
证明：
sinz
1
一
iziz
ee
1yxiyxi
—ee
2i
2i
sinz
1
yxiy
x
…
-
ee
1
2
yx
y1yxi
y
e
e
e
e
而
sinz
yxiIy
ee
xi|1yy
-ee
2
2
当
y+
a时,
e-yf0,
eT+a有|sinz|Ta
当
yf-
a时，
e_y~t+oo
et0有|sinz|fa
同理得
cos
xiy
!
|eyx
yxi|1yy
e>-ee
2
2
所以当
yTa时有
|cosz|fa
.
21.证明当yfa时,
in2kn
1i
arctan2一
19.求解下列方程
（1）sinz=2.
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