狭义del算子与符号运算法概要.docx
《狭义del算子与符号运算法概要.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《狭义del算子与符号运算法概要.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
狭义del算子与符号运算法概要
第16卷第4期河南教育学院学报（自然科学版
Vo.l16No.42007年12月
JournalofHenanInstituteofEducation（NaturalScience
Dec.2007
收稿日期:
2007-08-01
作者简介:
史天治（1969,男,陕西西安人,淮阴师范学院物理系教师.
狭义del算子与符号运算法
史天治
（淮阴师范学院物理系,江苏淮安223001
摘要:
符号运算法指证明含del算子的恒等式的简便方法.del算子也叫nabla算子（因其符号形似希腊nabla竖琴而得名,哈密顿算子或汉密尔顿算子.该文明确地给出了狭义del算子（也叫笛卡尔坐标系中的矢量偏微分算子的定义与运算规则.该文对于统一目前有关场论著作中的符号以及电磁场理论的教学有重要的作用.
关键词:
del算子;nabla算子;符号运算法;矢量分析;张量分析;并矢分析;哈密顿算子
中图分类号:
O183文献标识码:
A文章编号:
1007-0834（200704-0016-04
符号说明:
f,g表示任意标量;a,b表示任意矢量;5表示任意张量;>表示-定义为.;狭义拉普拉斯算子$=2
5x+2
5y+2
5z.
1为什么要区分del算子
威廉#罗恩#汉密尔顿（WilliamRowanHami-lton,18051865是爱尔兰历史上最伟大的数学家.
他建立了汉密尔顿力学,提出了系统的四元数理论,1843年在研究四元数算法中提出了del算子$=5i+5j+5k（,ij,k分别为笛卡尔坐标系的x,y,z坐标轴单位矢量.由定义可见,$既具有矢量的性质（当然它不是真正的矢量,又具有偏微分算子的性质.在矢量分析中有$#a=（
5i+5j+5k#（a1i+a2j+a3k>5a1+5a2+5a3
a#$=（a1i+a2j+a3k#（5i+5j+5k>a15+a2
55y+a35
5z
.显然.$#aXa#$.同理可证$@aX-a@$,$fXf$.但在张量分析[1-3]
中却有$f=f$,$#a=a#$,$@a=-a@$.于是在矢量分析和张量分析中出现了矛盾的公式,因此我们必须区分del算子
[4]
.本文以及本人的另一篇论文5广义del算子6
（将于本学报下期刊出严格论证了只要采用狭义del算子和广义del算子,则此矛盾可完全解决,不需采用其他符号.本文还详细论述了符号运
算法[5-6]
.
只要我们始终采用右手坐标系,就不存在伪矢量（或叫赝矢量和伪标量（或叫赝标量[7]
从而一切矢量都是真矢量,都是一阶张量;而一切标量都是真标量,都是零阶张量.
因为一切标量都是零阶张量,一切矢量都是一阶张量,所以矢量分析理应成为张量分析的特殊而常用的组成部分.矢量分析是张量分析的理论之源,张量分析是矢量分析的推广和进一步发展.故我们应尽可能地统一矢量分析与张量分析中的符号.2狭义del算子$
定义WilliamRowanHamilton最初提出的del算子为狭义del算子,并用符号$表之,即$>
i+5j+5
k.规定$只适用于笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinates,即标准直角坐标系,其运算规律如下:
（1$f=（5i+5j+5kf>5fi+5fj+5f
k,f$=f（5i+5j+5k>f5i+f5j+f5
k,
显然$fXf$.
（2$#a=（5
5xi+
5
5yj+
5
5zk#（a1i+a2j+
a3k>5a1
+
5a2+5a3
a#$=（a1i+a2j+a3k#（5
i+
5
j+
5k>
a1+a2+a3,显然$#aXa#$.
（3$@a=（i+j+k@（a1i+a2j+
a3k>
ijk5
5x
55y55z
a
1
a2
a3
>（5a3
5y-
5a2
5zi+（
5a1
5z-
5a3
5xj+（
5a2
5x-5a15yk,
a@$=（a1i+a2j+a3k@（i+j+k
>
ijka1a2a3
>（a25-a35i+（a35-a15i+（a15-a2k,显然$@aX-a@$.
（4$a=$（a1i+a2j+a3k>$a1i+$a2j+$a3k
>5a1
ii+
5a1
ji+
5a1
ki+
5a2
ij+
5a2
jj+
5a2kj+
5a35xik+5a3
5yjk+5a35zkk,
a$=（a1i+a2j+a3k$>（a1i+a2j+
a3k（5
i+
5
j+
5
k>a1
5
ii+a2
5
ji+a35ki+
a15
5yij+a2
5
5yjj+a3
5
5ykj+a1
5
5zik+a255zjk+
a35
kk,显然$aXa$.
（5$a#b>（$a1i+$a2j+$a3k#（b1i+
b2j+b3k=b1$a1+b2$a2+b3$a3
=b1（5a1
5xi+
5a1
5yj+
5a1
5zk+b2（
5a2
5xi+
5a2
5yj+5a25zk+
b3（5a3
i+
5a3
j+5a3k
=（b15a1
+b2
5a2
+b3
5a3
i+（b1
5a1
+b2
5a2
+
b3
5a3
j+（b1
5a1
+b2
5a2
+b3
5a3
k
b#$a>（b1i+b2j+b3k#（$a1i+$a2j+$a3k
=（b1i+b2j+b3k#（
5a1
ii+
5a1
ji+
5a1ki+
5a2
5xij+
5a2
5yij+
5a2
5zkj+
5a3
5xik+
5a3
5yjk+
5a3
5zkk=（b1
5a1
5x+b2
5a1
5y+b3
5a1
5zi+（b1
5a2
5x+b25a25y+b3
5a2
j+（b1
5a3
+b2
5a3
+b3
5a3
k=（b#$a,显然$a#bXb#$a.
（6$a@b>（$a1i+$a2j+$a3k@（b1i+b2j+b3k>
ijk
$a1$a2$a3
b1b2b3
>
（b3$a2-b2$a3i+（b1$a3-b3$a1j+（b2$a1-b1$a2k
=（b3
5a2
-b2
5a3
ii+（b3
5a2
-b2
5a3ji+
（b3
5a2
-b2
5a3
ki+（b1
5a3
-b3
5a1
ij+（b15a3-b3
5a1
jj+（b1
5a3
-b3
5a1
kj+（b2
5a1
-
b1
5a2
ik+（b2
5a1
-b1
5a2
jk+（b2
5a1
-b1
5a2kk
b@$a>（b1i+b2j+b3k@（$a1i+$a2j+$a3k
=（b1i+b2j+b3k@（
5a1
ii+
5a1
ji+
5a1
ki+
5a2ij+
5a2
jj+
5a2
kj+
5a3
ik+
5a3
jk+
5a3
kk
=（b2
5a1
-b3
5a1
ii+（b3
5a1
-b1
5a1ji+
（b1
5a1
-b2
5a1
ki+（b2
5a2
-b3
5a2
ij+（b35a2-b1
5a2
jj+（b1
5a2
-b2
5a2
kj+（b2
5a3
-
b3
5a3
ik+（b3
5a3
-b1
5a3
jk+（b1
5a3
-
b2
5a3
5xkk=（b@$a
显然$a@bX-b@$a
在上述规定下,我们有以下矢量分析的基本公式:
（公式中c表示常数,c表示常矢
$（f?
g=$f?
$g$#（a?
b=$#a?
$#b$@（a?
b=$@a?
$@b（1
（2
（3
$（cf=c$f$#（ca=c$#a$@（ca=c$@a（4
（5
（6
$（fC=$fC$#（fC=$f#C$@（fC=$f@C（7
（8
（9
$（fg=g$f+f$g$#（fa=$f#a+f$#a$@（fa=$f@a+f$@a（10（11（12
$（a@b=$a@b-$b@a
$#（a@b=$@a#b-$@b#a
$@（a@b=（$#b+b#$a-（$#a+a#$b（13（14（15
$（a#b=（a#$b+a@（$@b+
（b#$a+b@（$@a（16.1
$（a#b=a（$#b+（a@$@b+
（b#$a+b@（$@a（16.2
$（a#b=a（$#b+（a@$@b+
b（$#a+（b@$@a（16.3
$（a#b=（a#$b+a@（$@b+
b（$#a+（b@$@a（16.4（16$（a#b=$a#b+$b#a（17
$#$f=（$#$f=$2f=$f$@$f=0
$#$@a=0
$@（$@a=$（$#a-（$#$a（18（19（20
（b#$a=b#$a（b@$a=b@$a$g（f=（$fgc（f（21（22（23
上述24个基本公式中,只有公式（16有4种等价形式,其余23个公式的形式显然是唯一的.证明上述24个基本公式的基本方法是比较分量法,即把公式左右两边分别展开成矢量的具体形
式（若a=a1i+a
2
j+a
3
k,则该等式左端叫矢量a的
抽象形式,而等式右端叫矢量a的具体形式,然后看其对应坐标是否相等.这种证明方法也是矢量分析中的基本证明方法.
公式（1~（6实际上说明$是一个线性算子,公式（4~（17是$作用于两函数（包括数量函数与矢量函数之积的情形,公式（18~（21是$二重算子的情形,公式（24是$作用于复合函数的情形.公式（1~（9以及公式（22~（24没有简便证法,只有比较分量法.其余的12个公式有简便证法.
公式（19的简便证法为:
$@$f=（$@$f=0f=0
公式（20的简便证法为:
$#$@a=$@$#a=0#a=0.
实际上只要考虑一下行列式中只要有两行元素完全相同,则行列式为0,于是公式（20立即就可获得.也就是说,从行列式的角度考虑公式的（20意义是非常明显的.当然,公式（20的物理意义为一个矢量的旋度的散度必为0.
3符号运算法
符号运算法[5-6]的创始人是英国著名的物理学家海维赛（OliverHeaviside,1850-1925.海维赛是现代电话通讯理论的奠基人,提出了第一个含电感的电报方程和第一个矢量对称形式的Maxwell方程组.后来有许多数学家和物理学家改进了符号运算法,但它并不完善.
a@b#c=a#b@c=b@c#a=b#c@a
=c@a#b=c#a@b（25a@（b@c=（a#cb-（a#bc
=b（a#c-（a#bc（26（a@b@c=（a#cb-（b#ca
=b（a#c-a（b#c（27符号运算法指应用或不应用矢量恒等式（25~（27证明公式（10~（17和公式（21的简便方法,其理论依据是两函数之积的微分法则:
=（v+u,=#b+a#（
5a
5t,
5（a@b
5t=（
5a
5t@b+a@（
5b
5t
而这三个微分法则可利用极限证明.同时符号运算法也充分利用了del算子的矢量性质.
下面提出严密的符号运算法的法则:
法则1:
当作用于两个函数之积时,应分两次作用,每次只作用于其中一个函数,另一个函数则加下标c表示（视为常数或常矢不受$的作用,$应尽可能地置于首位.这一法则来源于函数的微分法则.法则2:
$只作用于（微分紧随其后的一个函数且必须作用于（微分一个函数（当有括号时,把括号中的表达式之整体视为一个函数,也即$不能位于有实际意义表达式的末尾.$不作用于（微分视为常数（或常矢的函数.而当$作用于（微分视为常数（或常矢的函数时,应重新调整变量的顺序,以使$不作用于（微分视为常数（或常矢的函数.特别地,当遇到$#ac时应当自动改为ac#$.法则2实质上是法则1的具体实现方法.
法则3:
当$对视为变量的两个函数均作用完之后,去掉下标c即得正确的公式.
下面举例说明之.
对于公式（15,有
$@（a@b=$@（a@bc+$@（ac@b=$@（a@bc-$@（b@cc
=（bc#$a-（$#abc-[（ac#$b-（$#bac]=（b#$+$#ba-（a#$+$#ab
对于公式（16,有:
$（a#b=$（a#bc+$（ac#b（28由公式（26和（27,得如下的重要而优美的恒等式:
b（a#c=（a#bc+a@（b@c=a（b#c+（a@b@c（29所以,$（ac#b=（ac#$b+ac@（$@b=ac（$#b+（ac@$@b（30c同理,$（bc#a=（bc#$a+bc@（$@a=bc（$#a+（bc@$@a（31c由上述2式可得下面两个重要而且非常优美的恒等式:
（a#$b+a@（$@b=a（$#b+（a@$@b（30（b#$a+b@（$@a=b（$#a+（b@$@a（31由公式（28、（29、（30c与（31c,立即可证得公式（16的4种等价形式.
总之,只要正确地运用符号运算法的上述3个法则,必可简便地证得公式（10~（17与（21.而只要证明了矢量分析的上述（1~（24共24个基本公式,对于更加复杂的含del算子的表达式,反复应用这24个基本公式必可求出.符号运算法的正确性在于它与用比较分量法所得的结果完全一致.对矢量分析初学者的建议:
当第一次碰到上述24个基本公式时,必须严格地按照比较分量法证明之.其实上述24个基本公式中最复杂的公式是公式（16,而公式（16的分量最多只有42项,故证明上述24个公式并不十分复杂.只有严格地按照比较分量法证明了上述公式之后,才会体会到上述24个基本公式来之不易,同时也才会体会到上述公式的优美.美本质上是劳动经验的升华,是主观感觉与客观规律的统一.只有严格地按照比较分量法证明了上述公式之后,再用符号运算法对部分公式重新证明一遍,才会体会到符号运算法的简便和高明.
参考文献
[1]黄克智,薛明德,陆明万.张量分析[M].2版.北京:
清华大学出版社,2003:
120-122.
[2]李开泰,黄艾香.张量分析及其应用[M].北京:
科学出版社,2004:
43-49.
[3]钱曙复,陆林生.三维欧氏空间张量分析[M].上海:
同济大学出版社,1997:
7-32.
[4]戴振铎,鲁述.电磁理论中的并矢格林函数[M].武昌:
武汉大学出版社,1995:
1-5.
[5]方能航.矢量、并矢分析与符号运算法[M].北京:
科学出版社,1996:
175-216.
[6]方能航.电磁理论导引[M].北京:
科学出版社,1986:
1-3.[7]王甲升.张量分析及其应用[M].北京:
高等教育出版社,1987:
45-47.
SpecialdelOperatorandSymbolicOperationMethod
SHITianzhi
（DepartmentofPhysics,HuaiyinTeachersCollege,Huaian223001,China
Abstract:
Thesymbolicoperationmethodreferstoaconvenientprovingmethodtoproveidentitiescontainingthedeloperator.Thedeloperatorisalsocallednablaoperator（namedbecauseitisshapedlikeaGreekharpnabla,Hamiltonoperator,orHamiltonian.Theessaydefinitelydefinesspecialdeloperatoranditsoperationrules.SpecialdelisalsocalledvectorpartialdifferentialoperatorinCartesiancoordinates.Thepaperisveryimportanttounifyingsymbolsconcerningfieldtheoryandtotheteachingandlearningofelectromagneticfieldtheorypresently.
Keywords:
deloperator;nablaoperator;symbolicoperationmethod;vectoranalysis;tensoranalysis;dyadicana-lysis;Hamiltonian
升级会员 