完整版小升初五年级数学培优教材第一期共四期.docx
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完整版小升初五年级数学培优教材第一期共四期
第1讲加减法简便计算………………………………2
第2讲乘除法简便计算………………………………6
第3讲植树问题………………………………11
第4讲周期问题……………………………16
第5讲数列的认识………………………………21
第6讲等差数列…………………………26
第7讲等差数列求和………………………………31
第8讲还原问题………………………………36
第9讲相遇问题
（一）………………………………41
第10讲假设法鸡兔问题………………………………46
第11讲消去法解题………………………………51
第12讲图形的周长与面积………………………………56
第1讲加减法简便计算
【知识要点】
在加减运算中，我们常用改变运算顺序、互补两数凑整、借数凑整以及选择基准数等方法，把数学算式巧妙变形，从而使运算简便。
【例题精讲】
例1、用简便方法计算下面各题。
1）1834-（334+613）-3872）4256+175-256+825
3）7324-29984）1308-（308-149）
例2、用简便方法计算下面各题。
1）0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
2）101-0.9-0.09-0.009-0.0009
例3、计算：
1）（4+7+…+25+28）-（2+5+…+23+26）
2）1–2+3–4+5–6+┉+2001–2002+2003
例4、用简便方法计算。
486+482+485+483+487
例5、用简便方法计算。
1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+…
+9+8+7-6-5-4+3+2+1
【基础夯实】
1、巧算下面各题。
1）6234-（234+187）2）964–598+98
3）4976-（976-249）+2514）5498–1928–387–1072–1613
2、计算下列各题。
1）19+199+1999+19999+199999
2）8999999+799999+69999+5999+499+39+7
3、计算：
2000+1999-1998+1997–1996+......+3–2+1
4、计算：
276+285+291+280+277
【能力提升】
1、巧算下面各题。
1）9+99+999+……+999999999
2）19+199+199+1999+…+1999…999
2、计算，从1到100这些自然数中所有数字的和是多少？
第2讲乘除法的简便运算
【知识要点】
乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。
乘法变换律：
a×b=b×a
乘法结合律：
（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律：
（a+b）×c=a×c+b×c
商不变性质：
a÷b=（a×c）÷（b×c）
a÷b=（a÷c）÷（b÷c）（b≠0，c≠0）
除法的运算性质：
a÷b÷c=a÷（b×c）
【例题精讲】
例1、用简便方法计算下面各题。
1）79+79×992）75×101
3）125×32×254）1111×9999
例2、计算。
1）6800÷25÷42）5600÷（25×7）
例3、计算：
1）（38×96×50）÷（25×19×48）
2）536×317÷816÷317×816÷536
例4、计算：
1）（578×743+232）÷（744×578-346）
2）9999×2222+3333×3334
例5、计算（1+23+34）×（23+34+65）-（1+23+34+65）×（23+34）
【基础夯实】
1、用简便方法计算下列各题。
1）125×562）617×58+617×43–617
3）74×984）102×25
2、用简便方法计算下列各题。
1）51600÷25÷42）（625×333×384）÷（125×128×111）
3）261×438÷292÷438×292÷261
4）（1+17+19）×（17+19+92）-（1+17+19+92）×（17+19）
【能力提升】
1、简便计算下列各题。
1）1234×1000100012）6666×2490+2222×2530
3）280+930×4
2、巧算。
1）66666×666662）78999921÷79
3）（43×98+39）÷（99×43-4）
第3讲植树问题
【知识要点】
1、植树问题是研究在植树过程中有关棵数与段数之间的关系，它们之间的关系中段数相对固定，棵数则因线路类型和具体种植要求会作一定变化。
2、植树问题的线路有封闭和不封闭两种。
3、基本数量关系：
①路长÷间距＝段数；
②不封闭线路：
1）两端都植树：
棵数=段数＋1=路长÷间距＋1；
2）一端植树，一端不植树：
棵数=段数=路长÷间距；
3）两端都不植树：
棵数=段数-1=路长÷间距-1；
③封闭线路：
棵数=段数=路长÷间距
4、要解决植树问题，首先要牢记三要素：
①总线段长；②间距；③棵数。
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个。
【例题精讲】
例1、长120米的公路两旁从头到尾种树62棵（两行），树间间距相同，求相邻两树之间的距离是多少？
例2、一座桥全长168米，计划在桥的两侧的栏杆上各安装16块花纹图案，每块图案的横长为3米，靠近桥头的图案距离桥端都为15米，求相邻两块图案之间相隔几米？
例3、有一圆形花坛，绕它一圈120米，如果沿着一圈每隔6米栽一棵丁香，再在每相邻的两棵丁香之间等距离种2棵月季。
那么共可栽丁香和月季各多少棵？
例4、有海、陆、空三支士兵组成的仪仗队，每军种队伍400人，都排成8纵队并排前进，陆军前后每两人隔1米，海军前后每两人隔2米，空军前后每两人隔3米，每军种队伍之间隔4米。
三军种士兵每分钟都走80米，那么这支仪仗队通过98米长的检阅台要多少时间？
【基础夯实】
1、某公园有一个圆形水池，计划在水池周围种花。
水池周长405米，每隔5米种一棵，一共可以种多少棵花？
2、在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等，求相邻两盏彩灯之间的距离。
3、有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？
4、20个运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长2米，前后两车相距18米，如果每辆车的车速为每秒12米，他们绕运动场表演9圈，需要多少时间？
【能力提升】
1、小明站在一棵梧桐树下，公路旁每隔8米栽一棵梧桐树，小明骑自行车出发5分钟又连续看到125棵梧桐树，小明每分钟骑多少米？
2、在一条路上按相等的距离植树。
甲、乙二人同时从路的一端某一棵树出发，当甲走到从自己这边数的第22棵时，乙刚走到从他那一边数的第10棵树。
已知乙每分钟走36米，求甲每分钟走多少米？
3、将长5米的木料，从一头开始，按30厘米一段和20厘米一段的长度交替截下来，每截一次要10分钟，中间要停4分钟，全部截完一共要几分钟？
4、把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且
每个角上有一枚。
然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。
问：
每条边上黑、白棋子共有多少枚？
第4讲周期问题
【知识要点】
在我们日常生活中，有一些现象是按照一定的规律不断重复出现的，例如：
每周有七天，从星期一起到周日结束，总是以7天为个循环不断重复出现的。
像这种特殊的规律性问题，我们称之为周期问题。
解答周期问题关键是找规律，找准周期。
确定周期后，用总量除以周期，再看余数是几，就是周期中的第几个数，正好是整数周期的，结果为周期里最后一个数。
【例题精讲】
例1、有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、……来排列的。
（1）第58个数是多少?
（2）这58个数相加的和是多少？
例2、2009年的6月1日是星期一，问：
①2009年10月1日是星期几？
②2009年12月25日是星期几？
例3、如图所示，每列上、下一个字和一个字母组成一组，例如，第一组是（我，A），第二组是（爱，B），第62组是什么？
我
爱
看
雪
花
我
爱
看
雪
花
我
爱
…
…
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
…
…
例4、假设所有自然数排列起来，如图所示，27应排在哪个字母下面？
84应排在哪个字母下面？
300应排在哪个字母下面？
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…
例5、71998表示1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？
【基础夯实】
1、有一列数5，7，1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，……
问：
①第173个数是几？
②380个数的和是多少？
2、有红、黄、黑珠子共280个，现按6个红珠、5个黄珠、3个黑珠排成一串。
问：
①第178个珠子是什么颜色？
②前227个珠子里红珠共有多少个？
3、2010年的6月1日是星期二，问：
2010年的10月1日是星期几？
2011年的元旦是星期几？
4、伸出左手，然后从大拇指起开始数，当数到200的时候，正好数到哪根手指？
【能力提升】
1、将自然数1，2，3，4，5，…，按下面的方法排列，那么55这个数排在第几列？
117这个数排在第几行第几列？
一
二
三
四
五
一
1
2
3
4
二
5
6
7
8
三
9
10
11
12
四
…
13
14
15
16
…
…
…
…
…
2、某年的三月有5个星期三，4个星期二，这一年的十月一日是星期几？
3、12415表示15个124连乘，所得积的末位数字是几？
4、下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？
”表示的数字是几吗？
8
？
6
第5讲数列的认识
【知识要点】
一、基本概念：
1、数列的定义：
按一定规律排列的一列数叫数列。
2、数列的项与项数：
数列中的每个数叫做数列的项。
数按顺序排列于数列的第几位叫第几项。
排在第一位的数叫做这个数列的第1项，通常叫首项，排在最后一位的叫末项。
二、数列的基本性质及按性质分类。
1、数列性质的观察。
2、数列的分类方法
①按数列中项的个数来分类：
项数有限的数列为“有限数列”，如数列：
1，3，5，7，9，11，13……101；共512项，所以它是“有限数列”；
项数无限的数列为“无限数列”，如数列：
1，3，5，7，9……有无数多个项，所以它是“无限数列”。
②按数列中项的变化规律来分类：
从第2项起每一项都大于它的前一项的数列叫做“递增数列”；
如：
1，2，3，4，5，6，7，8……100，它是递增数列。
从第2项起每一项都小于它的前一项的数列叫做“递减数列”；
如：
100，99，98，97……2，1
数列中各项都相等的数列叫做“常数列”。
如：
1，1，1，1，1……1，这个数列的每项都是“1”，所以它是常数列。
3、数列的重要类型：
①等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个差叫做等差数列的公差。
②递推数列：
一般地，具有某递推关系的数列，就叫递推数列。
例如，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项起每项等于前两项之和，那么这就是它的递推关系，这就是一个递推数列。
这个数列又叫做斐波拉契数列。
③周期数列：
数列的各项呈周期性（有规律反复出现）变化的数列叫做周期数列：
如，1，2，3，4，1，2，，3，4，1，2，3，4…数列由项“1”，“2”，“3”，“4”有规律反复出现而形成，所以它是周期数列。
【例题精讲】
例1、观察数列，归纳特点。
①1，3，5，7，9……②1，4，7，10，13……
③1，5，9，13，17④100，98，96，……6，4，2
⑤99，97，……51，49，47⑥1949，1959，1969，1979，1989，1999
对于上述6个数列：
（1）属于无限数列的是属于有限数列的是
（2）属于递增数列的是属于递减数列的是
（3）相邻两项的差相等的是属于奇数数列的是
例2、观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。
（1）5，9，13，17，，。
（2）1，3，9，27，______，______。
（3）1，4，9，16，，。
（4）4，9，7，12，10，15，，。
（5）1，1，2，3，5，______，______。
例3、有一个数列:
2，5，8，11，14，17，…，那么这个数列的第2014个数是多少？
2012是这个数列的第几个数？
例4、已知数列1，4，3，8，5，l2，7，16，……，问：
这个数列第1997个数是多少？
第2000个数呢？
【基础夯实】
1、观察以下数列，归纳特点。
①1，1，2，3，5，8，13，……②2014，2012，,2010，……，2
③1，10，100，1000④1，5，9，13，
⑤5，5，5，5，5，5⑥1，3，5，7，……，99
对于上述6个数列：
（1）属于无限数列的是属于有限数列的是
（2）属于递增数列的是属于递减数列的是
（3）相邻两项的差相等的是属于奇数数列的是
2、找出下列各数列的规律，在横线上填出适当的数。
（1）2，5，8，11，14，，，23。
（2）1，2，2，5，9，16，30，55，，。
（3）2，3，5，7，11，13，，，23，29。
（4）5，15，45，135，，。
（5）60，63，68，75，，。
（6）180，155，131，108，，。
（7）45，5，42，10，39，15，______，______。
（8）81，64，49，36，_____，16，9，4，______。
3、根据规律填数。
①（15，30）、（24，12）、（19，38）、（__，17）、（__，62）。
②（17，8）、（25，12）、（57，28）、（65，__）、（__，43）。
4、有一列由三个数组成的数组，它们依次是：
（1，5，10）、（2，10，20）、
（3，15，30）……,第99个数组内三个数的和是多少？
5、0，1，2，3，6，7，14，15，30，31，（），（）。
上面这个数列是小明按照一定规律写下来的，那么这个数列的最后三项的和应是多少？
【能力提升】
1、观察下列各式：
……
猜想：
。
2、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子多少枚（用含n的式子表示）？
3、数列3，48，1，5，49，4，7，50，7，9，51，10，11，…的第2002个数是多少？
4、下图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中。
1
2
4
7
3
5
8
12
6
9
13
18
10
14
19
25
（1）求位于第3行、第8列的方格内的数。
（2）数321在第几行第几列的方格内?
第6讲等差数列
【知识要点】
一﹑等差数列的基本概念
1、等差数列：
从第2项起，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。
2、公差（d）：
等差数列中后项与前项的差称为等差数列的公差。
3、等差数列是由若干个数排列的，数列中的每一个数称为项，其中第一项为首项（a1），最后一项为末项（an），数列中数的个数称为项数（n）。
二、等差数列的基本公式
1、第n项（末项）=首项+公差×（项数－1）
=
+d×（n-1）
2、项数=（末项-首项）÷公差+1n=（
-
）÷d+1
3、公差=（末项-首项）÷（项数－1）d=（
-
）÷（n-1）【例题精讲】
例1、23,28,33,38，……，78，……，
，……，123，……，
，……
求：
①上的数是第几项；②
，
是多少？
例2、如果一个等差数列的第4项是21，第6项是33，求它的第8项。
例3、在自然数10到30之间插入4个数，使其变成一个等差数列，这4个数分别是多少？
例4、所有被4除余1的三位数的和是多少？
【基础夯实】
1、在14,17,20,23,26，……中，
（1）第50项是多少？
（2）296在第几项？
2、在一个等差数列中，第6项是29，第10项是45，问首项是几？
3、已知等差数列5，9，13，17，…，801，805，问这个数列共有多少项？
4、一堆圆木有规律的堆积成了8层，已知最底层堆了28根，往上一层每次减少2根，请问最顶层有多少根圆木？
5、求100以内，除3余2的自然数的和。
【能力提升】
1、已知一数列2002，2001，1，2000，1999，1，1998，1997，1，…，1，4，3，1，2，1，1，这个数列共有多少项？
2、小强计算从1开始若干个连续自然数的和，结果误把1当成10来计算，得到错误的结果恰好是100，你能帮小强纠正错误吗？
小强算的是哪些自然数的和？
3、已知一个数列：
1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3……，问15是这个数列中的第几个到第几个数？
4、若在等差数列2，5，8，…的每相邻两项中间插入三项，使它构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第几项？
第7讲等差数列求和
【知识要点】
等差数列求和公式：
总和=（首项+末项）×项数÷2
=（
+
）×n÷2
【例题精讲】
例1、计算1+2+3+4+……+2013+2014+2015
例2、求200与800之间所有能被7整除的数的和。
例3、小刚准备在黑板上从1开始写下了若干连续自然数，写完之后发现漏掉了1个数，并且黑板上所有数的和为198。
请问小明原本准备写多少个数？
漏写了哪个数？
例4、求下列方阵中所有数的和：
1、2、3、4、……、49、50；
2、3、4、5、……、50、51；
3、4、5、6、……、51、52；
……
49、50、51、52、……、97、98；
50、51、52、53、……、98、99。
【基础夯实】
1、计算。
（1）6＋11＋16＋…＋501
（2）100＋99－98＋97－96＋…＋3－2＋1
2、1－3＋5－7＋9－11＋…－1995＋1997
3、一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米？
4、在1~200以内所有除以7余2的数的和为多少？
【能力提升】
1、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。
小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？
2、有一列数：
1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是多少？
3、小明和小强比赛口算，计算：
1+2+3+4+……+n，当计算到规定的那个加数时，小明的得数是60，小强的得数是66，老师说他们两人的得数有一个错了。
问：
他们谁算错了，错在哪里？
4、求1——99这99个连续自然数的所有数字的和。
第8讲还原问题
【知识要点】
还原问题的特点是：
已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数。
解决还原问题的基本思路是：
一步一步退回去，原来是加的，退回去用减；原来是减的退回去用加；原来是乘的，退回去用除；原来是除的，退回去用乘；也就是一步一步退还到原来的出发点。
又叫逆运算问题。
对于简单的，每次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着退算；对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。
【例题精讲】
例1、一个数的4倍加上5等于53，求这个数。
例2、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁?
例3、小强从甲地到乙地，他第一次行了全程的一半多5千米，第二次行了余下的一半少10千米，第三次行了20千米，这时他离开乙地还有5千米，甲乙两地相距多少千米？
倒4、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。
问：
原来至少有多少枚棋子？
【基础夯实】
1、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。
这个数是多少？
2、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：
“把我的年纪加上9．除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。
”王老师今年多少岁？
3、小红、小兰和小刚三个人共有故事书60本。
如果小兰向小红借3本后，又借给小刚5本，结果三个人的故事书本数正好相等。
这三个人原来各有多少本书？
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