第4章 第3课时 圆周运动的规律.docx

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第4章第3课时圆周运动的规律

第3课时　圆周运动的规律

导学目标

1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式，掌握物体做离心运动的条件．

一、描述圆周运动的物理量

[基础导引]

甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下各种情况下哪个物体的向心加速度比较大？

A．它们的线速度相等，乙的半径小．

B．它们的周期相等，甲的半径大．

C．它们的角速度相等，乙的线速度小．

D．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大．

[知识梳理]

描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表.

物理量

物理意义

定义和公式

方向和单位

线速度

描述物体做圆周运动的____

物体沿圆周通过的弧长与所用时间的比值，v＝________

方向：

沿圆弧切线方向．

单位：

m/s

角速度

描述物体与圆心连线扫过角度的________

运动物体与圆心连线扫过的角的弧度数与所用时间的比值，ω＝________

单位：

rad/s

周期和转速

描述物体做圆周运动的____

周期T：

物体沿圆周运动一周所用的时间．

转速n：

物体单位时间内转过的圈数

周期单位：

s

转速单位：

r/s或r/min

向心加速度

描述线速度方向变化的____

an＝________

方向：

总是沿半径指向圆心，与线速度方向垂直．

单位：

m/s2

相互关系

①v＝rω＝

r＝2πrf

②an＝

＝rω2＝ωv＝

＝4π2f2r

：

线速度和角速度的物理意义有什么不同？

二、向心力

[基础导引]

分析图1中物体A、B、C的受力情况，说明这些物体做圆周运动时向心力的来源，并写出动力学方程．

图1

[知识梳理]

1．作用效果：

产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________．

2．大小：

F＝m

＝________＝m

＝mωv＝4π2mf2r

3．方向：

总是沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力．

4．来源：

向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的______提供，还可以由一个力的________提供．

：

向心力是按效果还是按性质命名的力？

可以在受力分析时加一个向心力吗？

三、圆周运动、向心运动和离心运动

[基础导引]

1．关于匀速圆周运动的下列说法正确的是（　　）

A．匀速圆周运动是一种匀速运动

B．匀速圆周运动是一种匀变速运动

C．匀速圆周运动是一种变加速运动

D．物体做圆周运动时其向心力不改变线速度的大小

2．物体做匀速圆周运动时，如果向心力突然消失，则下列说法正确的是（　　）

A．物体将继续在原来的圆周上运动

B．物体将沿着圆周的切线方向飞出去

C．物体将沿着切线和圆周之间的某一条曲线向远离圆心的方向运动

D．以上说法均不对

图2

3．如图2所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣．随着旋转速度越来越快，飞椅会逐渐远离圆柱．你能讲出其中的道理吗？

[知识梳理]

1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动

两种运动具体比较见下表.

项目

匀速圆周运动

非匀速圆周运动

定义

线速度的大小______的圆周运动

线速度的大小______的圆周运动

运动

特点

F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变

F向、a向、v大小和方向均发生变化，ω发生变化

向心力

F向＝F合

由F合沿半径方向的分力提供

2．离心运动

（1）本质：

做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着___________飞出去的倾向．

（2）受力特点（如图3所示）

①当F＝________时，物体做匀速圆周运动；

②当F＝0时，物体沿__________飞出；

图3

③当F<________时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．

④当F>mrω2时，物体逐渐向______靠近，做________运动．

：

1．物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗？

2．物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗？

考点一　圆周运动中的运动学问题分析

考点解读

1．对公式v＝ωr的理解

当r一定时，v与ω成正比．

当ω一定时，v与r成正比．

当v一定时，ω与r成反比．

2．对a＝

＝ω2r＝ωv的理解

在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．

典例剖析

例1

图4

如图4所示装置中，A、B、C三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比．

方法突破

1．高中阶段所接触的传动主要有：

（1）皮带传动（线速度大小相等）；

（2）同轴传动（角速度相等）；（3）齿轮传动（线速度大小相等）；（4）摩擦传动（线速度大小相等）．

2．传动装置的特点：

（1）同轴传动：

固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；

（2）皮带传动：

不打滑的摩擦传动和皮带（或齿轮）传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．

图5

跟踪训练1　某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图5所示．链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径均为660mm，人骑该车行进的速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为（　　）

名称

链轮

飞轮

齿数N/个

48

38

28

15

16

18

21

24

28

A.1.9rad/sB．3.8rad/sC．6.5rad/sD．7.1rad/s

考点二　圆周运动中的动力学问题分析

考点解读

1．向心力的确定

（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．

（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力．

2．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力．

典例剖析

例2

图6

有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图6所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

方法突破　解决圆周运动问题的主要步骤

（1）审清题意，确定研究对象；

（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；

（3）分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；

（4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．

跟踪训练2　在加拿大城市温哥华举行的第二十一届冬奥会花样滑冰双人自由滑比赛落下帷幕，中国选手申雪、赵宏博获得冠军．如图7所示，如果赵宏博以自己为转动轴拉着申雪做匀速圆周运动．若赵宏博的转速为30r/min，手臂与竖直方向夹角为60°，申雪的质量是50kg，她触地冰鞋的线速度为4.7m/s，则下列说法正确的是（　　）

图7

A．申雪做圆周运动的角速度为πrad/s

B．申雪触地冰鞋做圆周运动的半径约为2m

C．赵宏博手臂拉力约是850N

D．赵宏博手臂拉力约是500N

考点三　平抛运动与圆周运动问题综合分析

典例剖析

图8

例3　如图8所示，一根轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.1kg的小球静止于A点，其右方有底面半径r＝0.2m的转筒，转筒顶端与A等高，筒底端左侧有一小孔，距顶端h＝0.8m．开始时小球处于O点所在水平面上方30°的位置B处且细绳刚好伸直，OB及OA与转筒的轴线在同一竖直平面内，小孔此时也位于该竖直平面内．将小球从B点由静止释放，小球经过A点时速度vA＝2

m/s，此时轻绳突然断掉，同时转筒立刻以某一角速度做匀速转动，最终小球恰好进入小孔．取g＝10m/s2，不计空气阻力．

（1）求转筒轴线与A点的距离d；

（2）求转筒转动的角速度ω；

（3）欲求轻绳的长度l，某同学解法如下：

小球从B点运动到A点过程中，只有重力做功，故机械能守恒，则mgl（1＋sin30°）＝

mv

，代入数据，即可求得l.

你认为上述解法是否正确？

如果认为正确，请完成此题；如果认为不正确，请给出正确的解答.

　　　　　　　　　　6.忽视圆周运动的周期性

例4　如图9所示，半径为R的圆盘匀速转动，在距半径高度h处以平行

OB方向水平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度与OB方向平行，为

使小球和圆盘只碰撞一次且落点为B，求：

图9

（1）小球的初速度大小；

（2）圆盘转动的角速度．

正本清源　1.多解原因：

因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这将造成多解.

2.多解问题模型：

常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动.,由于涉及两个物体的运动是同时进行的，因此求解的基本思路是依据等时性建立等式求出待求量.

图10

跟踪训练3　如图10所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕垂直于

纸面的O轴匀速转动（图示为截面）．从枪口射出的子弹沿直

径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO与bOz

的夹角为θ，求子弹的速度．

7．不能建立匀速圆周运动的模型

例5　质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图11所

示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时

图11

空气对飞机的作用力大小为（　　）

A．m

B．mgC．m

D．m

跟踪训练4　有一种大型游戏器械是一个圆筒形容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立．当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，地板突然塌落，游客发现自己没有落下去．这是因为（　　）

A．游客处于超重状态B．游客处于失重状态

C．游客受到的摩擦力等于重力D．筒壁对游客的支持力等于重力

A组　圆周运动的运动学问题

图12

1．如图12所示的皮带传动装置中，右边两轮是在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为RA＝RC＝2RB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比vA∶vB∶vC＝______，角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝______.

2．一个环绕中心线AB以一定的角速度转动，P、Q为环上两点，位置如图13所示，下列说法正确的是（　　）

A．P、Q两点的角速度相等

B．P、Q两点的线速度相等

C．P、Q两点的角速度之比为

∶1

图13

D．P、Q两点的线速度之比为

∶1

B组　圆周运动的动力学问题

图14

3．如图14所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：

（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；

（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．

4．如图15所示，长度为L的细绳，上端固定在天花板O点上，下端拴着质量为m的小球．当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平面上．

图15

（1）当球以角速度ω1＝

做圆锥摆运动时，细绳的张力FT为多大？

水平面受到的压力FN是多大？

（2）当球以角速度ω2＝

做圆锥摆运动时，细绳的张力FT′及水平面受到的压力FN′各是多大？

课时规范训练

（限时：

45分钟）

一、选择题

1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法正确的是（　　）

A．与线速度方向始终相同B．与线速度方向始终相反

C．始终指向圆心D．始终保持不变

2．如图1所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是（　　）

图1

A．受重力和台面的支持力

B．受重力、台面的支持力和向心力

C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力

D．受重力、台面的支持力和静摩擦力

3．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　）

A．相等的时间里通过的路程相等

B．相等的时间里通过的弧长相等

C．相等的时间里通过的位移相等

D．相等的时间里转过的角度相等

4．图2为A、B两物体做匀速圆周运动时向心加速度a随半径r的变化的图线，由图可知（　　）

图2

A．A物体的线速度大小不变

B．A物体的角速度不变

C．B物体的线速度大小不变

D．B物体的角速度与半径成正比

图3

5．一对男女溜冰运动员质量分别为m男＝80kg和m女＝40kg，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图3所示，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，则两人（　　）

A．速度大小相同约为40m/s

B．运动半径分别为r男＝0.3m和r女＝0.6m

C．角速度相同为6rad/s

D．运动速率之比为v男∶v女＝2∶1

图4

6．自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图4所示．正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于（　　）

A．1∶1∶8B．4∶1∶4C．4∶1∶32D．1∶2∶4

图5

7．如图5所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距

的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是（　　）

A．小球的线速度不发生突变

B．小球的角速度突然增大到原来的2倍

C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍

D．绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍

8．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动．图6中有两位驾驶摩托车的杂技演员A、B，他们离地面的高度分别为hA和hB，且hA>hB，下列说法中正确的是（　　）

图6

A．A摩托车对侧壁的压力较大

B．A摩托车做圆周运动的向心力较大

C．A摩托车做圆周运动的周期较小

D．A摩托车做圆周运动的线速度较大

9．如图7所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（　　）

A．周期相同

图7

B．线速度的大小相等

C．角速度的大小相等D．向心加速度的大小相等

10.如图8所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大圆环对轻杆的拉力大小为（　　）

图8

A．（2m＋2M）gB．Mg－2mv2/R

C．2m（g＋v2/R）＋MgD．2m（v2/R－g）＋Mg

二、非选择题

11．如图9所示，在半径为R的转盘的边缘固定有一竖直杆，在杆的上端点用长为L的细线悬挂一小球，当转盘旋转稳定后，细绳与竖直方向的夹角为θ，则小球转动周期为多大？

图9

12．（2010·重庆理综·24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图10所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为

d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．

图10

（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.

（2）问绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？

最大水平距离为多少？

复习讲义

基础再现

一、

基础导引　A．甲、乙线速度相等时，利用an＝

，半径小的向心加速度大，所以乙的向心加速度大．

B．甲、乙周期相等时，利用an＝

r，半径大的向心加速度大，所以甲的向心加速度大．

C．甲、乙角速度相等时，利用an＝vω，线速度大的向心加速度大，所以乙的向心加速度小．

D．甲、乙线速度相等时，利用an＝vω，角速度大的向心加速度大．由于在相等时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙大，所以甲的角速度大，甲的向心加速度大．

知识梳理　快慢　

　快慢　

　快慢　快慢　

思考：

线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，而角速度是描述物体做圆周转动快慢的物理量．二者仅一字之差，运动快慢与转动快慢不一样．运动快慢是指物体做圆周运动通过弧长的快慢，转动快慢是指物体与圆心连线扫过角度的快慢．

二、

基础导引　

（1）

，Ff为向心力，Ff＝mω2l

（2）

，FN为向心力，FN＝m

（3）

，FT与G的合力或FT在水平方向的分力提供向心力．Gtanθ＝m（

）2lsinθ

知识梳理　1.方向　大小　2.mω2r　3.圆心　4.合力　分力

思考：

向心力是效果力，受力分析时，不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力．

三、

基础导引　1.CD　2.B　

3.每个飞椅受力如图所示，向心力为F＝mgtanθ，当旋转速度越来越大时，所

需向心力F＝mv2/r越来越大，所以θ角越来越大，即飞椅会远离圆柱．

知识梳理　1.不变　不断变化　2.

（1）圆周切线方向　

（2）①mrω2　②切线方向

③mrω2　④圆心　向心

思考：

1.物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现．

2．物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大，沿切线方向飞出．

课堂探究

例1　解析　va＝vc，而vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，所以va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4；ωa∶ωb＝2∶1，而ωb＝ωc＝ωd，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1；再利用a＝vω，可得aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4.

跟踪训练1　B　

例2　ω＝

跟踪训练2　AC

例3　

（1）1.99m　

（2）ω＝5nπrad/s（n＝1,2,3，…）　（3）不正确，0.8m

例4　

（1）R

（2）nπ

（n＝1,2,3,4，…）跟踪训练3　

（n＝0,1,2，…）

例5　C跟踪训练4　C

分组训练

1．1∶1∶2　1∶2∶2

2．AD　[P、Q两点的角速度相等，半径之比RP∶RQ＝Rsin60°∶（Rsin30°）＝

∶1；由v＝ωR可得vP∶vQ＝RP∶RQ＝

∶1.]

3．

（1）

（2）

4．

（1）mg　

（2）4mg　0

课时规范训练

1．C　2．D　3．ABD　4．A　5．B　6．C　7．ABC　8．D9．AC　10．C　

11．2π

12．

（1）v1＝

　v2＝

（2）

mg　（3）

d