并联机构机电耦合动力学计算武建新.docx
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并联机构机电耦合动力学计算武建新
基金项目:
内蒙古自然科学基金资助项目（200308020204
作者简介:
武建新（1971-,男,内蒙古四王子旗人,副教授,博士生.
并联机构机电耦合动力学计算
武建新,李 强,赵卫国,孙 燕
（内蒙古工业大学机械工程学院,内蒙古呼和浩特 010051
摘要:
并联机构动力学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的复杂机电系统,目前还没有一个成熟的并联机构动力学建模和仿真计算方法.针对三自由度并联机构,建立了包括机械机构、伺服电机一体化的动力学模型.最后在设计好的运动平台轨迹下,计算了移动腿的位移、驱动电机的负载转距;分析了移动腿的误差.计算机仿真结果展示了控制器对机构位移和伺服电机转距良好的控制.关键词:
并联机构;动力学;机电耦合系统中图分类号:
TH113.2
Electromechanicalcouplingdynamiccalculation
forparallelmechanism
WUJian-xin,LIQiang,ZHAOWei-guo,SUNYan
（SchoolofMechanicalEngineering,InnerMongoliaUniversityofTechnology,Hohhot010051,China
Abstract:
Duethatthedynamicmodelofaparallelmechanismisamultiple-input,multiple-output,non-lin-ear,tight-couplingandcomplicatedelectromechanicalsystem,aneffectivemodelingandsimulationmethodisstilllackingforaparallelmechanism.Inthisstudy,anintegrateddynamicmodel,includingamechanicalmanipulatorandanalternativecurrent（ACservomotor,isestablishedintermsofathreedegree-of-freedom
（DOFparallelmechanism.Suchparametersasslidingblockdisplacementandservomotortorquehavebeencalculatedbasedonthepredeterminedtrackofamovingtable.Inaddition,theerrorsofslidingblockareana-lyzed.Asaresult,itisindicatedthatthemanipulatordisplacementandservomotortorqueareeffectivelycon-trolledinthisapproach.Keywords:
parallelmechanism;dynamics;electromechanicalcouplingsystem
并联机构是机器人技术和现代数控机床技术结合的产物.它能够提供机器人的灵活与柔性,又具有机床的刚度和精度,是集多种功能于一体的新型机电一体化设备[1~3].该机构具有刚度高、响应速度快、实现多自由度运动、灵活实现空间姿态的能力等特点.并联机构动力学模型的建立和分析是机构的轨迹规划、整机动态设计和控制器参数整定的重要理论基础,可归结为已知刀具的运动规律（轨迹及其速度和加速度,求解各关节的内力和驱动力.其动力学模型通常是一个多自由度、多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统.相应的建模方法可采用几乎所有可以利用的力学原理,如牛顿-尤拉法、拉格朗日方程、虚功原理、凯恩方程等.国内外许多学者对此进行了研究[4~6],但目前还没有对机电耦合并联机床动力学问题进行研究.
由于并联机构是一种机电一体化装备,其电机的电磁参数与机械系统的动力参数构成参数耦合,共同影响整个系统的动力学性能[7],所以只有在并联机构动力学建模的同时考虑伺服机构的作用,该动力学
第4卷第4期2006年10月
中 国 工 程 机 械 学 报
CHINESEJOURNALOFCONSTRUCTIONMACHINERYVol.4No.4 Oct.2006
方程才有可能应用于机构控制算法.文中针对三自由度并联机构建立了包括机械机构、伺服电机的一体化动力学系统方程.
1 运动方程
三自由度并联机构由动平台、静平台、连接两平台的杆件（腿和滑块组成;连接杆两端都为虎克铰,通过丝杠副驱动三个滑块沿导轨的运动实现动平台沿三个坐标方向的平动.如图1.
图1 三自由度并联机构示意图Fig.1 3DOFparallelmanipulator
在图1所示的机构中,下平台为静平台,上平台为动平台,它们均为正三角形.将坐标系放置在静平台中心Ob,设运动平台中心Oa在坐标系中的坐标为q=[xa ya za]T
.因为运动平台只有三个移动自由度,而位姿并无变化,所以机构的位置逆解为
pi=za-l-（Δxi+xa-（Δyi+ya, i=1,2,3（1
式中:
pi为三个滑块沿z轴移动的距离向量;p=[p1,p2,p3]T;l为连接杆长;Δxi=ΔRcos（2iπ/3;Δyi=ΔRsin（2iπ/3;ΔR为动静平台外接圆半径之差.式（1两边对时间求导数,就可获得滑块到动平台的速度变换
p·
=Jq
·
（2
式中:
p·
q·
分别为机构关节和执行器的速度向量;J为速度雅克比矩阵.式（2两边再对时间求导数得到滑块到动平台的加速度变换为
p··
=J·q·
+Jq
··
（3
2 机电耦合动力学方程
2.1 并联机构动力学方程
Lagrange方法建立动力学方程是以能量方法建立微分方程,得到的动力学方程在形式上相对简单整齐.虽然推导较复杂、计算量较大,但用矩阵形式表示的动力学模型既能用于动力学控制,又能用于系统动力学模拟,而且能清楚地表示出各构件间的耦合特性,有利于对系统的耦合特性做深入研究.因此本文采用Lagrange方法建立动力学方程.
广义坐标选择动平台质心坐标,拉格朗日函数为
L12mtq·q·T+mtgza+∑i=1,2,312mlvivTi12IlωiωT
i12
mlg（za-pi式中:
mt,ml分别为动平台和连接腿的质量;Il为连接腿转动惯量;vi,ωi分别为连接腿质心速度和角速度.
vi=
1
2
x·a y·a z·a-p·
iT
ωi=
1
2
-x·
al-xa
-y·
al-ya
p·
i-z·
a
l-（za-piT
将拉格朗日函数带入拉格朗日动力学方程:
τ=
ddtLq
·-Lq（4
式中:
τ为在广义坐标方向机构所受的广义外力,并不是沿滑块方向的外力,根据虚功原理[8],有:
F=JTτ,F为沿滑块方向的外力.
2.2 永磁同步伺服电机动力学方程
现代交流伺服系统中,永磁同步电机（PMSM以其优良的性能而广泛应用于工业自动化、数控机床、
416
中 国 工 程 机 械 学 报第4卷
机器人及航空航天等领域.永磁同步电机伺服系统状态空间模型建立在假设磁路不饱和、不计磁滞和涡流损耗影响、空间磁场呈正弦分布的条件下,当永磁同步电机转子为圆筒形（Ld=Lq时,得d,q坐标系上
永磁同步电机的状态方程为
Pidiq
=
RsLd
pωm
0-pωm -RsLq -pλ
Lq
0
1.5pλ
J -Bm
Jidiq+ udLd
uq
Lq
TlJ
（5
式中:
P为微分算子;Rs为绕组等效电阻;Lq为等效q轴电感,H;Ld为等效d轴电感,H;p为电机磁极对数;ωm为转子机械角速度,rad·s-1;λ为每对磁极磁通,Wb;Tl为折算到电机轴上的总负载转矩,N·m;id为d轴电流分量,A;iq为q轴电流分量,A;J为折算到电机轴上总的转动惯量,kg·m2.
根据矢量原理,控制三相定子电流合成矢量is位于q轴上,和转子磁链矢量正交;就能保证合成矢量必与q轴重合,即iq=is,id=0,这样可以将永磁同步电动机的数学模型转化为直流电动机模型,
从而可图2 PMSM空间矢量控制系统的结构图
Fig.2 StructureofspacevectorcontrolsystemofPMSM以仿照直流电机的方法来控制.三相定子系电流ia,ib,ic到转子系电流id,iq,转换如下式:
idi=
3
cos（ω
mtcos（ωmt-2π/3cos（ωmt+2π
/3sin（ωmtsin（ωmt-2π/3sin（ωmt+2π/31/21/21/2iaibi本文采用id=0的控制方法.PMSM（PermanentMagnetSyn-chronousMachine空间矢量控制系统的结构图如图2所示.
将式（4和（5联立即为并联机构机电耦合动力学方程,其中电机轴负载转距与滑块的驱动力之间的关系为:
Tl=sF/2π,s为滚珠
丝杠导程.
3 动力学算例
根据内蒙古工业大学机械工程学院研制的3DOF并联机床,确定机构参数如表1.伺服电机参数如表2.
表1 并联机构参数表
Tab.1 Parallelmanipulatorparameters
动平台直径/mm170动平台厚度/mm50动平台铰点分布角/rad2π/3移动腿直径/mm32移动腿长度/mm667丝杠直径/mm25丝杠长度/mm900丝杠导程/mm4静平台铰点分布角/rad2π/3静平台直径/mm
370
表2 电机参数
Tab.2 Servomotorparameters
额定功率/kW1.3额定转速/（r·min-13000额定转距/（N·m
6相电阻/Ψ0.62定子电感/H0.002075每对永磁体磁通/Wb0.08627转子转动惯量/（kg·m2
0.000508
定子极对数
4
动平台质心的轨迹设定为:
首先在动平台初始位置处插补中心为（0,0,边长为0.1m的正方形;然后沿z轴上升0.5m,再插补圆心为（0,0,半径为0.1m的圆;曲线如图3.
通过求解微分方程,各腿随时间实际运动轨迹如图4.滑块的位置、速度随时间的变化如图5和图6.
417 第4期武建新,等:
并联机构机电耦合动力学计算
移动腿驱动电机输出转矩如图7,由于并联机构没有外部负载,所以转距较小.
图8为电机定子绕组中的三相电流的局部放大图.可以清楚地看到定子三相电流为PMSM要求的正弦电流
.
图3 动平台机构运动轨迹Fig.3 Motionplatformset
trajectory
图4 动平台质心位移
Fig.4 Centroidalpositionofmotion
platform
图5 滑块位移Fig.5 Slidingblock
position
图6 滑块速度Fig.6 Slidingblock
velocity
图7 伺服电机负载转距Fig.7 Loadtorqueofservo
motor
图8 电机定子三相电流放大图Fig.8 Zoominstatorcurrent
图9为电流控制器脉冲宽度调节（PWM输出的脉冲电压.
图9 PWM控制器输出电压Fig.9 PWMvoltageofstator
4 结论
本文推导了三自由度并联机构的拉格朗日动力学方程并联立
永磁同步伺服电机状态方程建立了该机构的机电耦合动力学微分方程.在已知动平台运动规律的前提下求解该微分方程,得到了滑块的运动规律、电机的负载转距、电机定子三相电流和电流控制器的PWM电压.计算结果验证了机电耦合动力学建模的正确性.
该方法不仅为机电耦合系统的设计提供了参数选择依据.而且对深入研究机电耦合动力学问题提供了一种新的方法.
（下转第432页
3 试验验证及结论
在美国UD公司的振动机上进行了相同量级的随机振动试验,由于仪器安装及探头空间位置的限制,取1号点为靠近损坏器件边缘,2号点为电路板中心位置,3号点为仪器顶部中心处.x向正弦振动加速度响应1号点从391.8m·s-2下降到224.0m·s-2,2号点从471.9m·s-2下降到243.7m·s-2,3号点从173.3m·s-2下降到170.8m·s-2.x向随机振动实验加速度响应1号点从985m·s-2下降到883m·s-2,2号点从1080m·s-2下降到665m·s-2,3号点从231.3m·s-2下降到225.0m·s-2.加强后结构的响应情况明显改善,尤其在中心点处,由于加强结构在电路板中心增加了与框架的连接点,因此该处改善最明显.另外,从图11,12曲线也可以看出,未加强结构1号点和2号点的第一个尖峰在120Hz左右,加强后的结构第一个尖峰频率后移至160Hz左右,加强结构的低频响应特性有了很大的改善.y向测点响应略有增大,但实验得到y向响应对电路性能影响不大.z向略优于未改进结构,局部响应稍大可通过加强顶部结构加以解决.因此可以得到以下两个结论:
（1由试验可知,x向振动对电路板上器件的影响最大,加强框改善了电路板在x向的力学特性.
（2通过有限元分析的办法对电路板加固进行模拟计算达到工程要求的精度,可有效地指导设计.参考文献:
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（上接第418页
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