刷子几何千题大典第2卷50页.docx

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刷子几何千题大典第2卷50页

【刷子千题大典第101题】

如图，在∆ABC中，AB>AC，内切圆I与边BC切于点D，AD交内切圆I于另一点E，圆I的切线EP

交BC的延长线于点P，CF//PE，交AD于点F，直线BF交圆I于点M、N。

证明：

∠ENP=∠ENQ

A

E

I

FNQ

MPBDC

【刷子千题大典第102题】

如图，在∆ABC中，设AB>AC，过A作∆ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。

求证：

直线DE、DF分别通过∆ABC的内心与一个旁心。

A

FE

C

D

B

【刷子千题大典第103题】

如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD的交点为P，E是弧AB上一点，连接EP并延长交DC于点

F，点G、H分别在CE，DE的延长线上，满足∠EAG=∠FAD，∠EBH

求证：

C、D、G、H四点共圆。

GH

=∠FBC.

EA

B

P

DFC

【刷子千题大典第104题】

如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M。

求证：

若OK⊥MN，则A、B、C、D四点共圆。

A

O

BKC

D

N

M

【刷子千题大典第105题】

如图，圆I内切于圆O，切点为P，圆O的弦AB切圆I于点Q，PQ的延长线交圆O于点M，MN为圆O的直径，过点P作PA的垂线交AN于点C，求证：

C、I、Q三点共线。

PA

C

NIQO

M

B

【刷子千题大典第106题】

已知PB、PC是⊙O的切线，点G在⊙O上，PG⊥EF，其中OE、OF分别是∠BOG、∠COG的角平线。

求证：

EG=GF.

P

GFE

B

CO

【刷子千题大典第107题】

在∆ABC中，AD⊥BC，P是∆ABC外接圆O上一点，点P关于AB、AC的对称点为点E、F，连接EF与AD交于点H，求证：

H是∆ABC的垂心。

A

F

H

EO

B

DC

P

【刷子千题大典第108题】

如图：

O、H是∆ABC的外心和垂心，D、F分别是BC、AB的中点；P、Q分别在BA、BC上，且满足DP⊥DH，FQ⊥FH。

求证：

PQ⊥OH。

A

F

OH

B

QDC

P

【刷子千题大典第109题】

已知确定的等腰三角形ABC，M为BC中点，X为圆ABM的劣弧AM上一动点；T为∠AMB内一点，且∠XMT=90°，XT=XB。

求证：

∠BTM-∠CTM为定值。

【刷子千题大典第110题】

已知梯形ABCD的对角线AC、BD交于点P，点Q在平行线BC、AD之间，满足∠AQD=∠CQB，且P、

Q在直线CD的两侧。

证明：

∠BQP=∠DAQ。

【刷子千题大典第111题】

已知AB>BC，MK为中位线，O为内心，MK、CO交于P，QP⊥PM，MQ//BO。

求证：

QO⊥AC。

【刷子千题大典第112题】

设锐角△ABC中∠B>∠C，I是内心，R是外接圆半径，AD是高线，K在AD上且AK=2R，点A、K在

D的两侧；DI、AC交于E，KI、BC交于F，IE=IF。

求证：

∠B≤3∠C。

【刷子千题大典第113题】

已知△ABC为确定三角形，D、E、F分别为三边中点，P为△ABC外接圆上的动点，PD、PE、PF与△ABC

外接圆的另一交点分别为G、H、K。

A、B、C、G、H、K是不同的点，则直线AG、BH、CK交出一个ΔMTL。

求证：

ΔMTL的面积是定值。

【刷子千题大典第114题】

已知△PDC的内切圆圆I与△ADP、△BCP的内切圆分别交于K、L；AC、BD交于E、AK、BL交于F。

求证：

E、I、F三点共线。

【刷子千题大典第115题】

如图，PA、PB是圆O的切线，E为劣弧AC上一点，PD过圆心O且是ΔPAE的切线；BC、DA交于K，

DE交BK于点M。

求证：

M是BK的中点。

【刷子千题大典第116题】

如图，ABCD是平行四边形，P是BD上一点，∠PCD=∠CAD，AC与△ABD外接圆的另一交点为E。

求

证：

∠PED=∠AEB。

【刷子千题大典第117题】

如图，非等边锐角三角形ABC的面积为10，AD是中线，BE、CF是高，AG⊥AD交EF于G。

求△GBC

的面积。

【刷子千题大典第118题】

已知AB=AC，点D为△ABC外接圆劣弧BC上一点，点G为线段AD上一点，CG、BG分别交AB、AC

与于点F、E。

求证：

∠ADF=∠ADE。

【刷子千题大典第119题】

如图，AD、BE、CF是中线，BCPF、ABQE共圆，P在BE上，Q在AD上，G是△ABC重心，DP、FQ

交于R。

求证：

PGRQ共圆。

【刷子千题大典第120题】

如图，圆O与圆S交于P、Q，O在圆S上，A、B在圆O内且在圆S上，OA=OB，PA交圆O于点D。

求证：

PB=AD。

【刷子千题大典第121题】

设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点D在AO延长线上，∠ADB=∠ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，

AH⊥BC，记ΔEFH的外接圆半径为RA，类似可得RB、RC，△ABC的外接圆半径为R。

求证：

1+1+1=2.

RARBRCR

【刷子千题大典第122题】

如图，I为△ABC的内心，AB+BD=AC+CD，G为BC中点，AD交圆I于X、Y，X更靠近A，圆I切BC

于E。

求证：

DX=2IG。

【刷子千题大典第123题】

如图，CA、CB是切线，P为圆O上一点，PD//AC交AB于D，PE//BC交AB于E，FG//AB交AC、BC

于F、G，FG过P，EC、FD交于点J。

求证：

∠PJO=90°。

【刷子千题大典第124题】

如图，∠ADB=∠ACB=90°，AD=AE，BE=BC，AC、BD交于F。

求证：

EF2=DF⋅FC.

【刷子千题大典第125题】

如图，O、H分别是△ABC的外心和垂心，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M、N分别为AB、AC的中点，

MN、DE交于点F。

求证：

AF⊥OH。

【刷子千题大典第126题】

如图，O为△ABC的外心，以AO为直径作圆P，分别交AB、AC于M、N，作△BOC的外接圆圆Q交

圆P于D，MO交BD于E，NO交CD于F。

求证：

直线EF平分线段BC。

【刷子千题大典第127题】

如图，以四边形ABCD的边长为边向外作四个正方形，M、N、P、Q分别是其中心，R、Q、T、S是中点。

求证：

RQ//TS且RQ=2TS.

【刷子千题大典第128题】如图，∠ABD=∠ACD=90°，AB=AC，E、F为AB、AC上的任意点，DG⊥EF交BC于点G。

求证：

AG平分线段EF。

【刷子千题大典第129题】

已知H是△ABC的垂心，D为BC中点，EH⊥AD，F为BH上的一点且AF⊥AB。

求证：

AF=EF。

【刷子千题大典第130题】如图所示，平行四边形ABCD中，I是△BCD内心，H是△BID垂心。

求证：

∠HAD=∠HAB。

【刷子千题大典第131题】

已知ABCDE五点共圆，直线AD、CE交于点Q，作点A关于直线BE的对称点M，点C关于直线BD的对称点N。

求证：

△QMN与△QAC逆相似。

【刷子千题大典第132题】

在圆内接四边形ABCD中，AD=BD，对角线AC与BD交于点M，I为△BCM的内心，N为对角线AC

上一点。

证明：

BIMN共圆与NB//DC是等价命题。

【刷子千题大典第133题】

如图，在锐角△ABC中，AB>AC，D、E分别是边AB、AC的中点；△ADE的外接圆与△BCE的外接圆交于点P（异于E），△ADE的外接圆与△BCD的外接圆交于点Q（异于D）。

求证：

AP=AQ。

【刷子千题大典第134题】

在圆内接四边形ABCD中，AB交CD于P，AD交BC于Q，作PQ的平行线分别交AB、AD于M、N，又设BN交DM于L，CL交圆于K。

求证：

A、M、N、K四点共圆。

【刷子千题大典第135题】

圆O1与圆O2交于E，F，过E作圆的两条任意割线AB、CD，M、N分别为AD与BC中点，L是EF与连心线交点，过L作AB平行线交线段MN于X，O是连心线中点，求证：

OL=OX。

【刷子千题大典第136题】

线段AM、BD、CE共点于P，点M、D、E分别在BC、AC、AB上，线段AP、CP、DE、DM中点分别是G、K、F、S，过A作GF平行线，交过C作SK平行线于X。

求证：

S四边形AEXD=S∆BCX。

【刷子千题大典第137题】

圆O1、圆O2交于P、K二点，XY为两圆近P点一侧的公切线，PX、PY分别交圆O2、圆O1于C、B，

BX、CY交于A点；三角形AXY、三角形ABC的外接圆交另一点于Q点。

求证：

∠AXQ=∠PKQ。

【刷子千题大典第138题】

如图，在锐角△ABC中，AB>AC，M为BC边的中点，I为内心，MI交AB于点D，CI和△ABC的外接

EDIB

圆的另一交点为E。

求证：

EI=IC

【刷子千题大典第139题】

如图，在钝角△ABC中，AB>AC，点O是其外心，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，中线AD

与OF、OE所在直线分别交于点M、N，直线BM、CN交于点P。

求证：

OP⊥AP。

【刷子千题大典第140题】

如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与边BC交于点D，点E、F分别在边AB、AC上，使得B、C、F、E四点共圆。

证明：

△DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充分必要条件为

BE+CF=BC。

【刷子千题大典第141题】

如图，∠B=90°，O是△ABC的外接圆圆心，△ABC的内切圆与BC切于点D，AD交圆O于Y，X、Z

分别是△ABD、△ACD的内心，XZ交AD于K，交圆O于U、V，M为UV的中点。

求证：

CY=2MK。

【刷子千题大典第142题】

已知PE、PF是⊙O的切线，A、B是一组对径点，PB交⊙O于另一点C，直线AF、BE交于D点。

求证：

∠PCD=∠PCE。

P

D

B

E

FO

C

A

【刷子千题大典第143题】

如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆上异于A、B,且在AB同侧的两点，分别过C、D作⊙的O切线，它们交于点E,线段AD与BC的交点为F,线段AB与EF的交点为M,求证：

E、C、M、D四点共圆。

E

C

FD

ABOM

【刷子千题大典第144题】

如图，PE、PF是以AB为直径圆的切线E、F是切点，PB交圆于C点，AF、BE交于D点，AB是直径。

求证：

∠DPE=2∠ACD。

P

C

EF

D

ABO

【刷子千题大典第145题】

已知：

∆ABC中，∠A=90︒，AD切⊙ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC的对称点，

AY⊥BE于Y，X是AY中点，延长BX交⊙ABC于J，求证：

BD切∆AJD外接圆。

A

J

X

BOFCD

Y

E

【刷子千题大典第146题】

已知四边形ABCD内接于以BD为直径的圆，设A'为A关于BD为对称点，B'是B关于AC对称点，直线AC交DB'于Q，直线DB交CA'于P。

求证：

PQ⊥AC。

Q

AB'

DOBP

A'

C

【刷子千题大典第147题】

已知：

BC、BD是⊙O切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆上，J离B较近，

DE⊥AO于E，交AB于F，AC交DE于G，求证：

DF=FG。

B

JD

CF

G

AOE

【刷子千题大典第148题】

已知∆ABC中，AC=BC，M是AB的中点，FG经过点M，且∆CFG与∆ABC有相同的内心。

求证：

AM2=FM⨯GM。

B

G

CM

F

A

【刷子千题大典第149题】

已知：

∆ABC为非直角三角形，AD平分∠BAC，D在BC上，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，CE

交BF于P。

求证：

AP⊥BC。

A

E

PF

BDHC

【刷子千题大典第150题】

已知PA、PB是⊙O切线，DE是过C的切线，D、E分别在AP、PB上，CF⊥AB于F，连接DF、

EF。

求证：

∠DFC=∠EFC

P

EC

D

ABF

O

【刷子千题大典第151题】

设PAB是圆O的割线，PC是切线，CD是圆O的直径，DB、OP相交于E。

求证：

AC⊥CE。

D

E

O

B

A

PC

【刷子千题大典第152题】

如图，∆ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，且DE//BC，BE、CD交于点F，∆BDF的外接圆⊙O，与∆CEF的外接圆⊙P交于点G，求证：

∠BAF=∠CAG。

A

DE

F

P

O

G

BC

【刷子千题大典第153题】

如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C，CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E，连接DE交AB于F，求证：

F为DE中点。

C

E

A

F

OPD

B

【刷子千题大典第154题】

如图，半径不相等的两圆⊙O、⊙P交于A、B两点，过A的直线CD分别交⊙O、⊙P于C、D，CB

延长线交⊙P于F，DB延长线交⊙O于E，过A作CD垂线交EF中垂线于G，求证：

AG2=EG2+AC⋅AD

D

A

C

OP

BE

FG

【刷子千题大典第155题】

如图，∆ABC内接于⊙O，D为BC中点，AD交⊙O于E，过E作EF//BC，交⊙O于F，过C作

CG⊥AC，交AE于G。

求证：

∠AGC=∠FGC。

A

O

D

BCG

EF

【刷子千题大典第156题】

如图，∆ABC内切圆⊙I切BC于D，过I作IE//AD交BC于E，过E作⊙I切线，分别交AB、AC

于F、G。

求证：

E为FG中点。

F

B

D

E

I

AGC

【刷子千题大典第157题】

如图，如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D，E为BA延长线上一点，EC交⊙P于F，ED交⊙Q于G，AH平分∠FAG交FG于H。

求证：

∠FCH=∠GDH。

E

CD

FAP

H

BQ

G

【刷子千题大典第158题】

如图，⊙O为∆ABC外接圆，I、E分别为∆ABC的内心和一个旁心，∠BAC的外角平分线交BC延长线于D，IF⊥DE于F，交⊙O于G。

求证：

G为IF中点。

A

OI

BCDG

F

E

【刷子千题大典第159题】

如图，在锐角∆ABC中，∠B>∠C，F是BC的中点，BE、CD是高。

G、H分别是FD、FE的中点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。

求证：

IA=IF.

A

I

E

D

H

G

BFC

【刷子千题大典第160题】

如图，D是∆ABC边BC上一点，∠DAC=∠ABD，⊙O过点B、D分别交AB、AD于E、F，直线BF交DE于G，M是AG中点。

求证：

CM⊥AO。

A

EM

F

G

O

BDC

【刷子千题大典第161题】

如图，如图，CD为⊙O直径，PC、PE分别切⊙O于C、E，割线PBA交⊙O于A、B，AC、BD

交于点F，DE交AB于G，求证：

∠GFE=∠ADE。

PE

B

G

A

F

DCO

【刷子千题大典第162题】

如图，O为∆ABC外心，D、E分别为AB、AC上一点，OF⊥DE于F，L、M、N分别为DE、

BE、CD中点。

求证：

F、L、M、N四点共圆。

A

DFL

E

O

MN

BC

【刷子千题大典第163题】

如图，∆ABC内切圆⊙I切BC于D，AE⊥BC于E，F为AE中点，DF交⊙I于G，作∆BCG的外接圆⊙O，求证：

⊙O、⊙I相切于点G。

A

G

F

I

O

BDEC

【刷子千题大典第164题】

如图，∆ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长CA

到F，使得AF=BJ，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：

AG=CK。

F

G

A

J

K

IO

BC

D

【刷子千题大典第165题】

如图，⊙O为∆ABC外接圆，AD平分∠BAC交⊙O于D，OE//BD交AB于E，OF//CD交AC于

F，H为∆ABC垂心，HG//AD交BC于G，求证：

BE=GE=GF=CF。

A

FE

OH

BGC

D

【刷子千题大典第166题】

如图，四边形ABCD中，AB=AC，∆ABD外接圆⊙O1交AC于F，∆ACD外接圆⊙O2交AB于E，

BF、CE交于点G，求证：

BG=BD。

CGCD

A

EO1FO2

G

B

C

D

【刷子千题大典第167题】

如图，O为∆ABC外心，D为∆ABC内一点，使得∠DAB=∠DCB，∠DAC=∠DCB，E为AD中点，过E作EF⊥AD交CB延长线于F，连接FA、FD、FO，求证：

∠AFD=2∠OFC。

A

E

DO

FBC

【刷子千题大典第168题】

如图，⊙O的内接四边形ABCD，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，∆EFC的外接圆⊙P交

⊙O于G，AG交EF于H，HC交⊙O于I，求证AI、GC、FE三线共点。

A

O

ID

B

NCGE

HF

P

【刷子千题大典第169题】

如图，∆ABC中，D为BC中点，O为外心，H为垂心，E、F分别为AB、AC上一点，使得AE=AF，且D、H、E三点共线，P为∆AEF外心，求证：

OP//HD。

A

P

OF

HE

BDC

【刷子千题大典第170题】

如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为四边形内一点，使得∠EAB=∠ECO，∠EBA=∠EDC，过点

E的直线FG平分∠BEC，交⊙O于F、G两点，求证：

EF=EG。

A

F

D

OE

C

G

B

【刷子千题大典第