刷子几何千题大典第2卷50页.docx
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刷子几何千题大典第2卷50页
【刷子千题大典第101题】
如图,在∆ABC中,AB>AC,内切圆I与边BC切于点D,AD交内切圆I于另一点E,圆I的切线EP
交BC的延长线于点P,CF//PE,交AD于点F,直线BF交圆I于点M、N。
证明:
∠ENP=∠ENQ
A
E
I
FNQ
MPBDC
【刷子千题大典第102题】
如图,在∆ABC中,设AB>AC,过A作∆ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F。
求证:
直线DE、DF分别通过∆ABC的内心与一个旁心。
A
FE
C
D
B
【刷子千题大典第103题】
如图,ABCD是圆内接四边形,AC与BD的交点为P,E是弧AB上一点,连接EP并延长交DC于点
F,点G、H分别在CE,DE的延长线上,满足∠EAG=∠FAD,∠EBH
求证:
C、D、G、H四点共圆。
GH
=∠FBC.
EA
B
P
DFC
【刷子千题大典第104题】
如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M。
求证:
若OK⊥MN,则A、B、C、D四点共圆。
A
O
BKC
D
N
M
【刷子千题大典第105题】
如图,圆I内切于圆O,切点为P,圆O的弦AB切圆I于点Q,PQ的延长线交圆O于点M,MN为圆O的直径,过点P作PA的垂线交AN于点C,求证:
C、I、Q三点共线。
PA
C
NIQO
M
B
【刷子千题大典第106题】
已知PB、PC是⊙O的切线,点G在⊙O上,PG⊥EF,其中OE、OF分别是∠BOG、∠COG的角平线。
求证:
EG=GF.
P
GFE
B
CO
【刷子千题大典第107题】
在∆ABC中,AD⊥BC,P是∆ABC外接圆O上一点,点P关于AB、AC的对称点为点E、F,连接EF与AD交于点H,求证:
H是∆ABC的垂心。
A
F
H
EO
B
DC
P
【刷子千题大典第108题】
如图:
O、H是∆ABC的外心和垂心,D、F分别是BC、AB的中点;P、Q分别在BA、BC上,且满足DP⊥DH,FQ⊥FH。
求证:
PQ⊥OH。
A
F
OH
B
QDC
P
【刷子千题大典第109题】
已知确定的等腰三角形ABC,M为BC中点,X为圆ABM的劣弧AM上一动点;T为∠AMB内一点,且∠XMT=90°,XT=XB。
求证:
∠BTM-∠CTM为定值。
【刷子千题大典第110题】
已知梯形ABCD的对角线AC、BD交于点P,点Q在平行线BC、AD之间,满足∠AQD=∠CQB,且P、
Q在直线CD的两侧。
证明:
∠BQP=∠DAQ。
【刷子千题大典第111题】
已知AB>BC,MK为中位线,O为内心,MK、CO交于P,QP⊥PM,MQ//BO。
求证:
QO⊥AC。
【刷子千题大典第112题】
设锐角△ABC中∠B>∠C,I是内心,R是外接圆半径,AD是高线,K在AD上且AK=2R,点A、K在
D的两侧;DI、AC交于E,KI、BC交于F,IE=IF。
求证:
∠B≤3∠C。
【刷子千题大典第113题】
已知△ABC为确定三角形,D、E、F分别为三边中点,P为△ABC外接圆上的动点,PD、PE、PF与△ABC
外接圆的另一交点分别为G、H、K。
A、B、C、G、H、K是不同的点,则直线AG、BH、CK交出一个ΔMTL。
求证:
ΔMTL的面积是定值。
【刷子千题大典第114题】
已知△PDC的内切圆圆I与△ADP、△BCP的内切圆分别交于K、L;AC、BD交于E、AK、BL交于F。
求证:
E、I、F三点共线。
【刷子千题大典第115题】
如图,PA、PB是圆O的切线,E为劣弧AC上一点,PD过圆心O且是ΔPAE的切线;BC、DA交于K,
DE交BK于点M。
求证:
M是BK的中点。
【刷子千题大典第116题】
如图,ABCD是平行四边形,P是BD上一点,∠PCD=∠CAD,AC与△ABD外接圆的另一交点为E。
求
证:
∠PED=∠AEB。
【刷子千题大典第117题】
如图,非等边锐角三角形ABC的面积为10,AD是中线,BE、CF是高,AG⊥AD交EF于G。
求△GBC
的面积。
【刷子千题大典第118题】
已知AB=AC,点D为△ABC外接圆劣弧BC上一点,点G为线段AD上一点,CG、BG分别交AB、AC
与于点F、E。
求证:
∠ADF=∠ADE。
【刷子千题大典第119题】
如图,AD、BE、CF是中线,BCPF、ABQE共圆,P在BE上,Q在AD上,G是△ABC重心,DP、FQ
交于R。
求证:
PGRQ共圆。
【刷子千题大典第120题】
如图,圆O与圆S交于P、Q,O在圆S上,A、B在圆O内且在圆S上,OA=OB,PA交圆O于点D。
求证:
PB=AD。
【刷子千题大典第121题】
设锐角△ABC的三边长互不相等,O为其外心,点D在AO延长线上,∠ADB=∠ADC,DE⊥AB,DF⊥AC,
AH⊥BC,记ΔEFH的外接圆半径为RA,类似可得RB、RC,△ABC的外接圆半径为R。
求证:
1+1+1=2.
RARBRCR
【刷子千题大典第122题】
如图,I为△ABC的内心,AB+BD=AC+CD,G为BC中点,AD交圆I于X、Y,X更靠近A,圆I切BC
于E。
求证:
DX=2IG。
【刷子千题大典第123题】
如图,CA、CB是切线,P为圆O上一点,PD//AC交AB于D,PE//BC交AB于E,FG//AB交AC、BC
于F、G,FG过P,EC、FD交于点J。
求证:
∠PJO=90°。
【刷子千题大典第124题】
如图,∠ADB=∠ACB=90°,AD=AE,BE=BC,AC、BD交于F。
求证:
EF2=DF⋅FC.
【刷子千题大典第125题】
如图,O、H分别是△ABC的外心和垂心,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M、N分别为AB、AC的中点,
MN、DE交于点F。
求证:
AF⊥OH。
【刷子千题大典第126题】
如图,O为△ABC的外心,以AO为直径作圆P,分别交AB、AC于M、N,作△BOC的外接圆圆Q交
圆P于D,MO交BD于E,NO交CD于F。
求证:
直线EF平分线段BC。
【刷子千题大典第127题】
如图,以四边形ABCD的边长为边向外作四个正方形,M、N、P、Q分别是其中心,R、Q、T、S是中点。
求证:
RQ//TS且RQ=2TS.
【刷子千题大典第128题】如图,∠ABD=∠ACD=90°,AB=AC,E、F为AB、AC上的任意点,DG⊥EF交BC于点G。
求证:
AG平分线段EF。
【刷子千题大典第129题】
已知H是△ABC的垂心,D为BC中点,EH⊥AD,F为BH上的一点且AF⊥AB。
求证:
AF=EF。
【刷子千题大典第130题】如图所示,平行四边形ABCD中,I是△BCD内心,H是△BID垂心。
求证:
∠HAD=∠HAB。
【刷子千题大典第131题】
已知ABCDE五点共圆,直线AD、CE交于点Q,作点A关于直线BE的对称点M,点C关于直线BD的对称点N。
求证:
△QMN与△QAC逆相似。
【刷子千题大典第132题】
在圆内接四边形ABCD中,AD=BD,对角线AC与BD交于点M,I为△BCM的内心,N为对角线AC
上一点。
证明:
BIMN共圆与NB//DC是等价命题。
【刷子千题大典第133题】
如图,在锐角△ABC中,AB>AC,D、E分别是边AB、AC的中点;△ADE的外接圆与△BCE的外接圆交于点P(异于E),△ADE的外接圆与△BCD的外接圆交于点Q(异于D)。
求证:
AP=AQ。
【刷子千题大典第134题】
在圆内接四边形ABCD中,AB交CD于P,AD交BC于Q,作PQ的平行线分别交AB、AD于M、N,又设BN交DM于L,CL交圆于K。
求证:
A、M、N、K四点共圆。
【刷子千题大典第135题】
圆O1与圆O2交于E,F,过E作圆的两条任意割线AB、CD,M、N分别为AD与BC中点,L是EF与连心线交点,过L作AB平行线交线段MN于X,O是连心线中点,求证:
OL=OX。
【刷子千题大典第136题】
线段AM、BD、CE共点于P,点M、D、E分别在BC、AC、AB上,线段AP、CP、DE、DM中点分别是G、K、F、S,过A作GF平行线,交过C作SK平行线于X。
求证:
S四边形AEXD=S∆BCX。
【刷子千题大典第137题】
圆O1、圆O2交于P、K二点,XY为两圆近P点一侧的公切线,PX、PY分别交圆O2、圆O1于C、B,
BX、CY交于A点;三角形AXY、三角形ABC的外接圆交另一点于Q点。
求证:
∠AXQ=∠PKQ。
【刷子千题大典第138题】
如图,在锐角△ABC中,AB>AC,M为BC边的中点,I为内心,MI交AB于点D,CI和△ABC的外接
EDIB
圆的另一交点为E。
求证:
EI=IC
【刷子千题大典第139题】
如图,在钝角△ABC中,AB>AC,点O是其外心,边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F,中线AD
与OF、OE所在直线分别交于点M、N,直线BM、CN交于点P。
求证:
OP⊥AP。
【刷子千题大典第140题】
如图,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆。
证明:
△DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充分必要条件为
BE+CF=BC。
【刷子千题大典第141题】
如图,∠B=90°,O是△ABC的外接圆圆心,△ABC的内切圆与BC切于点D,AD交圆O于Y,X、Z
分别是△ABD、△ACD的内心,XZ交AD于K,交圆O于U、V,M为UV的中点。
求证:
CY=2MK。
【刷子千题大典第142题】
已知PE、PF是⊙O的切线,A、B是一组对径点,PB交⊙O于另一点C,直线AF、BE交于D点。
求证:
∠PCD=∠PCE。
P
D
B
E
FO
C
A
【刷子千题大典第143题】
如图,AB是⊙O的直径,C,D是圆上异于A、B,且在AB同侧的两点,分别过C、D作⊙的O切线,它们交于点E,线段AD与BC的交点为F,线段AB与EF的交点为M,求证:
E、C、M、D四点共圆。
E
C
FD
ABOM
【刷子千题大典第144题】
如图,PE、PF是以AB为直径圆的切线E、F是切点,PB交圆于C点,AF、BE交于D点,AB是直径。
求证:
∠DPE=2∠ACD。
P
C
EF
D
ABO
【刷子千题大典第145题】
已知:
∆ABC中,∠A=90︒,AD切⊙ABC,AD交BC延长线于D,E是A关于BC的对称点,
AY⊥BE于Y,X是AY中点,延长BX交⊙ABC于J,求证:
BD切∆AJD外接圆。
A
J
X
BOFCD
Y
E
【刷子千题大典第146题】
已知四边形ABCD内接于以BD为直径的圆,设A'为A关于BD为对称点,B'是B关于AC对称点,直线AC交DB'于Q,直线DB交CA'于P。
求证:
PQ⊥AC。
Q
AB'
DOBP
A'
C
【刷子千题大典第147题】
已知:
BC、BD是⊙O切线,C、D是切点,BJA是割线,A、J在圆上,J离B较近,
DE⊥AO于E,交AB于F,AC交DE于G,求证:
DF=FG。
B
JD
CF
G
AOE
【刷子千题大典第148题】
已知∆ABC中,AC=BC,M是AB的中点,FG经过点M,且∆CFG与∆ABC有相同的内心。
求证:
AM2=FM⨯GM。
B
G
CM
F
A
【刷子千题大典第149题】
已知:
∆ABC为非直角三角形,AD平分∠BAC,D在BC上,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,CE
交BF于P。
求证:
AP⊥BC。
A
E
PF
BDHC
【刷子千题大典第150题】
已知PA、PB是⊙O切线,DE是过C的切线,D、E分别在AP、PB上,CF⊥AB于F,连接DF、
EF。
求证:
∠DFC=∠EFC
P
EC
D
ABF
O
【刷子千题大典第151题】
设PAB是圆O的割线,PC是切线,CD是圆O的直径,DB、OP相交于E。
求证:
AC⊥CE。
D
E
O
B
A
PC
【刷子千题大典第152题】
如图,∆ABC中,D、E分别为AB、AC上一点,且DE//BC,BE、CD交于点F,∆BDF的外接圆⊙O,与∆CEF的外接圆⊙P交于点G,求证:
∠BAF=∠CAG。
A
DE
F
P
O
G
BC
【刷子千题大典第153题】
如图,⊙O、⊙P交于A、B两点,BO、PA延长线交于点C,CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E,连接DE交AB于F,求证:
F为DE中点。
C
E
A
F
OPD
B
【刷子千题大典第154题】
如图,半径不相等的两圆⊙O、⊙P交于A、B两点,过A的直线CD分别交⊙O、⊙P于C、D,CB
延长线交⊙P于F,DB延长线交⊙O于E,过A作CD垂线交EF中垂线于G,求证:
AG2=EG2+AC⋅AD
D
A
C
OP
BE
FG
【刷子千题大典第155题】
如图,∆ABC内接于⊙O,D为BC中点,AD交⊙O于E,过E作EF//BC,交⊙O于F,过C作
CG⊥AC,交AE于G。
求证:
∠AGC=∠FGC。
A
O
D
BCG
EF
【刷子千题大典第156题】
如图,∆ABC内切圆⊙I切BC于D,过I作IE//AD交BC于E,过E作⊙I切线,分别交AB、AC
于F、G。
求证:
E为FG中点。
F
B
D
E
I
AGC
【刷子千题大典第157题】
如图,如图,⊙P、⊙Q交于A、B两点,它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D,E为BA延长线上一点,EC交⊙P于F,ED交⊙Q于G,AH平分∠FAG交FG于H。
求证:
∠FCH=∠GDH。
E
CD
FAP
H
BQ
G
【刷子千题大典第158题】
如图,⊙O为∆ABC外接圆,I、E分别为∆ABC的内心和一个旁心,∠BAC的外角平分线交BC延长线于D,IF⊥DE于F,交⊙O于G。
求证:
G为IF中点。
A
OI
BCDG
F
E
【刷子千题大典第159题】
如图,在锐角∆ABC中,∠B>∠C,F是BC的中点,BE、CD是高。
G、H分别是FD、FE的中点,若过A且平行于BC的直线交GH于I。
求证:
IA=IF.
A
I
E
D
H
G
BFC
【刷子千题大典第160题】
如图,D是∆ABC边BC上一点,∠DAC=∠ABD,⊙O过点B、D分别交AB、AD于E、F,直线BF交DE于G,M是AG中点。
求证:
CM⊥AO。
A
EM
F
G
O
BDC
【刷子千题大典第161题】
如图,如图,CD为⊙O直径,PC、PE分别切⊙O于C、E,割线PBA交⊙O于A、B,AC、BD
交于点F,DE交AB于G,求证:
∠GFE=∠ADE。
PE
B
G
A
F
DCO
【刷子千题大典第162题】
如图,O为∆ABC外心,D、E分别为AB、AC上一点,OF⊥DE于F,L、M、N分别为DE、
BE、CD中点。
求证:
F、L、M、N四点共圆。
A
DFL
E
O
MN
BC
【刷子千题大典第163题】
如图,∆ABC内切圆⊙I切BC于D,AE⊥BC于E,F为AE中点,DF交⊙I于G,作∆BCG的外接圆⊙O,求证:
⊙O、⊙I相切于点G。
A
G
F
I
O
BDEC
【刷子千题大典第164题】
如图,∆ABC内接于⊙O,内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K,AO交⊙O于D,连接DI,延长CA
到F,使得AF=BJ,过F作DI的垂线交BA延长线于G,求证:
AG=CK。
F
G
A
J
K
IO
BC
D
【刷子千题大典第165题】
如图,⊙O为∆ABC外接圆,AD平分∠BAC交⊙O于D,OE//BD交AB于E,OF//CD交AC于
F,H为∆ABC垂心,HG//AD交BC于G,求证:
BE=GE=GF=CF。
A
FE
OH
BGC
D
【刷子千题大典第166题】
如图,四边形ABCD中,AB=AC,∆ABD外接圆⊙O1交AC于F,∆ACD外接圆⊙O2交AB于E,
BF、CE交于点G,求证:
BG=BD。
CGCD
A
EO1FO2
G
B
C
D
【刷子千题大典第167题】
如图,O为∆ABC外心,D为∆ABC内一点,使得∠DAB=∠DCB,∠DAC=∠DCB,E为AD中点,过E作EF⊥AD交CB延长线于F,连接FA、FD、FO,求证:
∠AFD=2∠OFC。
A
E
DO
FBC
【刷子千题大典第168题】
如图,⊙O的内接四边形ABCD,AB、DC交于点E,AD、BC交于点F,∆EFC的外接圆⊙P交
⊙O于G,AG交EF于H,HC交⊙O于I,求证AI、GC、FE三线共点。
A
O
ID
B
NCGE
HF
P
【刷子千题大典第169题】
如图,∆ABC中,D为BC中点,O为外心,H为垂心,E、F分别为AB、AC上一点,使得AE=AF,且D、H、E三点共线,P为∆AEF外心,求证:
OP//HD。
A
P
OF
HE
BDC
【刷子千题大典第170题】
如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为四边形内一点,使得∠EAB=∠ECO,∠EBA=∠EDC,过点
E的直线FG平分∠BEC,交⊙O于F、G两点,求证:
EF=EG。
A
F
D
OE
C
G
B
【刷子千题大典第