版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第3节.docx
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版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第3节
第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1.简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
（2）命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词:
短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.
（2）存在量词:
短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p（x）成立
存在M中的一个x0,使p（x0）成立
简记
∀x∈M,p（x）
∃x0∈M,p（x0）
否定
∃x0∈M,綈p（x0）
∀x∈M,綈p（x）
[微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:
p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
3.“p∨q”的否定是“（綈p）∧（綈q）”,“p∧q”的否定是“（綈p）∨（綈q）”.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）命题“5>6或5>2”是假命题.（ ）
（2）命题綈（p∧q）是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.（ ）
（3）“长方形的对角线相等”是特称命题.（ ）
（4）∃x0∈M,p（x0）与∀x∈M,綈p（x）的真假性相反.（ ）
解析
（1）错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.
（2）错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
（3）错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
【参考答案】
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2.（选修2－1P26A3改编）命题“∀x∈R,x2＋x≥0”的否定是（ ）
A.∃x0∈R,x
＋x0≤0B.∃x0∈R,x
＋x0<0
C.∀x∈R,x2＋x≤0D.∀x∈R,x2＋x<0
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.
【参考答案】B
3.（选修2－1P18A1（3）改编）已知p:
2是偶数,q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
【参考答案】B
4.（2019·贵阳调研）下列命题中的假命题是（ ）
A.∃x0∈R,lgx0＝1B.∃x0∈R,sinx0＝0
C.∀x∈R,x3＞0D.∀x∈R,2x＞0
解析 当x＝10时,lg10＝1,则A为真命题；当x＝0时,sin0＝0,则B为真命题；当x＜0时,x3＜0,则C为假命题；由指数函数的性质知,∀x∈R,2x＞0,则D为真命题.
【参考答案】C
5.（2018·安徽江南十校模拟）已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由綈p为真知,p为假,可得p∧q为假；反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
【参考答案】A
6.（2019·豫南五校联考）若“∀x∈
m≤tanx＋2”为真命题,则实数m的最大值为________.
解析 由x∈
∴1≤tanx＋2≤2＋
.
∵“∀x∈
m≤tanx＋2”为真命题,则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
【参考答案】1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】
（1）设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0；命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A.p∨qB.p∧q
C.（綈p）∧（綈q）D.p∧（綈q）
（2）（2018·太原模拟）已知命题p:
∃x0∈R,x
－x0＋1≥0；命题q:
若a>
则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧qB.p∧（綈q）
C.（綈p）∧qD.（綈p）∧（綈q）
解析
（1）取a＝c＝（1,0）,b＝（0,1）,显然a·b＝0,b·c＝0,但a·c＝1≠0,∴p是假命题.
又a,b,c是非零向量,
由a∥b知a＝xb（x∈R）,由b∥c知b＝yc（y∈R）,
∴a＝xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.
綈p为真命题,綈q为假命题.
∴（綈p）∧（綈q）,p∧（綈q）都是假命题.
（2）∵x2－x＋1＝
＋
≥
>0,所以∃x0∈R,使x
－x0＋1≥0成立,故p为真命题,綈p为假命题.又易知命题q为假命题,所以綈q为真命题,所以p∧（綈q）为真命题.
【参考答案】
（1）A
（2）B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:
（1）明确其构成形式；
（2）判断其中命题p,q的真假；（3）确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假,全真才真”,p∨q形式是“一真必真,全假才假”,綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】
（1）（2019·济南模拟）若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题,则（ ）
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题,命题q是假命题
D.命题p是假命题,命题q是真命题
（2）（2017·山东卷）已知命题p:
∃x∈R,x2－x＋1≥0；命题q:
若a2A.p∧qB.p∧綈q
C.綈p∧qD.綈p∧綈q
解析
（1）因为綈p为真命题,所以p为假命题,又p∨q为真命题,所以q为真命题.
（2）∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×1×1<0,∴x2－x＋1>0恒成立,
∴p是真命题,綈p为假命题.
∵当a＝－1,b＝－2时,（－1）2<（－2）2,但－1>－2,
∴q为假命题,綈q为真命题.
∴p∧綈q为真命题,p∧q,綈p∧q,綈p∧綈q为假命题.
【参考答案】
（1）D
（2）B
考点二 全称量词与存在量词
多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】命题“∀n∈N*,f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A.∀n∈N*,f（n）∉N*且f（n）＞n
B.∀n∈N*,f（n）∉N*或f（n）＞n
C.∃n0∈N*,f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D.∃n0∈N*,f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
解析 全称命题的否定为特称命题,
∴命题的否定是:
∃n0∈N*,f（n0）∉N*或f（n0）>n0.
【参考答案】D
角度2 全称（特称）命题的真假判断
【例2－2】
（1）（2019·江西师大附中月考）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ）
A.∀x∈R,f（－x）≠f（x）
B.∀x∈R,f（－x）≠－f（x）
C.∃x0∈R,f（－x0）≠f（x0）
D.∃x0∈R,f（－x0）≠－f（x0）
（2）（2018·昆明一中质检）已知命题p:
∀x∈R,x＋
≥2；命题q:
∃x0∈（0,＋∞）,x
＞x
则下列命题中为真命题的是（ ）
A.（綈p）∧qB.p∧（綈q）
C.（綈p）∧（綈q）D.p∧q
解析
（1）∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数,∴∀x∈R,f（－x）＝f（x）为假命题,∴∃x0∈R,f（－x0）≠f（x0）为真命题.
（2）对于p:
当x＝－1时,x＋
＝－2,∴p为假命题.取x0∈（0,1）,此时x
＞x
∴q为真命题.
从而綈p为真命题,（綈p）∧q为真命题.
【参考答案】
（1）C
（2）A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词；二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M,p（x）”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p（x0）成立.
【训练2】
（1）（2019·河北“五个一”名校联考）命题“∃x0∈R,1A.∀x∈R,1B.∃x0∈R,1C.∃x0∈R,f（x0）≤1或f（x0）>2
D.∀x∈R,f（x）≤1或f（x）>2
（2）已知命题p:
∃x0∈（－∞,0）,2x0<3x0；命题q:
∀x∈
sinxA.p∧qB.p∧（綈q）
C.（綈p）∧qD.（綈p）∧（綈q）
解析
（1）特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“∀x∈R,f（x）≤1或f（x）>2”.
（2）因为当x<0时,
>1,即2x>3x,所以命题p为假命题,从而綈p为真命题；因为当x∈
时,x>sinx,所以命题q为真命题,所以（綈p）∧q为真命题.
【参考答案】
（1）D
（2）C
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例3】
（1）（2018·长沙调研）已知命题p:
∀x∈R,log2（x2＋x＋a）>0恒成立,命题q:
∃x0∈[－2,2],2a≤2x0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围为________.
（2）已知f（x）＝ln（x2＋1）,g（x）＝
－m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f（x1）≥g（x2）,则实数m的取值范围是________.
解析
（1）由题知,命题p:
∀x∈R,log2（x2＋x＋a）>0恒成立,即x2＋x＋a－1>0恒成立,所以Δ＝1－4（a－1）<0,解得a>
；命题q:
∃x0∈[－2,2],使得2a≤2x0,则a≤2.当p∧q为真命题时,须满足
故实数a的取值范围为
.
（2）当x∈[0,3]时,f（x）min＝f（0）＝0,当x∈[1,2]时,g（x）min＝g
（2）＝
－m,对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2]使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）min≥g（x）min,得0≥
－m,所以m≥
.
【参考答案】
（1）
（2）
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:
（1）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（2）根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.
【训练3】本例
（2）中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是____________.
解析 当x∈[1,2]时,g（x）max＝g
（1）＝
－m,对∀x1∈[0,3],∀x2∈[1,2]使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）min≥g（x）max,得0≥
－m,∴m≥
.
【参考答案】
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词,否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意:
（1）注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提；
（2）注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定；
（3）注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”.
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是:
逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）,目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g（x2）＝f（x1）成立”
【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x,g（x）＝
x－
若对任意x1∈
[－1,1],总存在x2∈[0,2],使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立,求实数a的取值范围.
解 由题意知,g（x）在[0,2]上的值域为
.
令h（x）＝f′（x）＋2ax＝3x2＋2x－a（a＋2）,则h′（x）＝6x＋2,由h′（x）＝0得x＝－
.
当x∈
时,h′（x）<0；当x∈
时,h′（x）>0,所以[h（x）]min＝h
＝－a2－2a－
.
又由题意可知,h（x）的值域是
的子集,所以
解得实数a的取值范围是[－2,0].
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f（x1）＝g（x2）成立”
【例2】已知函数f（x）＝
函数g（x）＝ksin
－2k＋2（k>0）,若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f（x1）＝g（x2）成立,求实数k的取值范围.
解 由题意,易得函数f（x）的值域为[0,1],g（x）的值域为
并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况,即2－2k>1或2－
k<0,解得k<
或k>
所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是
.
评析 本类问题的实质是“两函数f（x）与g（x）的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f（x1）【例3】已知函数f（x）＝x＋
g（x）＝2x＋a,若∀x1∈
∃x2∈[2,3],使得f（x1）≤g（x2）,则实数a的取值范围是________.
解析 依题意知f（x）max≤g（x）max.
∵f（x）＝x＋
在
上是减函数,
∴f（x）max＝f
＝
.
又g（x）＝2x＋a在[2,3]上是增函数,∴g（x）max＝8＋a,
因此
≤8＋a,则a≥
.
【参考答案】
评析 理解量词的含义,将原不等式转化为[f（x）]max≤[g（x）]max；利用函数的单调性,求f（x）与g（x）的最大值,得关于a的不等式求得a的取值范围.
思考1:
在[例3]中,若把“∃x2∈[2,3]”变为“∀x2∈[2,3]”时,其它条件不变,则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min,请读者完成.
思考2:
在[例3]中,若将[例3]中“∀x1∈
”改为“∃x1∈
”,其它条件不变,则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max,请读者自行求解.
基础巩固题组
（建议用时:
30分钟）
一、选择题
1.（2019·益阳调研）已知命题p:
“∀a≥0,a4＋a2≥0”,则命题綈p为（ ）
A.∀a≥0,a4＋a2<0B.∀a≥0,a4＋a2≤0
C.∃a0<0,a
＋a
<0D.∃a0≥0,a
＋a
<0
解析 命题p为全称命题,其否定为特称命题.将量词改变,否定结论,即綈p为∃a0≥0,a
＋a
<0.
【参考答案】D
2.第十八届亚运会于2018年8月28日在雅加达隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）
A.（綈p）∨（綈q）B.p∨（綈q）
C.（綈p）∧（綈q）D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:
“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为（綈p）∨（綈q）.或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定选A.
【参考答案】A
3.（2018·昆明诊断）已知命题“∃x∈R,4x2＋（a－2）x＋
≤0”是假命题,则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞,0）B.[0,4]C.[4,＋∞）D.（0,4）
解析 因为命题“∃x∈R,4x2＋（a－2）x＋
≤0”是假命题,所以其否定命题“∀x∈R,4x2＋（a－2）x＋
>0”是真命题.
则Δ＝（a－2）2－4×4×
＝a2－4a<0,解得0【参考答案】D
4.命题p:
函数y＝log2（x－2）的单调递增区间是[1,＋∞）,命题q:
函数y＝
的值域为（0,1）.下列命题是真命题的为（ ）
A.p∧qB.p∨qC.p∧（綈q）D.綈q
解析 由于y＝log2（x－2）的单调递增区间是（2,＋∞）,
所以命题p是假命题.
由3x>0,得3x＋1>1,所以0<
<1,
所以函数y＝
的值域为（0,1）,故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧（綈q）为假命题,綈q为假命题.
【参考答案】B
5.已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x0∈R,x
＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是（ ）
A.（4,＋∞）B.[1,4]C.[e,4]D.（－∞,－1）
解析 由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2＋4x＋a＝0有解,则Δ＝16－4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
【参考答案】C
6.（2019·淮北模拟）命题p:
若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角；命题q:
若cosα·cosβ＝1,则sin（α＋β）＝0.下列命题为真命题的是（ ）
A.pB.綈qC.p∧qD.p∨q
解析 当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,命题p是假命题；
若cosαcosβ＝1,则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1,所以sinα＝sinβ＝0,从而sin（α＋β）＝0,命题q是真命题,所以p∨q是真命题.
【参考答案】D
7.已知命题p:
∀x∈R,2x<3x,命题q:
∃x∈R,x2＝2－x,若命题（綈p）∧q为真命题,则x的值为（ ）
A.1B.－1C.2D.－2
解析 要使（綈p）∧q为真,所以綈p与q同时为真,而綈p:
∃x∈R,2x≥3x,
由2x≥3x得
≥1,所以x≤0.
由x2＝2－x得x2＋x－2＝0,所以x＝1或x＝－2.
又x≤0,所以x＝－2.
【参考答案】D
8.已知函数f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈（0,1）,f（x）≠0”是假命题,则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.（1,＋∞）
C.
D.
∪（1,＋∞）
解析 ∵函数f（x）＝a2x－2a＋1,
命题“∀x∈（0,1）,f（x）≠0”是假命题,
∴原命题的否定是:
“∃x0∈（0,1）,使f（x0）＝0”是真命题,
∴f
（1）f（0）<0,即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0,
∴（a－1）2（2a－1）>0,解得a>
且a≠1,
∴实数a的取值范围是
∪（1,＋∞）.
【参考答案】D
二、填空题
9.若“∀x∈
tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y＝tanx在
上是增函数,∴ymax＝tan
＝1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
【参考答案】1
10.已知命题p:
>0,则綈p对应的集合为__________.
解析 由p:
>0,得p:
x>2或x<－1,所以綈p对应的集合为{x|－1≤x≤2}.
【参考答案】{x|－1≤x≤2}
11.下列结论:
①若命题p:
∃x0∈R,tanx0＝1；命题q:
∀x∈R,x2－x＋1>0,则命题“p∧
（綈q）”是假命题；
②已知直线l1:
ax＋3y－1＝0,l2:
x＋by＋1＝0,则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝1”的逆否命题是“若x≠1,则x2－3x＋2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧（綈q）为假命题,故①正确；
②当b＝a＝0时,有l1⊥l2,故②不正确；
③正确,所以正确结论的序号为①③.
【参考答案】①③
12.已知命题p:
∃x0∈R,（m＋1）（x
＋1）≤0,命题q:
∀x∈R,x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p:
∃x0∈R,（m＋1）（x
＋1）≤0可得m≤－1；由命题q:
∀x∈R,x2＋mx＋1>0恒成立,即Δ＝m2－4<0,可得－2若p∧q为真命题,则－2因为p∧q为假命题,所以m≤－2或m>－1.
【参考答案】（－∞,－2]∪（－1,＋∞）
能力提升题组
（建议用时:
15分钟）
13.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nB.∀x∈R,∀n∈N*,使得nC.∃x∈R,∃n∈N*,使得nD.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n解析 改变量词,否定结论.
∴綈p应为:
∃x0∈R,∀n∈N*,使得n.
【参考答案】D
14.（2018·郑州模拟）已知命题p:
关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q:
∀x>0,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞,－2）∪（1,＋∞） B.（－2,1]
C.（1,2） D.（1,＋∞）
解析 方程x2＋ax＋1＝0没有实根等价于Δ＝a2－4<0,即－20,2x－a>0等价于a<2x在（0,＋∞）上恒成立,即a≤1.
因“綈p”是假命题,则p是真命题,又因“p∧q”是假命题,则q是假命题.
∴
解得1【参考答案】C
15.已知函数f（x）＝
给出下列两个命题:
命题p:
∃m∈（－∞,0）,方程f（x）＝0有解,命题q:
若m＝
则f[f（－1）]＝0,那么,下列命题为真命
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