中考截长补短专题.docx

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中考截长补短专题

截长补短专题

1.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且

．

（1）求证：

BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：

CE=BE﹣AD．

3.已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：

ED=BE+FC．

4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。

过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。

（1）求EG的长；

（2）求证：

CF=AB+AF。

6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？

请说明理由．

（2）△ECF的周长是否有变化？

请说明理由．

4．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，

（1）求证：

DH=AG+BE；

（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．

24.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．

（1）若AD=3，CG=2，求CD；

（2）若CF=AD+BF，求证：

EF=

CD．

如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．

（1）求证：

CE=CF；

（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：

CH=AH+AB．

24.如图，在直角三角形

中，

是斜边

的中点，向外作正方形

，正方形

，连接

；

（1）若

°，求

的度数；

（2）求证：

（沙坪坝区考前模拟6月）24.已知：

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F。

若点G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，AE=2,求DF的长；

若AE⊥AB,BE⊥DE，点F为AB的中点，求证：

FG-EF=BE

24．如图，在矩形ABCD中，点M、N在线段AD上，

，点E、F分别为线段CN、BC上的点，连接EF并延长，交MB的延长线于点G，EF=FG.

（1）点K为线BM的中点，.若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD的面积；

（2）求证：

MB=NE+BG.

24.已知：

如图，在矩形

中，

是对角线.点

为矩形外一点且满足

，

.

交

于点

，连接

，过点

作

交

于

.

（1）若

，求矩形

的面积；

（2）若

，求证：

.

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

证明：

（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，

∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，

又∠BEC=∠CEH=90°，

BE=CE（已证），

∴△BEG≌△CEH，

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE（已证），

∴∠AEB=∠GED，

∠HED=∠AEB，

∴∠GED=∠HED，

又EG=EH（已证），ED=ED，

∴△GED≌△HED，

∴DG=DH，

∴BG=DG+CD．

2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且

．

（1）求证：

BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

证明：

∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，

∴△FCE≌△F′CE，

∴EF′=EF=DF′+ED，

∴BF=EF﹣ED；

（2）解：

∵AB=BC，∠B=80°，

∴∠ACB=50°，

由

（1）得∠FEC=∠DEC=70°，

∴∠ECB=70°，

而∠B=∠BCD=80°，

∴∠DCE=10°，

∴∠BCF=30°，

∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．

3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：

CE=BE﹣AD．

解：

（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，

∴AM=BM=

×6=3；

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，

∴四边形AMEF是矩形，

∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE=

=5；

（2）延长AF、BC交于点N．

∵AD∥EN，

∴∠DAF=∠N；

∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，

∴△ADF≌△NCF（AAS），

∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，

又AE=BE，∠B=∠BAE，

∴∠N=∠EAN，AE=EN，

∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，

∴CE=BE﹣AD．

4.27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：

ED=BE+FC．

解：

（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，

∴∠ECB=15°，

∵∠ECD=45°，

∴∠DCF=60°，

在Rt△DFC中：

∠DCF=60°，FC=3，

∴DF=3

，DC=6，

由题得，四边形ABFD是矩形，

∴AB=DF=3

，

∵AB=BC，

∴BC=3

，

∴BF=BC﹣FC=3

﹣3，

∴AD=DF=3

﹣3，

∴C梯形ABCD=3

×2+6+3

﹣3=9

+3，

答：

梯形ABCD的周长是9

+3．

（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，

∴CN=CE，

可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，

∴△DEC≌△DNC，

∴ED=EN，

∴ED=BE+FC．

5.

（1）解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴CD＝DB＝2，∴CB＝

＝2

，

∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝

CB＝

．

（2）证明：

证法一：

延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，

∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH（ASA），

DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，

∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH（SAS），∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH，∴CF＝AB＋AF．

证法二：

在线段DH上截取CH=BA，连结DH．

∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．

又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．

∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．

又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．

∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．

∴∠ADB＝∠HDB．

又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．

∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．