非线性混沌电路元件参数测量方法探索和比较.docx
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非线性混沌电路元件参数测量方法探索和比较
非线性混沌电路元件参数测量方法探索和比较
光信息科学与技术0730*******王天珑
摘要：
为了对于典型的非线性混沌电路——蔡氏电路所观察到的分岔、混沌图像有更深入的理解和分析，我们采取几种方法得到电路中所用非线性负阻的伏安特性曲线，并对电路实际工作状态下的电容、电感参数值的确定进行探索和比较
关键词：
蔡氏电路、非线性负阻伏安特性、电容、电感、损耗电阻
一、引言：
非线性是自然界中普遍存在的现象。
绝大多数非线性动力学系统，即有周期运动，又有混沌运动。
而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对的无序。
而是可用奇异吸引子来描述的复杂的有序，混沌是非周期的有序性。
本实验建立一个非线性电路，观察振动周期发生的分岔及混沌现象，测量非线性负阻的伏安特性曲线，测量电路中的电容、电感值，从而对非线性电路及混沌现象产生的本质有充分的认识。
二、实验原理：
本实验中所用的非线性混沌电路是蔡氏电路。
蔡氏电路的主要元件有可调电阻R，电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr，如图1所示。
图1蔡氏电路示意图
它的运行状态可以用以下方程组来描述：
其中U1为C1（或负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流。
g（U）为非线性负阻的I-V特性函数，如图3所示，其表达式为：
该非线性负阻的内部结构如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）构成，输入电源电压±15V。
图2：
非线性负阻的内部结构
图3理想非线性负阻I-V特性示意图
为求平衡点处线性化系统的特征根，可对蔡氏电路运行状态方程组作如下处理。
从而可得到其特征根的对应的局部流形，并进一步绘制出状态空间复杂的轨线结构。
三、实验仪器：
1、非线性电路混沌实验仪FD-NCE-II机号070042
图4非线性电路混沌实验仪示意图
2、函数信号发生器
3、ZX36型旋转式电阻箱317最小量程0.1Ω，最大量程9999Ω
4、XINJIANXJ4453A数字示波器
5、KT7244万用表
6、电容器最小量程0.0001uF
7、若干导线等
四、实验方法与结果讨论：
（一）、非线性负阻的伏安特性的测定
1、将非线性负阻与一个电阻箱串联，用伏安法测量其I-V特性曲线；
图5外接电阻箱法测量非线性负阻的伏安特性曲线
表1外接电阻箱法测量非线性负阻的伏安特性曲线
序号
电压范围U（V）
斜率k（A/V）
斜率不确定度uk（A/V）
截距b（mA）
截距不确定度ub（A/V）
线性系数r
1
0.010~1.652
-7.458×10^（-4）
4×10^（-7）
-3.740×10^（-3）
3×10^（-4）
1
2
1.808~11.201
-4.000×10^（-4）
2×10^（-7）
-0.5778
2×10^（-3）
0.99999
3
11.402~12.477
0.00375
4×10^（-5）
-47.48
0.5
0.9992
如图5所示，这是外接电阻箱法测得的非线性负阻的伏安特性曲线。
我们可以看到它是分段线性函数来描述的，但我们实验中只能测到I轴右侧部分以及左边很小一部分，所得伏安特性曲线不完整。
这是该方法的最大缺点。
根据图5来确定分段线性拟合所选取的范围，遂得如表1所示的实验结果。
-7.458×10-4U-0.004×10-4（A）0.010V≤U≤1.652V
-4.000×10-4U-5.778×10-4（A）1.808V≤U≤11.201V
I=g（U）=
37.5×10-4U-474.8×10-4（A）11.402V≤U≤12.477V
我们可求出三段线性函数的交点：
U1=1.670V，I1=-1.246mA，U2=11.302V，I2=-5.098mA
于是有
-7.458×10-4U-0.004×10-4（A）0.010V≤U≤1.652V
-4.000×10-4U-5.778×10-4（A）1.808V≤U≤11.201V
I=g（U）=
37.5×10-4U-474.8×10-4（A）11.402V≤U≤12.477V
对于这三段线性函数，在前两个直线拟合所选取的范围内的线性系数比后者要高出一个数量级。
这是因为双运放非线性元件实际的伏安特性曲线如图6所示。
图6双运放非线性元件实际的伏安特性曲线
最外侧两段的斜率非常陡，因此对等间隔的电压表示值对应的电阻箱调节值迅速增大，很快超出量程，使第三个直线拟合所选的范围很小，数据点相对稀疏，造成线性拟合中的误差较大。
这里分段线性拟合的区间并不连续：
（1）电阻箱调节电阻的限制导致电压表示值在分段边界处存在较大间隔无法实现准连续测量；
（2）在分段边界处必须除去某些给线性拟合带来很大偏差的数据点，否则会直接影响到拟合效果，如第3段取电压范围为11.201~12.477V，则有以下结果：
r=0.99495，u（b）=1mA，u（k）=9×10-5A/V
不确定度增大，线性系数降低。
2、改接原混沌实验仪电路（接入电阻r），记录各种混沌状态时非线性负阻的I-V特性曲线
图7（a）内置信号扫描法测量非线性负阻的伏安特性曲线
图7（b）内置信号扫描法测量非线性负阻的伏安特性曲线
如图7所示，这是内置信号扫描法测得的非线性负阻的伏安特性曲线。
我们按照箭头方向观察伏安特性曲线的变化，发现其渐趋完整。
当处于奇异单吸引子状态时，正好出现伏安特性曲线的整个右半部分，而当处于双吸引子状态时，伏安特性曲线的左半部分也成为负阻的工作状态。
所以非线性负阻元件的作用是通过其分段线性函数的伏安特性使电路呈现振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
（注：
这里的伏安特性曲线并不能直接反映非线性负阻的负阻抗特点，因为用来测量通过其电流的CH3信号与CH2信号反相）
达到最后三种相图所表示的状态时，非线性负阻的伏安特性分段边界清晰，且中间部分分裂成电压上升和电压下降对应电流有略微差异的曲线。
本方法接入电阻的选取对伏安特性曲线的观察是有影响的。
当通过接入电阻的电流较大时，会产生较大的电学噪声。
当在实验中增大接入电阻组织分别至330Ω、530Ω、730Ω、1030Ω、1530Ω可以观察到电学噪声随电流减小而降低，伏安特性曲线趋于细锐。
但过大的电阻也会不断减小分岔、混沌现象出现的相图窗口大小，当超过2300Ω时示波器图像完全消失。
因此，遍历各电路工作状态并能降低噪声的情况最好，本实验中选取r=330Ω为佳。
3、用函数信号发生器驱动，在不同频率下测量非线性负阻的I-V特性曲线
如图8所示，这是函数信号发生器外部信号扫描法测得的非线性负阻的伏安特性曲线。
在低频情况下，我们可以看到完整的非线性负阻的伏安特性曲线，但是随着信号频率增大，伏安特性曲线中间部分也分裂成电压上升和电压下降有差异的曲线，而且这种差异随着频率增大会拉大直至使伏安特性分段线性完全变形。
图8函数信号发生器外部信号扫描法
这是因为非线性负阻中的双运放对于高信号频率的响应较慢所引起的相位差，相位差过大即可导致伏安特性曲线走向失真。
（注：
同样，这里的伏安特性曲线并不能直接反映非线性负阻的负阻抗特点，因为用来测量其通过电流的CH1信号与CH2信号反相）
（二）、测量非线性电路中的电容C1、C2
1、RC电路测量法
图9RC电路测量法原理图
图10分别改变电阻R和信号频率f时电容C1与工作电压U的关系
图11电容C1与信号频率f的关系
图12分别改变电阻R和信号频率f时电容C2与工作电压U的关系
图13电容C2与信号频率f的关系
如图10~13所示，这是分别在改变电阻R和信号频率f的条件下测得的电容C1与工作电压U的关系。
理想情况下电容C1、C2不应随其工作电流或电压发生变化，但是电容的材料参数在实际情况中会受到影响。
在图10中只有当电容的工作电压≥4V时，待测电容C1的容量值才会趋于稳定，在某一值附近小幅振荡，。
该振荡可能是由于R和f调节过程中给RC电路带来的扰动误差。
而当工作电压＜3V时大体呈现出电容C1随工作电压增大而增大的变化趋势，工作电压接近于0时更是电容接近于短路其容量趋于无穷大，这都可能是在RC电路中因R和f过大导致电阻起绝对主导作用所产生的。
随着f继续增大超过3.0KHz可以看到其容量逐渐下降。
这是因为电容在高频工作条件下，介电常数比低频时来得小，因此容量也相应减小。
同理，对于电容C2的测定我们也可以得到与上述类似的结论。
RC电路测量法的主要特点：
（1）我们可以看到在不同的U和f的条件下电容C1、C2的容量值的变化，相应测量曲线信息较为完整；
（2）受到测量结果振荡项的制约，对应于非线性电路混沌实验仪实际工作中的电容，容量精度不够；
（3）直接选取U2＝½U1附近的位置测量电容值具有较大随机误差；
2、串联电容电路测量法
图14串联电容电路测量法原理图
用2700Hz的正弦信号（接近非线性电路混沌实验仪实际工作频率）测量时，当调节C01=0.1020μF时，U1=6.36V，U2=3.18V，即U1=2U2。
此时Cx1≈C01=0.1020μF。
同理可得Cx2≈C02=0.0102μF。
串联电容电路测量法的主要特点：
（1）与RC电路测量法相似，电路结构简单；
（2）可变电容器最小量程较小，如本实验中为0.0001uF，可使得电容C1的容量值精确到10-4uF，但是若非线性电路混沌实验仪采用更小的电容或者可变电容器量程较大，精度大大降低；
（3）函数信号发生器自身问题和系统电学噪声使CH1、CH2输出电压峰峰值会出现轻微跳动，而且峰峰值的最小量程因为要保证信号源强度而一般为0.01V。
因此当微调电容器电容时很有可能在示波器图像上分辨不出来或无法确定。
（4）可变电容器与待测电容材料参数是否匹配，可能会影响到串联电容电路分压关系的准确性；
3、指针万用表电阻档瞬摆测量法
表2万用表电阻档示数与电容器容量之间的定标曲线
图15万用表电阻档示数与电容器容量之间的定标曲线
把指针万用表调整在电阻档R×K位置，根据电容的大小选择合适的档位，将两表笔接触电容器两接线端，如果表针一直在零电阻位置，且减小万用表电阻档位指针仍为零，则电容器短路；若指针不动，一直在电阻无穷大处，表明电容器断路；若电表指针先向右偏转，接着又返回到电阻无穷大处，则表示电容器良好；若电表指针先向右摆动，再回摆到某一位置，但并非电阻无穷大处，则表示电容器可能漏电。
根据万用表指针在接触电容两接线端瞬间的最大摆动幅度和指针瞬摆回复时间可以估测电容C1、C2的容量值。
鉴于以下两个原因我们没有采用秒表和万用表电阻档的结合，并通过读出中值电阻来测量电容：
（1）指针瞬摆恢复受到电表阻尼作用；
（2）非线性电路混沌实验仪电容数量级在100uF或以下，充电时间非常短，在中值电阻处动态读数并计时无误较难实现；
如图15所示，比较可行的方案还是测出指针万用表电阻档指针瞬摆最大摆幅所对应的电阻示数，并将其与已知可变电容器的容量值一一对应进行定标。
我们看到电容越小，万用表电阻档指针瞬间最大摆幅所对应的电阻示数越大，直至趋向于无穷大。
而对于电容C1，电阻档下指针最大摆幅正好在550×10KΩ附近，所以估算得其容量数量级为0.1uF。
串联电容电路测量法的主要特点：
（1）电阻档读数的误差范围使得容量非常接近的两电容值无法同时作为数据点，整条定标曲线数据点不多；
（2）在靠C=0轴时电阻变化非常大，难以分辨示数，整条定标曲线数据点不均匀；
（3）超出电阻档量程，无法对小电容进行测量；
改进假设：
曾考虑将被测电容并接在三极管c-e结，万用表选用R×1档，红、黑表笔分别接三极管的e级和c级，此时被测电容的充放电电流加在复合管b-e结予以放大，使万用表指针摆幅变得明显，从而便于观察电阻档示数，提高小电容测量效果。
4、数字万用表电容档测量法
该方法是将电容的充电时间由双时基电路转换为脉冲，将脉冲积分后即得其容量。
用C×200nF档测得C1=103.8nF，用C×20nF档测得电容C2=10.13nF。
数字表万用表电容档测量法的主要特点：
（1）无需外接电路、示波器或函数信号发生器，简便；
（2）从测量原理上分析测得的电容值比较可靠，也能精确10-2nF的数量级；
（3）其测量脱离了非线性电路混沌实验仪的实际工作情况；
（三）、测量非线性电路中的电感L，电感损耗电阻RL
1、RL电路测量法
实际的电容可以等效看做一个理想电容与一个很大的电容两极简的漏电电阻并联，一般而言漏电电阻比电容的容抗要大得多，所以实际的电容完全可以看做理想电容、实际的电感则不同，有铁芯电感由导线绕制而成，导线是有电阻的，尤其是在高频情况下，趋肤效应明显，其交流状态下的电阻比直流大很多，这就是电感的损耗电阻RL。
因此在不忽略电感损耗电阻及其随工作电流变化情况的前提下，RL电路测量法无法直接确定L和RL的值。
关键在于CH2信号并非待测理想电感L的端压，包含损耗电阻的一部分。
2、数字万用表电感档测量法
用L×200mH档测得L=21.2mH，另用R×1Ω档测得RL=2.3Ω。
数字表万用表电感档测量法的主要特点：
（1）无需外接电路、示波器或函数信号发生器，简便；
（2）从测量原理上分析测得的电感值比较可靠；
（3）其测量脱离了非线性电路混沌实验仪的实际工作情况，尤其是高频条件下L和RL随信号频率f变化明显；
除此之外，通过容抗与感抗示值之间的转换，用数字万用表电容档也可以测量电路中的电感L。
3、RLC串联谐振电路测量法
图16RLC串联谐振电路
如图16所示，对于RLC串联电路，电路总阻抗
。
当电压一定时，若信号频率满足
则电路阻抗达到其极小值Z0=R。
电路中，电流达到其极大值Im=U/R，即谐振现象发生。
我们利用的正是RLC串联谐振电路测量法，一方面谐振频率、已知电容的可变电容器测得
；另一方面通过回路电流和损耗电阻两段电压测得
。
图17电感L随信号频率f的变化关系
图18电感损耗电阻RL随信号频率f的变化关系
如图17、18所示，这是电感L和电感损耗电阻RL随信号频率f的变化关系。
在0~2KHz的较低频率下，L随f增大而增大，在2~14KHz范围内近似保持不变，在f＞14KHz的高频条件下，L随f迅速增大。
当f=66KHz时，L已经超过58mH。
在0~3.6KHz的较低频率下，RL随f的变化很小，在某一值附近小幅振荡，但仍可视作近似保持不变，之后随着f的增大的迅速增大，当f=66KHz、时，RL已经超过300Ω，是低频条件下的30多倍。
在低频条件下，电感L处于增大状态直至饱和，因为有铁芯的电感在铁芯的影响下，电流的交变频率增大使铁磁效应更明显，电感量随之不断加大；但是电流交变时铁氧体里的小磁畴随电流脚边的频率不断来回转动变换极性。
较大的频率下磁畴跟不上电流的快速变化作出响应，减弱了它的磁性，铁芯磁导率又会降低。
两者达到一个相对平衡的状态，即对应于饱和的、对f不敏感的图16中平的那一段。
在低频条件下，铁芯的磁导率较大，电感量上升，电感的损耗电阻处于类似直流信号的状态中，基本保持不变。
直到频率持续升高，达到f＞3.6KHz的情况下，电感的损耗电阻快速增大，超过30KHz的高频条件下电阻增大越来越快，电路中损耗电阻所占主导成分增加，高损耗导致从该电阻上有较明显的热功耗散。
交变电流通过导体时，由于感应作用引起导体界面上电流分布不均匀，愈近导体表面电流密度越大，此即趋肤效应。
趋肤效应使导体的有效电阻增加。
频率越高，电流在导体界面上的分布越是向导体表面集中，趋肤效应越显著，电阻应该越大。
这里的损耗电阻引起的热功率耗散使电感温度上升，因此原本饱和的L随温度升高也开始再度迅速增大，增大倍数不及其损耗电阻。
当f=66KHz时，相较其饱和值24.7mH电感增大近2.4倍。
由于温度上升有一个过程，因此L增大对应的起始频率远大于RL增大的。
图19电感L随工作电流I的变化关系
图20电感损耗电阻RL随工作电流I的变化关系
如图19、20所示，这是电感L和电感损耗电阻RL随工作电流I的变化关系。
因为我们在实验中采用的方法是连续调节电容，再改变信号频率以达到谐振条件，因此L和RL随工作电流I的变化仍然依赖于f。
当在f＞14KHz的高频条件下，电感L迅速增大，当在f＞3.6KHz的较高频率条件下，损耗电阻RL迅速增大。
这充分体现L和RL的高频特性，频率变化对L、RL的变化起决定性作用，无法看出工作电流I对它们的影响。
而在较低频率条件下，随着I的增加，同样会使铁磁效应变得明显，则L随I增加而变大，但达到饱和以后随着铁芯磁导率的下降电感又会出现下降，就这样会形成几个较平缓的起伏。
随着I的增加，低频下RL基本保持不变，这时并不是电流只在到西安表面上很薄的一层中流过，趋肤效应很不明显。
在f=3KHz的情况下，有趋肤深度
=8mm。
这个深度远大于绕制有铁芯的电感的漆包线内径，该阻值不会随I而改变，电路损耗不太大。
4、RLC串联谐振电路测量法尚待解决的问题：
（1）、在原RL电路的基础上加上一个电容器C，但电容本身有漏电电阻，还有电容器里的电介质损耗，这都是引入的对L和RL测量带来误差的因子。
（2）、在低频条件下，导线电阻均可看做0，但其实只有超导的导电率才为无穷大，因此导线的电阻存在，只是小得可以忽略不计，而随着频率升高，也会在明显的趋肤效应影响下电阻出现明显增大，那么我们测得的电感损耗电阻RL中应该也包括了这一部分没有去除；
（3）、在高频条件下，损耗凸显得很大，各部分温度不同程度上升，电感、电容、损耗电阻等的性能都会随之发生改变，很难得到严格要求控制变量法下的L~I和L~f曲线，或者RL~I和RL~f曲线；
五、总结
通过外接电阻箱法、函数信号发生器外部信号扫描法、内置信号扫描法三种方法测量了蔡氏电路中的非线性负阻的伏安特性曲线，从频率、电阻等外部电路参数的改变全方位切实了解非线性混沌电路的的源头就是本实验仪中的非线性负阻I-V曲线的分段线性函数特点。
而通过结合以前各种关于电容、电感等存储器件测量的知识，加之考虑到非线性混沌电路实际工作情况，为求解蔡氏电路运行状态方程组提供尽量准确的元件参数值，以实现更好的数值模拟，并为展开C调制、L调制研究做好准备。
六、致谢
非常感谢乐永康老师、罗页学长近一个月以来对本次实验的大力支持，以及合作者吕辰同学的共同努力。
七、参考文献
a）非线性电路理论刘小河编著机械工业出版社2009年
b）ThreestepstochaospartⅡMichaelPeterKennedy1993年
c）非线性电路实验讲义
d）非线性电路理论及应用刘崇新编著西安交通大学出版社2007年
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