④等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
（3）等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：
等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：
在直角三角形中，锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4.等边三角形及其性质
定义：
三条边都相等的三
角形叫做等边三角形，也称
为正三角形.
性质：
（1）等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；
（
2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
；
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形
的一切性质.
判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二．等腰三角形的判定
方法技能：
等腰三角形的判定方法：
（1）定义：
三角形中有两条边相等；
（2）判定定理：
三角形中有两个角相等，从而得到边相等；
（3）线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形，则这个点到这条线段两端点的距离相等，即可得到边相等
经典例题：
1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C
2．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B等于（）
A．70°B．35°C．110°或35°D．110°
3.如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是（）
A．△ABDB．△ACDC．△ACED．△ABC
4.如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8cm，则△ABC是_______三角形，BD的长为____cm.
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.
（1）求证：
BC＝AD；
（2）求证：
△OAB是等腰三角形
三、等腰三角形分类讨论思想
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在解有关等腰三角形问题时，当所给的边、角等条件不明确时，常常要进行分类讨论，否则易造成错解.
类型1:
针对顶角和底角进行分类
例1. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°
类型2:
针对腰长和底边长进行分类
例2 已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是________
例3 已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9 cm和12 cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为__________ .
类型3：
针对三角形的形状进行分类
例4 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．
例5 在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=_______
4．等腰三角形“三线合一”性质运用技巧
等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，只要知道其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等、或者垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程。
类型一：
直接运用
1.如图，房屋顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC，求顶架上的∠B,∠C，∠BAD，∠CAD的度数。
2.如图，在∆ABC中，AB=AC，AD=BD，DE⊥AB于点E，若BC=10，且∆BDC的周长为24，求AE的长.
2.如图，在∆ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD和BE相交于点H，且BE=AE，求证：
AH=2BD
类型二：
已知等腰三角形作垂线或中线或角平分线，
1.如图，在∆ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且AE=AF,求证：
DE=DF
2.如图，∆ABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：
M是BE的中点
类型三：
构造等腰三角形
1.如图，∆ABC的面积为1cm²，BP平分∠ABC，AP⊥BP，求∆PBC的面积
2.如图，已知∆ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足为点E，求证：
BD=2CE.
提优训练：
一、选择题
1.如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）
A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③
2.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个三角形的顶角为（）
A.30°或150°B.75°或15°C.75°D.30°
3.如图,在等边△ABC中,AB=2,D为△ABC内一点,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB且∠EBD=∠CBD,连接DE,CE,则下列结论:
①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC;③∠DEB=30°;④若EC∥AD,则S△EBC=1.其中正确的有
A.1个B.2个C.3个D.4个
第3题图第4题图
4.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；
④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5.有下列说法：
①等腰三角形的角平分线、中线和高线三线合一；
②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；
③一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形；
④若三角形的一条内角平分线平分这个角的对边，则这个三角形是等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1．已知等腰三角形的底角等于顶角的两倍，则它的顶角的度数是．
2．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的一个底角等于．
3.如图矩形ABCD，AB=8，BC=8
，E是在A→D→C上的一个动点（不与A重合），P点是A关于BE的对称点，若△PBC是等腰三角形，则P点有（ ）个．
A.2B.3C.5D.4
4.在中线长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分线段AB于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是 .
2、解答题
1.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
（1）求证：
AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
2.如图，在△ABC中，AB=BC，点E为边AC的中点，过点A作AD∥BC，过点C作CD⊥AD于点D，且BE=CD。
求证：
△ABC是等边三角形。
3.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：
OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
4.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为对角线AC上的一个动点，连结DE，EF⊥DE交射线BC与点F，设AE为x．
（1）当x取何值时，DE的值最小；
（2）设CF=y，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；
（3）试探索：
当x为何值时，△EFC为等腰三角形？
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