与名师对话理直线平面垂直的判定及性质.docx

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与名师对话理直线平面垂直的判定及性质

第五节　直线、平面垂直的判定及性质

高考概览：

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

[知识梳理]

1．直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

（2）直线与平面垂直的判定定理和性质定理

2．平面与平面的垂直

（1）平面与平面垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的判定定理和性质定理

[辨识巧记]

　两个结论

（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（　　）

（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（　　）

（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（必修2P73A组T1改编）下列命题中不正确的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

[解析]　若平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊂平面β或直线l与平面β相交．故选项A错误．故选A.

[答案]　A

3．（2019·深圳四校联考）若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（　　）

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

[解析]　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．故选B.

[答案]　B

4．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是（　　）

A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PBD．PC⊥BC

[解析]　由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确，故选C.

[答案]　C

5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在________上．

[解析]　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，

因此平面ABC⊥平面ABC1，

因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．

[答案]　AB

考点一　垂直关系的判断

【例1】　

（1）（2019·贵阳一中适应性考试）已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）（2018·黑龙江哈尔滨第三中学一模）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出l∥m的是（　　）

A．l∥α，m⊥β，α⊥βB．l⊥α，m⊥β，α∥β

C．l∥α，m∥β，α∥βD．l∥α，m∥β，α⊥β

[解析]　

（1）若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B.

（2）由A，C，D可推出l与m平行、相交或异面，由B可推出l∥m.故选B.

[答案]　

（1）B　

（2）B

　与线面垂直关系有关命题真假的判断方法

（1）借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断．

（2）寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．

（3）反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．

[对点训练]

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

[解析]　对于A，m与平面α可以相交、平行或在平面α内，故A错误；对于B，m与平面α可以相交、平行或在平面α内，故B错误；对于D，m⊥α或m⊂α，故D错误；选项C正确．故选C.

[答案]　C

2．（2019·广东汕头质检）如

图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD.有如下四个结论：

①AC⊥BD；②AD⊥BC；③平面ABC⊥平面ABD；④平面ACD⊥平面ABD.

正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

[解析]　∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BC⊥BD，∴BD⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，

∴BD⊥AC，故①正确，②不正确；

∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC，故③正确；

∵AC⊥AB，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.

又∵AC⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABD，故④正确．

综上①③④正确，故选C.

[答案]　C

考点二　直线与平面垂直的判定和性质

【例2】　

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

[证明]　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

PA，AC⊂平面PAC，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

PC，CD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD，

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，

AB，AE⊂平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

（1）证明线线垂直的常用方法

①利用特殊图形中的垂直关系．

②利用等腰三角形底边中线的性质．

③利用勾股定理的逆定理．

④利用直线与平面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的常用方法

①利用判定定理，它是最常用的思路．

②利用线面垂直的性质：

若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．

③利用面面垂直的性质：

a.两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．

b．若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．

[对点训练]

　（2019·黑龙江佳木斯一中三模）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：

B1F⊥平面ADF.

[证明]　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.

因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.

因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.

证法一：

在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，

所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，

所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，

所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF.

证法二：

在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝＝.

在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，所以B1F＝＝.

在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，所以DF＝＝.

显然DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD.∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF.

考点三　平面与平面垂直的判定和性质

【例3】　（2018·合肥市高三二检）如图，在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD＝AB＝2CD＝2PQ.求证：

平面POB⊥平面PAC.

[思路引导]　→→→

[证明]　∵CD＝AD，AO＝AD，

∴CD＝AO.

又∵AD＝AB，∴Rt△ADC≌Rt△BAO，

∴∠DAC＝∠ABO，

∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°，

∴AC⊥BO.

∵PA＝PD，且O为AD的中点，

∴PO⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD.

∴PO⊥平面ABCD.

∵AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC.

又BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB.

∵AC⊂平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC.

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

[对点训练]

（2019·山西师大附中期中）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

[证明]　

（1）因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，

平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE，

所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.

因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.

又E，F分别是CD和CP的中点，

所以EF∥PD，故CD⊥EF.

因为EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.

因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

考点四　平行与垂直的综合问题

【例4】　

如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：

（1）CE∥平面PAD；

（2）平面EFG⊥平面EMN.

[思路引导]　

（1）→

（2）→→→→

[证明]　

（1）取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH是平行四边形．

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF.

同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

（1）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等．

（2）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

[对点训练]

　（2019·河南郑州一中押题卷二）如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，

AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

[证明]　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，

∴GF∥DE且GF＝DE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

又∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

审题系列⑤——平面图形的翻折

素养解读：

平面图形翻折为空间图形问题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．

【典例】　如图1，在直角梯形ABC1A1中，AB∥A1C1，AB⊥AA1，AB＝2C1A1，C是线段AB的中点．将直角梯形沿直线CC1折叠，使∠ACB＝，如图2所示．若E，F分别是线段BC，CC1上的点且＝λ，＝μ.

（1）λ为何值时，平面AEF⊥平面BCC1？

并给出证明；

（2）试讨论λ，μ满足什么条件时，直线A1B∥平面AEF?

[切入点]　弄清折叠前后数量关系及线面位置关系的变化．

[关键点]　借助不变的线面位置关系求证．

[规范解答]　

（1）当λ＝1时，平面AEF⊥平面BCC1，理由如下：

在题图1中，因为四边形ABC1A1是直角梯形，AB∥A1C1，AB⊥AA1，AB＝2C1A1，C是线段AB的中点，所以在题图2中，CC1⊥AC，CC1⊥BC，所以CC1⊥平面ABC，所以AE⊥CC1.

因为翻折后∠ACB＝，所以△ABC为等边三角形．

当λ＝1时，E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

因为BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1，

CC1⊂平面BCC1，所以AE⊥平面BCC1，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1.

（2）连接A1C交AF于M，连接EM.若A1B∥平面AEF，则A1B∥EM，所以＝，因为AA1∥CC1，所以＝，所以＝，得λ＝.

所以λ，μ满足λ＝时，直线A1B∥平面AEF.

解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．

（1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

（2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．

[感悟体验]

　（2017·广东卷）如图

（1），在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图

（2）所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF.

[证明]　

（1）在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC.

因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，

所以DE∥平面BCF.

（2）在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，

所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.

又BF＝CF＝，BC＝，所以BC2＝BF2＋CF2，

所以BF⊥CF.

又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，

所以CF⊥平面ABF.课后跟踪训练（四十九）

基础巩固练

一、选择题

1．（2019·湘东五校联考）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.

其中正确命题的序号是（　　）

A．①④B．③④C．①②D．①③

[解析]　对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．故选A.

[答案]　A

2．（2019·湖北七市高三联考）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（　　）

A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

[解析]　对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B.

[答案]　B

3．（2018·湖南长沙模拟）已知α，β，γ为平面，l是直线，若α∩β＝l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　由α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l可以推出l⊥γ；反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，则根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ.所以若α∩β＝l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件．故选C.

[答案]　C

4．（2019·贵阳监测）如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

[解析]　A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

[答案]　B

5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

[解析]　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.故选D.

[答案]　D

二、填空题

6.

（2019·河北石家庄调研）如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

[解析]　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．

由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

[答案]　4

7．（2019·绵阳一诊）已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，则

①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.

由上述条件可推出的结论有________（请将你认为正确的结论的序号都填上）．

[解析]　因为γ∩β＝l，所以l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，所以l⊥α；因为γ∩β＝l，所以l⊂β，又l⊥α，所以α⊥β.

[答案]　②④

8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

[解析]　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，就有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

[答案]　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

三、解答题

9.

（2019·广东中山期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．

（1）求证：

CD⊥AE；

（2）试判断PB与平面AEC是否平行？

并说明理由．

[解]　

（1）证明：

因为PD⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，

所以PD⊥CD.又AD⊥CD，AD∩PD＝D，故CD⊥平面PAD.

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.

（2）

PB与平面AEC不平行．理由如下：

假设PB∥平面AEC，如图，设BD∩AC＝O，连接OE，则平面EAC∩平面PDB＝OE.

又PB⊂平面PDB，所以PB∥OE.

在△PDB中，有＝，

由E是PD中点可得，＝＝1，即OB＝OD.因为AB∥DC，所以＝＝，这与OB＝OD矛盾，所以假设错误，所以PB与平面AEC不平行．

10.

在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是长方形，BB1⊥AB，CA＝CB，A1B1∥AB，AB＝2A1B1，E，F分别是AB，AC1的中点．

（1）求证：

EF∥平面BB1C1C；

（2）求证：

平面C1AA1⊥平面ABB1A1.

[证明]　

（1）连接BC1.

∵E，F分别是AB，AC1的中点，

∴EF∥BC1.

∵BC1⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，

∴EF∥平面BB1C1C.

（2）连接A1E，CE.

∵AB∥A1B1，AB＝2A1B1，E为中点，

∴BE∥A1B1，且BE＝A1B1，

∴四边形A1B1BE是平行四边形，

∴A1E∥B1B，且A1E＝B1B.

由四边形BB1C1C是长方形，知C1C∥B1B，且C1C＝B1B，

∴A1E∥C1C，且A1E＝C1C，

∴四边形C1A1EC是平行四边形，∴A1C1∥EC.

∵B1B⊥BC，B1B⊥AB，∴B1B⊥平面ABC，

∴B1B⊥EC.

由CA＝CB，E为AB的中点得EC⊥AB.

又B1B∩AB＝B，∴EC⊥平面ABB1A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1.

∵A1C1⊂平面C1AA1，

∴平面C1AA1⊥平面ABB1A1.

能力提升练

11．已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为（　　）

①若a⊥α，b⊥β，l⊥γ，a∥b∥l，则α∥β∥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ