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1、与名师对话理直线平面垂直的判定及性质第五节直线、平面垂直的判定及性质高考概览：1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 知识梳理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任何一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理2平面与平面的垂直(1)平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理和性质定理辨

2、识巧记两个结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面双基自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2(必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平

3、面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l解析若平面平面，且直线l平面，则直线l平面或直线l与平面相交故选项A错误故选A.答案A3(2019深圳四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中是假命题的为()A过点P垂直于平面的直线平行于平面B过点P垂直于直线l的直线在平面内C过点P垂直于平面的直线在平面内D过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面解析由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此也平行于平面，因此A正确过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面，不一定在平面内，因此B不正确根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确故

4、选B.答案B4PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()APABC BBC平面PACCACPB DPCBC解析由PA平面ACBPABC，A正确；由BCPA，BCAC，PAACA，可得BC平面PAC，BCPC，即B，D正确，故选C.答案C5如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在_上解析由BC1AC，又BAAC，则AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上答案AB考点一垂直关系的判断【例1】(1)(2019贵阳一中适应性考试)已知l为平面内的一条

5、直线，表示两个不同的平面，则“”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2018黑龙江哈尔滨第三中学一模)设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出lm的是()Al，m， Bl，m，Cl，m， Dl，m，解析(1)若l为平面内的一条直线且l，则，反过来则不一定成立，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选B.(2)由A，C，D可推出l与m平行、相交或异面，由B可推出lm.故选B.答案(1)B(2)B与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断(2)

6、寻找反例，只要存在反例，结论就不正确(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明对点训练1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析对于A，m与平面可以相交、平行或在平面内，故A错误；对于B，m与平面可以相交、平行或在平面内，故B错误；对于D，m或m，故D错误；选项C正确故选C.答案C2(2019广东汕头质检)如图，在三棱锥ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCD.有如下四个结论：ACBD；ADBC；平面ABC平面ABD；平面ACD平面ABD.正确的个数是()A1

7、B2 C3 D4解析平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，BCBD，BD平面ABC.又AC平面ABC，BDAC，故正确，不正确；BD平面ABD，平面ABD平面ABC，故正确；ACAB，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ACD，平面ACD平面ABD，故正确综上正确，故选C.答案C考点二直线与平面垂直的判定和性质【例2】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE. 证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，

8、PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系利用等腰三角形底边中线的性质利用勾股定理的逆定理利用直线与平面垂直的性质(2)证明线面垂直的常用方法利用判定定理，它是最常用的思路利用线面垂

9、直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面利用面面垂直的性质：a.两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面b若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面对点训练(2019黑龙江佳木斯一中三模)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F平面ADF.证明因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.

10、证法一：在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，所以B1F平面ADF.证法二：在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.ADFDD，B1F平面ADF.考点三平面与平面垂直的判定和性质【例3】(2018合肥市高三二检)如图，在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD，ABCDPQ，ABAD，PAD为正三角形，O

11、为AD的中点，且ADAB2CD2PQ.求证：平面POB平面PAC.思路引导证明CDAD，AOAD，CDAO.又ADAB，RtADCRtBAO，DACABO，DACAOBABOAOB90，ACBO.PAPD，且O为AD的中点，POAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD.PO平面ABCD.AC平面ABCD，POAC.又BOPOO，AC平面POB.AC平面PAC，平面POB平面PAC.(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直对点

12、训练(2019山西师大附中期中)如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD，平面PAD平面ABCD，且PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.因为PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD.又E

13、，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.因为EFBEE，所以CD平面BEF.因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.考点四平行与垂直的综合问题【例4】如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.思路引导(1)(2)证明(1)取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD

14、.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.(1)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等(2)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范对点训练(2019河南郑州一中押题卷二)如图所示，已知AB平面ACD，DE平面

15、ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.又BG平面BCE，平面BCE平面CDE.审题系列平面图形的翻折素养解读：平面图形翻折为空间

16、图形问题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征【典例】如图1，在直角梯形ABC1A1中，ABA1C1，ABAA1，AB2C1A1，C是线段AB的中点将直角梯形沿直线CC1折叠，使ACB，如图2所示若E，F分别是线段BC，CC1上的点且，.(1)为何值时，平面AEF平面BCC1？并给出证明；(2)试讨论，满足什么条件时，直线A1B平面AEF?切入点弄清折叠前后数量关系及线面位置关系的变化关键点借助不变的线面位置关系求证规范解答(1)当1时，平面AEF平面BCC1，理由如下：在题图

17、1中，因为四边形ABC1A1是直角梯形，ABA1C1，ABAA1，AB2C1A1，C是线段AB的中点，所以在题图2中，CC1AC，CC1BC，所以CC1平面ABC，所以AECC1.因为翻折后ACB，所以ABC为等边三角形当1时，E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC.因为BCCC1C，BC平面BCC1，CC1平面BCC1，所以AE平面BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF平面BCC1.(2)连接A1C交AF于M，连接EM.若A1B平面AEF，则A1BEM，所以，因为AA1CC1，所以，所以，得.所以，满足时，直线A1B平面AEF.解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平

18、面图形翻折前后的两个“不变”(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变感悟体验(2017广东卷)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF.证明(1)在折叠后的图形中，因为ABAC，ADAE，所以，所以DEBC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在折叠前的图形中，因为ABC为等边三角形，BFCF，所以AFBC，则在折叠

19、后的图形中，AFBF，AFCF.又BFCF，BC，所以BC2BF2CF2，所以BFCF.又BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.课后跟踪训练(四十九)基础巩固练一、选择题1(2019湘东五校联考)已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确命题的序号是()A B C D解析对于，若，m，l，则ml，故正确，排除B.对于，若ml，m，则l，又l，所以，故正确故选A.答案A2(2019湖北七市高三联考)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平

20、面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析对于A，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；对于D，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误故选B.答案B3(2018湖南长沙模拟)已知，为平面，l是直线，若l，则“，”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由，l可以推出l；反过来，若l，l，则根据面面垂直的判定定理，可知，.所以若l

21、，则“，”是“l”的充要条件故选C.答案C4(2019贵阳监测)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.答案B5如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构

22、成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.故选D.答案D二、填空题6.(2019河北石家庄调研)如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，

23、PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形答案47(2019绵阳一诊)已知平面、是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若，m，l，lm，则m；l；.由上述条件可推出的结论有_(请将你认为正确的结论的序号都填上)解析因为l，所以l，又，m，lm，所以l；因为l，所以l，又l，所以.答案8如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析由定理可知，BDPC.当DMPC

24、(或BMPC)时，就有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)三、解答题9.(2019广东中山期末)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABDC，CD2AB，ADCD，E为棱PD的中点(1)求证：CDAE；(2)试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由解(1)证明：因为PD底面ABCD，CD底面ABCD，所以PDCD.又ADCD，ADPDD，故CD平面PAD.又AE平面PAD，所以CDAE.(2)PB与平面AEC不平行理由如下：假设PB平面AEC，如图，设BDACO，连接OE，则平面EAC平面PDBOE.又PB平面PDB，所以PBOE.在

25、PDB中，有，由E是PD中点可得，1，即OBOD.因为ABDC，所以，这与OBOD矛盾，所以假设错误，所以PB与平面AEC不平行10.在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是长方形，BB1AB，CACB，A1B1AB，AB2A1B1，E，F分别是AB，AC1的中点(1)求证：EF平面BB1C1C；(2)求证：平面C1AA1平面ABB1A1.证明(1)连接BC1.E，F分别是AB，AC1的中点，EFBC1.BC1平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，EF平面BB1C1C.(2)连接A1E，CE.ABA1B1，AB2A1B1，E为中点，BEA1B1，且BEA1B1，四边形A1B1BE是平行四边形，A1EB1B，且A1EB1B.由四边形BB1C1C是长方形，知C1CB1B，且C1CB1B，A1EC1C，且A1EC1C，四边形C1A1EC是平行四边形，A1C1EC.B1BBC，B1BAB，B1B平面ABC，B1BEC.由CACB，E为AB的中点得ECAB.又B1BABB，EC平面ABB1A1，A1C1平面ABB1A1.A1C1平面C1AA1，平面C1AA1平面ABB1A1.能力提升练11已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为()若a，b，l，abl，则；若，且l，则l