高中数学 必修二第二章 点直线平面之间的位置关系21 211.docx
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高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系21211
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
目标定位 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.了解平面的基本性质，即公理1，2，3.3.会进行“文字语言”“符号语言”“图形语言”之间的转化.4.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类与表示.
自主预习
1.平面的概念
（1）几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
（2）平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
（3）平面的表示法
图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.
2.点、线、面之间的关系
（1）直线在平面内的概念：
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
（2）一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α、β相交于直线l
α∩β＝l
3.平面的基本性质及作用
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据
即时自测
1.判断题
（1）A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合.（√）
（2）梯形一定是平面图形.（√）
（3）三个平面可以将空间分为4部分或6部分或8部分.（×）
（4）空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面有四个.（×）
提示 （3）三个平面可以将空间分为4部分或6部分或7部分或8部分.
（4）当这四个点共面时，只有一个平面；当这四个点不共面时，有四个平面.
2.下列图形中，不一定是平面图形的是（ ）
A.三角形B.菱形
C.梯形D.四条边相等的四边形
解析 三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形.
答案 D
3.用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面α外”，正确的表示是（ ）
A.A∈l，l∉αB.A∈l，l⊄α
C.A⊂l，l⊄αD.A⊂l，l∉α
解析 点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合之间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系，故选B.
答案 B
4.两两平行的三条直线最多可以确定________个平面.
解析 如图此时确定的平面个数最多.
答案 3
类型一 三种语言的转换
【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形.
（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
解
（1）符号语言表示：
α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.
（2）符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.
规律方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【训练1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B∉α；
（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
解
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.
类型二 点线共面问题（互动探究）
【例2】证明：
两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.
[思路探究]
探究点一 确定平面的基本条件有哪些？
提示 确定平面的基本条件有4个：
不在同一直线上的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线及直线外一点.
探究点二 纳入法证明点、线共面的思路是什么？
提示 先由公理2确定一个平面，再由公理1证明有关点、线在此平面内.
证明 法一 （纳入法）
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，
∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
法二 （重合法）
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
（1）纳入法：
先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
（2）重合法：
即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【训练2】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：
过a，b，l有且只有一个平面.
证明 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.
类型三 点共线与线共点问题
【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：
D、A、Q三点共线.
证明 ∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，
CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，
∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF⊂平面ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.
规律方法 点共线与线共点的证明方法：
（1）点共线：
证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在
相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
（2）三线共点：
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【训练3】如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且
＝
＝2.求证：
直线EG，FH，AC相交于同一点.
证明 ∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD且EF＝
BD.又∵
＝
＝2，
∴GH∥BD且GH＝
BD，∴EF∥GH且EF>GH，
∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.
[课堂小结]
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.
1.下列命题中正确的个数是（ ）
①一个平面长4米，宽2米；
②2个平面重叠在一起比一个平面厚；
③一个平面的面积是25平方米；
④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面.
A.0B.1C.2D.3
解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对.
答案 A
2.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作（ ）
A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂β
C.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β
解析 ∵点Q（元素）在直线b（集合）上，∴Q∈b.又∵直线b（集合）在平面β（集合）内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.
答案 B
3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
解析 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.
答案 C
4.用文字语言和符号语言表示如图.
解 文字语言：
平面α内的两直线m和n相交于点A.符号语言：
m⊂α，n⊂α，且m∩n＝A.
基础过关
1.已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是（ ）
①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.
A.0B.1C.2D.3
解析 ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.
答案 A
2.在下列命题中，不是公理的是（ ）
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析 A.不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B、C、D都是平面的基本性质公理.
答案 A
3.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ）
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误.
答案 C
4.
（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
解析
（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
答案
（1）4
（2）7
5.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
解析 因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案 ∈
6.
（1）用数学符号表示图中的点、直线、平面之间的位置关系.
（2）画出满足下列条件的图形（其中α，β为平面，a，b，l为直线）：
α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∩l＝A，B∈a.
解
（1）α∩β＝l，a⊂β，a∩l＝A，
b∩α＝B，b∩β＝C.
（2）如图所示
7.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
能力提升
8.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中（ ）
A.必有三点共线B.必有三点不共线
C.至少有三点共线D.不可能有三点共线
解析 如图
（1）
（2）所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图
（1）中A、B、D不共线.
答案 B
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（ ）
A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面
解析 在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确.
答案 D
10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.
解析 ∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.
答案 共线
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：
（1）E，F，D1，C四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点.
证明
（1）如图，分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綉
A1B.又A1D1綉B1C1綉BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形.
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面.
（2）∵EF綉
CD1，∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE＝P.
∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.
又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.
探究创新
12.在棱长是a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1、D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
（1）画出交线l；
（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
（3）求点D1到l的距离.
解
（1）如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.
（2）∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中点，
又∵A1P∥D1N，∴A1P＝
D1N.
∵N是D1C1的中点，∴A1P＝
D1C1＝
，
∴PB1＝A1B1－A1P＝
a.
（3）过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长度就是点D1到l的距离.
∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝
，
∴D1H＝
＝
＝
a.
即点D1到l的距离是
a.
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