第十九章 四边形.docx

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第十九章四边形

第十九章四边形

19.1平行四边形

第一课时平行四边形的性质

（一）

学法解析

1．认知起点：

对几何中的平行线、三角形以及小学中的四边形有关知识的积累，以此为起点来认识平行四边形．

2．知识线索：

3．学习方式：

观察形象、突出概念，合作交流．

教学过程

一、创设情境，导入新知

【活动方略】

教师提问：

上一节布置大家收集有关平行四边形的图片（相片），现在你们将自己所收集的图片与同伴交流．

学生活动：

分四人小组，拿出收集的图片进行交流，观察其特征．

教师活动：

请各组派代表将你们组收集、讨论的情况向全班进行交流．

媒体使用：

学生上讲台利用实物投影或直接展示，来汇报自己的材料．

学生活动：

通过观察图片、交流心得，丰富联想，得到平行四边形的特征：

是有两组对边分别平行的四边形．

教师归纳：

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“

”，如下图a、b，记作“

ABCD”．（板书）

【设计意图】采用让学生课前收集现实生活中的平行四边形并通过合作交流来引入平行四边形定义自然流畅，激发了学生兴趣．

二、情理推导，认识性质

【问题牵引】

操作探究：

请同学们用两块三角板画出一个平行四边形，观察下面问题．

1．平行四边形边之间有何关系？

请证明．

2．平行四边形角之间有何关系？

请证明．

【活动方略】

学生活动：

分四人小组进行探讨，在探讨中采用观察、度量的方法，很快发现平行四边形具有以下性质：

性质一：

平行四边形的对边相等；

性质二：

平行四边形的对角相等．

教师活动：

在学生通过观察、度量的体验，发现了平行四边形性质之后，引导学生进行证明．

学生活动：

证明平行四边形性质一、二，并踊跃上台演示．

思路点拨：

对于四边形的问题通常可以转化为三角形来解决，如性质一、二，可通过连结对角线AC或BD（如下图c、d）的方法将平行四边形切割成两块三角形，然后利用三角形全等证明．

【设计意图】采用学生动手画图感知得到平行四边形的两个性质，然后再应用“化归”的数学思想解决性质的严格证明，并渗透一题多解的发散思维．

三、范例点击，提高认知

例1（投影显示）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？

思路点拨：

这个实际问题首先通过周长36m的平行四边形这个条件，利用已知一条边AB=8m，很容易求出AB=DC=8m，AD=BC=10m，这是平行四边形性质中的对边相等的应用．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，分析例1，引导学生正确应用平行四边形的性质一，并板书，教会学生如何书写几何语言．（见课本P93）

学生活动：

参与教师分析，弄清解题思路．

【课堂探究】（投影显示）

探究题：

如图，已知

ABCD中，∠A：

∠B=2：

3，求∠C，∠D的度数．

思路点拨：

本题首先应明确

ABCD中，由于AD∥BC，因此∠A+∠B=180°，根据已知条件∠A：

∠B=2：

3，可以求出∠A=72°，∠B=108°，然后再用平行四边形性质过渡得到∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，提出问题后，组织学生训练，关注“学困生”的学习，在巡视中发现解题中的问题，可通过让这样的学生（代表性）上台演示，发动学生纠正．

学生活动：

先独立思考，从已知条件中分析出思路：

要求∠C，∠D，只要能求出∠A，∠B，这样就把问题转化成熟悉的思路上来，通过两个式子：

∠A+∠B=180①，∠A：

∠B=2：

3②用代数的代入法求得结果．【设计意图】补充这道探究题的目的是让学生有一个独立思考问题的素材．同时也是对课本例题的充实．

四、随堂练习，巩固深化

1．课本P93“练习”1、2、3．

2．【探研时空】

（1）如图，从

ABCD的顶点D和C，分别引对边AB的垂线DE和CF，交AB和它的延长线于E、F，求证：

△AED≌△BFC．

（2）求证：

平行四边形ABCD中，顶点B、D与对角线AC的距离相等．

（提示：

证出Rt△AED≌Rt△BFC）

五、课堂总结，发展潜能

本节课主要通过情境引入平行四边形定义：

两驵对边分别平行的四边形叫做平行四边形，同时引入表达符号“

”；接着利用观察和度量以及证明得到平行四边形两个性质：

（1）平行四边形对边相等；

（2）平行四边形对角相等．

本节课除了弄清上述概念之外还应该学会严谨的书写表达，注意其完整性，同时应领悟平行四边形化归成三角形的思想，这是添加辅助线的方向．

六、布置作业，专题突破

1．课本P99习题19．11，2，6，11．

2．选用课时作业优化设计

七、课后反思

第一课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．已知

ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm，则AD=______，CD=______．

2．平行四边形内角和等于________．

3．平行四边形周长为50cm，两邻边之比为2：

3，则两邻边分别为_____．

4．如图，在

ABCD中，∠ADB=40°，∠ABD=85°，则∠C=_____，∠ABC=_______．

5．已知一个平行四边形的两对角和为214°，则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________．

6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=5cm，D为BC边上任意一点，DF∥AC，DE∥AB，求

ABCD的周长．

【提升“学力”】

7．连结平行四边形对边中点的线段是否能将对角线二等分？

与同伴交流．

8．如图，已知

ABCD，AD、BC的距离AE=15cm，AB、DC的距离AF=30cm，且∠EAF=30°，求AB、BC、

ABCD面积．

【聚焦“中考”】

9．（2003年安徽省中考题）如图，在

ABCD中，AC=4，BD=6，P点BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（）

10．（2003年北京市中考题）如图所示，在

ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以下为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的第一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．

（1）连结：

__________．

（2）猜想：

________=________．

（3）证明．

答案：

1．5.5cm，4.5cm2．360°3．10cm，15cm4．55°，125°5．107°，73°6．10cm7．EF能将AC二等分8．30cm，60cm，900cm29．A

10．

（1）BF，

（2）BF=DE，（3）提示：

证△BCF≌△DAE．

第二课时平行四边形的性质

（二）

学法解析

1．认知起点：

已学习了三角形全等证明，平行四边形定义，性质一、二的基础上，在积累了一定的经验的情况下学习本节课内容．

2．知识线索：

3．学习方式：

采用观察、操作、交流的方式解决重点突破难点．

教学过程

一、动手操作，感知轻重

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，显示“探究”中的问题（课本P94）组织学生分四人小组进行讨论，从操作中发现

ABCD的边、角关系：

“对边相等，对角相等”，然后进一步启发学生去发现对角线交点O到平行四边形四个顶点的距离的关系．

学生活动：

分四人小组，画图、操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O（两个对角线的交点）旋转180°仍和

EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质．

教师活动：

操作投影仪，提出下面问题：

已知

ABCD中，AC、BD交于O，图中有哪些三角形全等？

哪些线段是相等的？

请同学们用多种方法加以验证．

学生活动：

合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．

思路点拨：

图中有四对三角形全等，分别是：

△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA．有如下线段相等：

OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC，证明中应用到“AAS”，“ASA”证明．

师生归纳：

平行四边形性质三：

平行四边形对角线互相平分．

【设计意图】采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点突破了难点．

二、范例点击，应用所学

例2（投影显示）

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及

ABCD面积．

思路点拨：

可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC长度时，因为∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC==6，由于OA=OC，因此AO=3，求

ABCD面积是48．

【活动方略】

教师活动：

分析讲例2，教会学生分析思路是本例的重点．渗透“综合分析法”．

学生活动：

参与教师分析，学会几何分析的基本思路．学会“综合分析法”．

【设计意图】对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过本例，让学生学会如何分析，学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点．

【课堂演练】

演练题1已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12cm，BD=18cm，AD=13cm，求△BOC的周长．（答案：

28cm）

演练题2已知

ABCD的周长为48cm，AB比AC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？

（答案：

AB=CD=14cm，BC=AD=10cm）

演练题3在

ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C度数．（答案：

110°）

教师活动：

操作投影仪，显示“课堂演练题”，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上讲台“板演”，然后与学生一起共同纠正存在的问题．

学生活动：

独立完成课堂演练题．学会应用平行四边形性质．

思路点拨：

演练题1应用平行四边形的对边相等求得BC=13cm，再应用平行四边形对角线互相平分求出BO=

BD=9cm，OC=

AC=6cm；演练题2主要应用平行四边形对边相等可知AB+BC=

×48=24cm，再利用AB=BC+4这两个等式，以代数的手法求之；演练题3，应用平行四边形对角相等，得∠B=∠D=70°，再通过∠C+∠B=180°求出∠C度数．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P95“练习”1、2．

2．【探研时空】

如图，

ABCD中，DE垂直平分AB，

ABCD的周长为5cm，△ABD的周长比

ABCD的周长少1.5cm，求平行四边形各边长．

（提示：

△ABC的周长比

ABCD的周长少1.5cm，实际上说，BD比BC+DC少1.5cm，∴DA=DB=（BC+DC）-1.5=1）[答案：

1cm，1.5cm，1cm，1.5cm]．

四、课堂总结，发展潜能

平行四边形

定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

性质：

（1）边的性质：

对边平行且相等．

（2）角的性质：

对角相等，邻角互补．

（3）对角线的性质：

对角线互相平分．

备注：

小结中应直观应用图形帮助记忆．

五、布置作业，专题突破

1．课本P100习题19．13，8，9

2．选用课时作业优化设计

六、课后反思

第二课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．

ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A=_____，∠B=______．

2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：

1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．

3．

ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别是_________．

4．

ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______．

5．如图，EF为

ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是（）．

A．12B．13C．14D．16

6．一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（）．

A．10cm2B．10

cm2C．5cm2D．5

cm2

【提升“学力”】

7．如图，

ABCD中，∠ABC=3∠A，F是CB的延长线上一点，EF⊥DC于E，CF=CD，若EF=3cm，求DE长．

8．如图，

ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求

ABCD周长．

【聚焦“中考”】

9．（2004年江苏省南京市中考题）如图，E、F是

ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）BE∥DF．

10．（2002年福州市中考题）如图，已知

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证：

OE=OF．

答案:

1．75°，105°2．21cm3．19cm，11cm4．75cm25．A6．A7．3

-38．28cm9．

（1）提示：

证∠DCA=∠CAB，用“SAS”解决，

（2）提示：

证∠FEB=∠DFE

10．提示：

证△BEO≌△DFO（ASA）

平行四边形的判定

（1）

学法解析

1．认知题后：

学习了三角形全等、平行四边形定义、性质以后学习本节课内容．

2．知识线索：

3．学习方式：

采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．

教学过程

一、回顾交流，逆向思索

教师提问：

1．平行四边形定义是什么？

如何表示？

2．平行四边形性质是什么？

如何概括？

学生活动：

思考后举手回答：

回答：

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：

帮助学生直观理解）

回答：

2．平行四边形性质从边考虑：

（1）对边平行，

（2）对边相等，（3）对边平行且相等（“

”）；从角考虑：

对角相等；从对角线考虑：

两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．

教师归纳：

（投影显示）

平行四边形

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．

学生活动：

分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：

（1）将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；

（2）若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形．（如下图）

教师活动：

归纳学生的发言，将问题引入到平行四边形判定方法上来．

教师归纳：

（借助上面的性质归纳）

平行四边形判定与性质：

备注：

具体内容见课本P96～P97，教师此时可引导学生对定理进行证明．

提出问题：

同学们能否证明出上面所提出的判定呢？

学生活动：

开始证明上面提出的判定方法．主要是通过辅助线将四边形切割成一对三角形，再证明这对三角形全等把问题归结到定义上去．

评析：

在教师的指导下，学生学会添加辅助线，并学会数学的化归思想，这是几何学的重要环节，应予以突破．

【设计意图】将两个“探究”应用操作感知的方法来发现，再应用数学化归思想，借助辅助线予以推理论证，达到解决重点，突破难点的目的．

二、范例点击，应用所学

例3（投影显示）

如图，

ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证四边形BFDE是平行四边形．

思路点拨：

例3的证明方法有多种，思路1：

用课本的证法，依据平行四边形的对角线性质为方向，用AE=CF，可得OE=OF，OB=OD，从而得证．思路2：

连接BE、DF，利用三角形全等来证明四边形BFDE的两组对边分别相等．思路3：

证明△ADE≌△BCF得到DE=BF，∠DEO=∠BFO．从而推出DE∥BF，也就是说用一组对边平行且相等的方法来证．但课本的证法最简单．

教师活动：

操作投影仪，分析例3，引导学生从不同的思路来证明例3．拓宽学生的思维，请部分学生上讲台演示．

学生活动：

分四人小组，合作交流，对例3提出不同的证明思路．踊跃上台“板演”．

【设计意图】以例3为素材，发展学生一题多证的发散性思维，同时将上面的三种平行四边形的判定方法进行应用、归纳，形成切入点，但要注意采用最优证法．

【课堂演练】（投影显示）

演练题：

在

ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？

证明你的结论．

思路点拨：

本道题有多种证法，如：

可以从一组对边平行且相等的角度切入去证AE

FC；也可以从两组对边分别相等的切入点予以证明，去证AE=FC，AF=EC．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，组织学生训练，巡视、关注“学困生”的思维，发现好的证明方法．

学生活动：

独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化．踊跃上台演示．

教师活动：

在学生充分思考的基础上，请几位不同证明方法的学生上讲台演示，同时纠正书写表达方法．

评析：

应用一组对边平行且相等的方法较为简捷，在分析中要善于将未知问题逆推转化成能够解决的熟悉问题．

【设计意图】让学生反复认识，学会分析．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P97“练习”1，2．

2．【探研时空】

如图，

ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F、G、H分别为AD、BC的中点，求证：

EF和GH互相平分．（请用两种不同的证法）．

评析：

课本P97“练习2”可以做为平行四边形的又一判定方法．

四、课堂总结，发展潜能

平行四边形判定：

1．边的关系：

2．角的关系：

证明两组对角分别相等．

3．对角线的关系：

证明两条对角线互相平分．

备注：

借助图形来理解，总结．

五、布置作业，专题突破

1．课本P100习题19．14，5，10，12

2．选用课时作业优化设计

六、课后反思

第三课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．在

ABCD中，若∠B-∠A=60°，则∠D=________．

2．平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形的各角是__________．

3．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线的长x的取值范围是________．

4．由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

5．以长为3cm、4cm、6cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出不同形状的平行四边形（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．已知：

如图

ABCD中，DM=BN，BE=DF，求证：

四边形MENF是平行四边形．

【提升“学力”】

7．已知：

如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形，求证：

四边形ADEF是平行四边形．

【聚焦“中考”】

8．（2004年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF．求证：

AB=2OF．

答案:

1．120°2．60°，120°，60°，120°3．10

6．提示：

证△BEN≌△DFM，∴EN=FM，再证：

△BFN≌△DEN

7．提示：

△CEF≌△CBA，∴EF=BA=AD，同理△BDE≌△BAC，DE=AC=AF，∴ADEF

8．连结BE，∵

ABCD，∴AB

CD，AO=OC，

∵CE=CD，∴AB

CE，∴AB

EC，

∴BF=FC，∴OF

AB，∴AB=2OF．

平行四边形的判定

（2）

学法解析

1．认知起点：

三角形、平行四边形有关知识．

2．知识线索：

3．学习方式：

采用“讲授法”教学，学生以观察、分析、探讨的方式学习．

教学过程

一、回顾交流，归纳提升

【课堂温习】

教师提问：

1．平行四边形的定义是什么？

2．平行四边形具有哪些性质？

3．平行四边形是如何判定的？

教师板书：

画出一个平行四边形，如下图．（帮助理解）

学生活动：

踊跃发言，相互讨论，归纳出平行四边形的性质与判定．

【课堂演练】（教师板书）

演练题：

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点．求证：

AF∥CE．（请你用两种方法证明）

思路点拨：

方法1：

证明△AOF≌△COE，推出∠AFE=∠CEF，从而得证AF∥CE．方法2：

连结AE，CF，去证明四边形AECF为平行四边形．

教师活动：

组织学生完成“演练题”，巡视、关注“学困生”，对于思路较好的学生，请他们完成后再上台演示．教师注意纠正他们的书写．

学生活动：

独立完成“演练题”，结合本道题，回顾和应用平行四边形性质，判定．

【师生共识】

构图:

【设计意图】采用先回顾（提问式）平行四边形性质、判定，再通过“演练题”进行实际应用，这样不空洞，且能调动积极性，有利于归纳、提升．

二、问题牵引，导入新知

例4如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC，且DE=

BC．

思路点拨：

对于证明某条线段是某条线段的一半，常用的几何方法是“加倍法”，“折半法”，通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去，然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决．本题可以延长DE到F，使EF=DE，通过连结AF、FC、CD把问题转化到

ADCF中去，再根据平行四边形性质证明

DBCF．

【活动方略】

教师活动：

板书例4，分析并引导学生积极参与．教会学生如何添加辅助线，如何书写辅助线的添加法，然后板书出例4的证明．

学生活动：

参与教师分析例4，学会“加倍法”的几何分析思路．

教师板书例4证法：

（见课本P98）

教师问题：

还有没有不同于课本的证法呢？

学生活动：

相互讨论，踊跃发言，想出不同的证法．上讲台演示．

参考证法：

证法：

延长DE到F使得EF=DE，连结FC，证△ADE≌△FEC，得到AD=FC（割补法），再利用BDCF证出DB

CF，从而得到DF=BC，推出DE=

BC，DE∥BC．

能用折半法吗？

试一试！

教师活动：

归纳学生的不同证法，然后应用例4的结论导入新知：

（口述后让学生翻开课本画一画）．

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

教师提问：

一个三角形有几条中位线？

中位线和三角形的中线一样吗？

学生回答：

有三条中位线，中位线是两边中点连线段；而中线是顶点和对边中