第二章 222平面与平面平行的判定.docx

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第二章222平面与平面平行的判定

2.2.2　平面与平面平行的判定

学习目标

　1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.

知识点　平面与平面平行的判定定理

　　表示

定理　　

图形

文字

符号

平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

⇒β∥α

特别提醒：

（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的.

（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行.

1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（　√　）

2.若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平面.（　√　）

3.若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行.（　×　）

题型一　平面与平面平行的证明

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：

平面PAB∥平面EFG.

证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，

∴EG∥PB，

又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴EG∥平面PAB，

∵E，F分别是PC，PD的中点，

∴EF∥CD，又∵AB∥CD，

∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面PAB.

反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.

跟踪训练1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.

求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

又B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面.

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G∥EB且A1G＝EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

题型二　线面平行、面面平行的综合证明

例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

证明　

（1）如图，连接SB.

∵点E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，

∴EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD.

∵点F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

反思感悟　解决线面平行与面面平行的综合问题的策略

（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.

（2）

所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.

跟踪训练2　（2018·河北衡水冀州中学高一（上）月考）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.

求证：

（1）MN∥平面CC1D1D；

（2）平面MNP∥平面CC1D1D.

证明　

（1）如图，连接AC，CD1.

因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点.

又M为AD1的中点，所以MN∥CD1.

因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，

所以MN∥平面CC1D1D.

（2）连接BC1，C1D，

因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点.

又N为BD的中点，所以PN∥C1D.

因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，

所以PN∥平面CC1D1D.

由

（1）知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面MNP，

所以平面MNP∥平面CC1D1D.

平面与平面平行中探索存在性问题

典例　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点.N为BC的中点.试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.

解　由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可.连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件.

[素养评析]　利用推理的基本形式和规则，发现问题，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养的重要体现.

1.下列命题中正确的是（　　）

A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

答案　B

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.

2.在正方体中，相互平行的面不会是（　　）

A.前后相对侧面

B.上下相对底面

C.左右相对侧面

D.相邻的侧面

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　D

解析　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.

3.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是（　　）

（1）α内存在不共线的三点到β的距离相等；

（2）l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；

（3）l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.

A.

（1）

（2）B.

（1）（3）

C.（3）D.

（1）

（2）（3）

答案　C

解析　平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故

（1）不正确；当l与m平行时，不能推出α∥β，故

（2）不确定；l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故（3）正确.故选C.

4.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（　　）

A.平面α内有一条直线与平面β平行

B.平面α内有两条直线与平面β平行

C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D.平面α与平面β不相交

答案　D

解析　选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种，故选D.

5.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　平行

解析　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.

同理可证EF∥平面ABC.

又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.

证明面面平行的方法

（1）面面平行的定义.

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

一、选择题

1.下列四个说法中正确的是（　　）

A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β

B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β

C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β

D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　C

解析　由面面平行的判定定理知C正确.

2.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（　　）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不对

答案　C

解析　根据图1和图2可知α与β平行或相交.

3.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是（　　）

A.平行B.相交

C.异面D.不确定

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　A

解析　∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，

BE1⊂平面BCF1E1，

∴A1E∥平面BCF1E1.

同理，A1D1∥平面BCF1E1.

又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

4.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（　　）

A.1对B.2对C.3对D.4对

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　D

解析　由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，

∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.

5.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（　　）

A.平面BME∥平面ACN

B.AF∥CN

C.BM∥平面EFD

D.BE与AN相交

答案　A

6.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）

A.1个或2个B.0个或1个

C.1个D.0个

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　B

解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.

②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.

7.已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是（　　）

A.0B.2

C.4D.6

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　D

解析　连接EG，EH，EF，FG，GH，FH.

∵EH∥FG且EH＝FG，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴E，F，G，H四点共面.

由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH⊂平面EFGH，AB′，AD′⊂平面AB′D′，

可得平面EFGH∥平面AB′D′.

故平面EFGH内的每条直线都符合条件.

故选D.

8.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②BC∥平面PAD；

③AB∥平面PCD；

④平面PAD∥平面PAB.

其中正确的有（　　）

A.①③B.①④C.①②③D.②③

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　C

解析　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.

∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD.

同理BC∥平面PAD.

二、填空题

9.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　相交或平行

解析　b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行.

10.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________.（填“平行”或“相交”）

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　平行

解析　若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.

11.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　①②③④

解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图：

则易判定四个命题都是正确的.

三、解答题

12.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.

求证：

平面PAB∥平面EFG.

证明　∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，∴EF∥AB.

又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

同理可证EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，

∴平面PAB∥平面EFG.

13.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：

平面AFH∥平面PCE.

证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点，

所以FH∥PC，

又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，

所以FH∥平面PCE.

又AE∥CF且AE＝CF，

所以四边形AECF为平行四边形，

所以AF∥CE，

又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，

所以AF∥平面PCE.

由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，

所以平面AFH∥平面PCE.

14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　M在线段FH上

解析　连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，

HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，

∴平面FHN∥平面B1BDD1.

∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，

∴M∈FH.

15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？

若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的证明

解　如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝

C1C，则平面EMN为符合要求的平面.

证明如下：

设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.

因为C1N＝

C1C，所以C1N＝

C1H.

又点E为B1C1的中点，所以EN∥B1H.

又CF∥B1H，所以EN∥CF.

又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，

所以EN∥平面A1FC.

同理MN∥D1H，D1H∥A1F，

所以MN∥A1F，又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，

所以MN∥平面A1FC.

又EN∩MN＝N，EN，MN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面A1FC.