学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系223.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系223

2.2.3　直线与平面平行的性质

学习目标

　1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．

知识点　直线与平面平行的性质

思考1　如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？

为什么？

答案　不一定，因为还可能是异面直线．

思考2　如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？

直线a，b有什么位置关系？

答案　无数个．a∥b.

梳理　线面平行的性质

文字语言

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

符号语言

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

类型一　线面平行的性质定理的应用

例1　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：

截面MNPQ是平行四边形．

证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.

同理AB∥PQ，

所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.

所以截面MNPQ是平行四边形．

引申探究

1．若本例条件不变，求证：

＝

.

证明　由例1知：

PQ∥AB，∴

＝

.

又QM∥DC，∴

＝

，∴

＝

.

2．若本例中添加条件：

AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．

解　由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，

∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．

又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，

∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.

反思与感悟　

（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤

（2）运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．

跟踪训练1　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．

答案　

解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，

∴EF＝

AC＝

×2

＝

.

类型二　线面平行性质定理与判定定理的综合应用

例2　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.

（1）求证：

l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

证明　

（1）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.

解　

（2）平行．证明如下：

如图，取PD的中点E，连接AE，NE，

可以证得NE∥AM且NE＝AM，

所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.

又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

所以MN∥平面PAD.

反思与感悟　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：

线线平行

线面平行

线线平行．

跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：

GH∥平面PAD.

证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴PA∥MO，

而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴PA∥平面BMD，

又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.

又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，

∴GH∥平面PAD.

1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）

A．平行B．平行或异面

C．平行或相交D．异面或相交

答案　B

解析　∵

⇒CD∥α，

∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）

A．0条B．1条

C．0条或1条D．无数条

答案　C

解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．

3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

答案　A

解析　由长方体性质知：

EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.

又∵EF∥AB，∴GH∥AB.

4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.

答案　

解析　由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.

因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.

所以

＝

.

所以EF＝

＝

＝

.

5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

解　直线l∥平面PAC.

证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，

所以l∥平面PAC.

1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

课时作业

一、选择题

1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则（　　）

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

答案　B

解析　因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在α内

答案　C

解析　由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.

3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（　　）

A．都平行

B．都相交但不一定交于同一点

C．都相交且一定交于同一点

D．都平行或都交于同一点

答案　D

解析　分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．

4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）

A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

答案　B

5．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（　　）

A．1B.

C.

D.

答案　C

解析　如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，

平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，

PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，

∴PQ＝

AB1＝

＝

.

6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（　　）

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

答案　D

解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.

7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（　　）

A．2＋

B．3＋

C．3＋2

D．2＋2

答案　C

解析　∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，

∴CD∥平面SAB.

又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，

又CD∥AB，∴AB∥EF.

∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，

∴EF＝

AB＝1，

又DE＝CF＝

，

∴四边形DEFC的周长为3＋2

.

二、填空题

8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

答案　

a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝

，

故PQ＝

＝

DP＝

.

9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______.

答案　m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH，

∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF＝HG＝m·

，

同理EH＝FG＝n·

.

∵四边形EFGH是菱形，

∴m·

＝n·

，

∴AE∶EB＝m∶n.

10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．

答案　平行四边形

解析　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．

11．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．

答案　4

＋6

解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4

＋6

.

三、解答题

12.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

解　如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以

＝

.

在菱形ABCD中，

因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以

＝

.

又AO1＝CO1，所以

＝

＝

，

故PM∶MA＝1∶3.

13．如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．

解　点D为AA′的中点．证明如下：

取BC的中点F，连接AF，EF，如图．

设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.

因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.

在平行四边形A′EFA中，

因为O是EF的中点（因为EC′∥BF，且EC′＝BF），

所以点D为AA′的中点．

四、探究与拓展

14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

答案　C

解析　由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.

15．如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝

AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②所示．

求证：

在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.

证明　在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.

∵AB∥CD，∴EF∥AB.

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

同理EG∥平面PAB.

又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.

∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.