[探究共研型]
图象变换及其应用
探究1 在同一坐标系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．
【提示】
结论：
y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；
y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；
y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；
y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．
探究2 在同一坐标系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝
x－1的图象，它们有公共点吗？
坐标是什么？
能否由此得出结论y＝ax－1均过该点．在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝
x＋1－1的图象，它们有公共点吗？
坐标是什么，能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？
由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n（m，n>0）的图象经过的定点是什么？
【提示】
结论：
y＝2x－1，y＝3x－1，y＝
x－1都过定点（0,0），且y＝ax－1也总过定点（0,0）．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝
x＋1－1都过定点（－1,0），且y＝ax＋1－1也总过定点（－1,0）．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点（－m,1＋n）．
探究3 除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点．
【提示】 还可以整体代换．
将y＝4a2x－4＋3变形为
＝a2x－4.
令
⇒
即y＝4a2x－4＋3过定点（2,7）．
（1）函数y＝3－x的图象是________．（填序号）
（2）已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
（3）函数f（x）＝2ax＋1－3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点________．
【精彩点拨】 题
（1）中可将y＝3－x转化为y＝
x.
题
（2）中，函数y＝ax＋b的图象过点（0,1＋b），
因为b＜－1，所以点（0,1＋b）在y轴负半轴上．
题（3）应该根据指数函数经过定点求解．
【自主解答】
（1）y＝3－x＝
x为单调递减的指数函数，其图象为②.
（2）函数y＝ax（0＜a＜1）在R上单调递减，图象过定点（0,1），所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点（0,1＋b）．因为b＜－1，所以点（0,1＋b）在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．
（3）令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点（－1，－1）．
【答案】
（1）②
（2）一 （3）（－1，－1）
1．处理函数图象问题的策略
（1）抓住特殊点：
指数函数的图象过定点（0,1）．
（2）巧用图象变换：
函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）．
（3）利用函数的性质：
奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
[再练一题]
4．函数y＝f（x）＝ax＋2－
（a>1）的图象必过定点________，其图象必不过第________象限.
【解析】 y＝ax（a>1）在R上单调递增，必过（0,1）点，
故求f（x）所过的定点时可以令
⇒
即定点坐标为
.结合图象（略）可知，f（x）的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．
【答案】
四
1．下列所给函数中为指数函数的是________．（填序号）
①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝（－4）x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝（2a－1）x
.
【解析】 形如y＝ax（a>0且a≠1）的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．
【答案】 ①⑦
2．已知指数函数f（x）的图象过点（4,81），则f（6）的值为________．
【解析】 设f（x）＝ax，则a4＝81，∴a＝3，∴f（6）＝36＝729.
【答案】 729
3．指数函数y＝（2－a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.
【解析】 由题意可知，0<2－a<1，
即1【答案】 （1,2）
4．函数y＝ax－5＋1（a≠0）的图象必经过点________．
【解析】 指数函数的图象必过点（0,1），即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点（5,2）．
【答案】 （5,2）
5．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？
根据图象指出其值域和单调区间．
【解】 当x≥0时y＝2|x|＝2x；
当x＜0时y＝2|x|＝
x.
∴函数y＝2|x|的图象如图所示，
由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，值域是[1，＋∞），单调递减区间是（－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞）．
升级会员 