化学工程与工艺专业制图点线面投影.docx
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化学工程与工艺专业制图点线面投影
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爱人，是用来疼爱的，而不是用来伤害的。
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谎言，是用来击破的，而不是用来装饰的。
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3.点直线.3.点.直线.平面的投影
教学目标3.1点的投影3.2直线的投影3.3平面的投影
返回
3·1点的投影
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素直线、
A
点线面D
BC
3.1.1点的三面投影3.1.1点的三面投影点的三面投影点的三面投影过空间点A的投射线过空间点的投射线与投影面P的交点即为点的交点即为点A与投影面的交点即为点面上的投影。
在P面上的投影。
面上的投影PP
A
a′
B
B1B2
b′
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
不能确定点的空间位置。
解决办法
采用多面投影。
采用多面投影。
3.1.1点的三面的投影点的三面的投影
投影面与投影轴
ZV
V面与面的交线面与H面的交线面与面的交线—OX轴轴H面与面的交线面与W面的交线面与面的交线—OY轴轴V面与面的交线面与W面的交线面与面的交线—OZ轴轴
XO
Y
3.1.1点的三面投影点的三面投影空间点的位置和直角坐标空间点的位置，可由空间点的位置，直角坐标值来确定，直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：
A（x,y,z）。
形式：
A（x,y,z）。
点到各投影面的距离，距离，为相应的坐标数值X数值X，Y，Z。
空间点AΑ—空间点A；空间点的水平（H）投影a—点A的水平投影点的水平投影;的正面（V）投影a′—点A的正面投影点的正面投影;的侧面（W）投影。
投影。
a″—点A的侧面点的侧面投影
V面不动
Va′AXaXaZ
投影面展开
Z
V
a′′axa
az
O
a″
W
aZ
W
X
YW
a″O
H
ay
ay
YH
H
aY
Y
H面向下旋转90°面向下旋转90°
W面向右旋转90°面向右旋转90°
点的三面投影规律:
点的三面投影规律三面投影规律
ZVa′AXa
X
a'
XA
aZ
Z
YA
a''
a″
ZAXA
aXX
ZA
aZ
W
O
aYW
YW
H
a
aY
a
Y
YA
O
aYHYH
Aa″=aay=a′az=ax0=xA——A点到面的距离a′A点到W面的距离Aa′=aax=a″az=ay0=yA——A点到面的距离″A点到V面的距离=a′Aa=′ax=a″ay=az0=zA——A点到面的距离″A点到H面的距离
a′a⊥OX轴;a′a″⊥OZ轴;′⊥轴′″轴
a到OX轴的距离a″到OZ轴的距离到轴的距离=″轴
已知A点的坐标值例1:
已知点的坐标值已知点的坐标值A（12，10，15），求作点的，，，求作A点的三面投影图。
三面投影图。
Z步骤:
步骤:
a'a''aZ
作投影轴；作投影轴；量取：
量取：
aX=12、=15、Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,X得ax、az、OaYH、OaYW等点；过ax、az、aYH、aYW等点分别作a所在轴的垂线，交点a所在轴的垂线，交点a、a′、a″既为所求。
既为所求。
12
aYWOaYHYHYW
例2：
已知点的两个投影，求第三投影。
：
已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
解法一
a′●′axaz
●
a″″
通过作45°线使″通过作°线使a″az=aax
a●解法二:
解法二用圆规直接量取a″用圆规直接量取″az=aax
a′●′axaz
●
a″″
a●
3.1.2点的空间位置3.1.2点的空间位置点在投影体系中有四种位置情况：
四种位置情况：
在空间（1.在空间（X，Y，Z）
XVa′AaXHa
ZaZa″OaY
W
a＇Xa
Z
a＇＇YW
Y
OYH
由于X由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三一定距离，个投影都不在轴上。
个投影都不在轴上。
3.1.2点的空间位置3.1.2点的空间位置在投影面上：
2.在投影面上：
在H面上（X，Y，0）面上（面上（在V面上（X，0，Z）面上（在W面上（0，Y，Z）
ZXb＇bOYH＇b＇
XV
ZC″d′DWd″Ob″dY
CC′
b′CBHb
c＇
YWX
c＇＇OYHYWX
Zd＇OdYH
d＇＇YW
c
由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。
所以，由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。
所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
3.1.3点的相对位置3.1.3点的相对位置3.1.3两点的相对位置3.1.3两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系位置关系。
上下、前后、左右位置关系。
判断方法：
判断方法：
x坐标大的在左；坐标大的在左；y坐标大的在前；坐标大的在前；z坐标大的在上。
坐标大的在上。
b'a'
V
上后a'
b左'ZAa''右WO
X
Ba
下
前''b
Y
Hb
Z
a''b''
B点在点的点在A点点在前方。
左、下、前方。
Xab
O
YW
YH
两点重影
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点，以示区别。
以示区别。
处于同一投射线上，处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影a''a'重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
V
a'b'AB
Ha（b）
ZWa''Ob''Y
a（b）YHb'XOb''YW
X
H面重影，被挡面重影，面重影住的投影加（住的投影加）
3.2直线的投影
3.2.1各种位置直线的投影特征各种位置直线的投影特征两点确定一条直线，两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，面投影用直线连接，就得到直线的投影。
投影。
●
Zb'a'b''a''YWba
A●YHM●B●
●
X
O
BA●
●
B
A●a●
α
●
ba●
●
b
a≡b≡m
直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab＜ABcosα类似性＜
直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB真实性
直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0积聚性
直线中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性正平线（平行于Ｖ正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ投影面平行线侧平线（平行于Ｗ面）平行于某一投影面而水平线（平行于Ｈ水平线（平行于Ｈ面）统称特殊位置直线正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ侧垂线（垂直于Ｗ侧垂线（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面铅垂线（垂直于Ｈ铅垂线（垂直于Ｈ面）与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
（1）一般位置直线
Z
Zb'b''a''YWb
Va'X
b'
βα
B
γ
b''
W
X
a'O
AHa
Ob
a''
a
Y
YH
投影特性：
投影特性：
三个投影都缩短了。
三个投影都缩短了。
即:
都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
（2）投影面平行线
a′b′Oab
Z
a″b″
X
YW
投影特性：
投影特性：
水平线的投影特征：
水平线的投影特征：
YH
1.水平线的面投影反映线段实长。
即：
ab=AB;水平线的H面投影反映线段实长面投影反映线段实长。
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
2.水平线的、W面投影分别平行于面的两根轴。
水平线的V、面投影分别平行于面的两根轴。
面投影分别平行于H面的两根轴轴即a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴；3.水平线的面投影与水平线的H面投影与轴夹角反映该直线对面的倾角；与面投影与OX轴夹角反映该直线对面的倾角β；轴夹角反映该直线对V面的倾角OYH轴的夹角，反映该直线对面的倾角。
轴的夹角，反映该直线对W面的倾角面的倾角γ。
投影面平行线
水平线
a′′ab′′
实长a′′a″b″″″γαb′′
b
正平线
a″″b″″a′′b′′a
侧平线
a″实长″
β
α
b″″
β
实长
γ
b
a
b
与H面的夹角面的夹角:
α与V面的角面的角:
β面的夹角面的角
与W面的夹角面的夹角:
γ面的夹角
投影特性：
1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴
（3）投影面垂直线（3）投影面垂直线
a′b′Xa（b）O
Z
a″b″
YW
投影特性：
投影特性：
铅垂线投影特征:
铅垂线投影特征
YH
1.H面投影积聚成一点；，可得出类似的投影特征。
面投影积聚成一点；面投影积聚成一点对正垂线和侧垂线作分析，对正垂线和侧垂线作分析可得出类似的投影特征。
2.V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影反映实长，、面投影反映实长；、面投影，分别垂直于H面的两面根轴面的两面根轴，面投影，分别垂直于面的两面根轴，即：
a′b′⊥ox轴a″b″⊥oz轴。
⊥轴轴
投影面垂直线a′′b′′
●
铅垂线
a″″b″″
积聚为点
正垂线
c′（d′）′′
●
侧垂线
e′′f′′e″（f″）″″
●
d″c″″″
dcef
积聚为点
a（b）
积聚为点
投影特性:
投影特性:
1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
在其垂直的投影面上，投影有积聚性在其垂直的投影面上2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。
另外两个投影面上，投影反映线段实长。
另外两个投影面上且垂直于相应的投影轴。
且垂直于相应的投影轴。
例1：
判断下列直线的空间位置：
a'b'a'
C′
b'd′aC
dd
b
b
d
d
a
AB为水平线AB为水平线
CD为侧平线CD为侧平线
3.2.2直线与点的相对位置直线与点的相对位置3.2.2直线与点的相对位置直线与点的相对位置
判别方法：
判别方法：
若点在直线上,则点的投影必在若点在直线上直线的同面投影上。
即具有从属性从属性。
直线的同面投影上。
即具有从属性。
Vc′′′e′b′
BCAD
a′′若点在直线上，若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。
面投影分割成与空间直线相同的比例。
即具有定比性定比性：
即具有定比性：
AC/CB=a`c`/c`b`=ac/cb?
?
若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。
投影上，则该点必不在此直线上。
a
c
e
bH
C点点
在
直线AB上直线上
D点不在直线上点直线AB上
是否在线段AB上例2：
判断点是否在线段上。
：
判断点K是否在线段
a′′k′●′b′′ak●ba″″
●
k″″
b″″
因k″不在″b″上，″不在a″″故点K不在上。
故点不在AB上不在
另一判断法是
应用定比定理
因a′k′:
k′b′≠ak:
kb′′′故点K不在不在AB上故点不在上。
3.2.3两直线的相对位置两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉。
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉。
⒈两直线平行
b′a′c′Obacdd′
X
投影特性：
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。
必相互平行，反之亦然。
例1：
判断图中两条直线是否平行。
：
判断图中两条直线是否平行。
①
a′′
X
b′′c′′cb
d′′
a
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，投影互相平行，空间两直线就平行。
两直线就平行。
d
结论：
结论：
AB//CD
例2：
判断图中两条直线是否平行。
：
判断图中两条直线是否平行。
②
c′′a′′d′′cbdab′′b″″c″″a″″d″″
对于投影面平行线，对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。
空间直线不一定平行。
若用两个投影判断，两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
反映实长的投影。
如何判断
求出侧面投影
结论:
AB与CD不平行结论:
AB与CD不平行:
AB
2.两直线相交2.两直线相交
Va′′XAacc′′b′′d′′KDdka′′
交点是两直线的共有点c′′b′′k′′d′′
k′′C
B
bH
ack
db
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必相判别方法：
若空间两直线相交，交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
相交。
例3：
过C点作水平线与AB相交。
：
点作水平线CD与相交
b′′c′●′a′′k′′d′′
ack●
db
先作正面投影
3.两直线交叉两直线交叉
a′′c99c
●
AB与CD两直线相交吗与两直线相交吗
d′′
●
1′（2′）3′′′′4′′
●
●
投影特性：
投影特性：
b′′
2
●
bd
a
13（4）
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，面的重影点，面的重影点。
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
面的重影点
同名投影可能相交，同名投影可能相交，交点”但“交点”不符合空间一个点的投影规律。
一个点的投影规律。
“交点”是两直线上交点”交点重影点的投影，的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。
的空间位置。
结论：
与两直线不相交结论：
AB与CD两直线不相交
两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。
上的投影仍为直角。
证明：
证明：
B设直角边BC//H面设直角边面C同时BC⊥因BC⊥AB,同时⊥Bb⊥A所以BC⊥所以⊥ABba平面平面b又因BC∥bc又因∥ac故bc⊥ABba平面平面Hb′′因此bc⊥ab⊥c′′a′′即∠abc为直角为直角
.
bc
a
结论:
直线在面上结论直线在H面上直线在的投影互相垂直
点作直线与AB垂直相交例4：
过C点作直线与垂直相交。
：
点作直线与垂直相交。
a′′
.
d′′b′′
c′′c
●
AB为正平线正面为正平线,为正平线投影反映直角。
投影反映直角。
●
a
d
b
3.3.1平面的表示法平面的表示法3.3平面的投影平面的投影
●
s′′a′′●
●
s′′
3.3.1平面的表示法平面的表示法
●
●
a′′●
●
a′′●
●
c′′
●
s′′a′′●
●
s′′
d′′
a′′●
●
b′′
●
s′′a′′●
b′′
●
s′′a′′●
●
b′′c′′●
●●
b′′
●
●
s′′a′′●
b′′
●
s′′
a′′●
●
d′a′′′●
●
b′′
●
●
b′′
●
b′′a●
●
b′′
●
●
b′′
●
a●
●
s
a●
●
s
a●
c
●
●
s
a●
●
s
不在同一直线上的三个点
b
b
b
d
●
b
b
直线及线外一点
两平行直线
两相交直线
平面图形
3.3.2各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3.3.2各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性
平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜实形性积聚性类似性
投影特性
平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面平行投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面垂直投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面平面倾斜投影面
平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面
投影面垂直面特殊位置平面
正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面
平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面
投影面平行面一般位置平面
与三个投影面都倾斜
投影面垂直面
Za′XabcYHb′a″c′c″Ob″YW
1.H面投影积聚成一直线；
2.、反映平面对V、W面的倾角。
⒈投影面垂直面类似性
ABC为什么为什么位置的平面a′′
b′′c′c″′″
β
b″″a″″
类似性
铅垂面
为什么？
为什么？
a
γ
c
b
投影特性：
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。
该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
另外两个投影面上的投影有类似性。
积聚性
投影面平行面
ZV
b'
c'C
a'Aa"c"OBcab"W
H
bY
2.投影面平行面2.投影面平行面
a′′b′′c′a″c″′″″b″″
积聚性
a
积聚性
实形性
b
c
结论：
水平面结论：
投影特性：
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
的投影轴平行的直线。
一般位置平面
Z
V
b'
a'c'A
X
Bb"Cca"c"bY
a
H
⒊一般位置平面
b′′c′′a′′baca″″b″″c″″
投影特性：
投影特性：
三个投影都类似。
三个投影都类似。
4.3.3平面上的直线和点4.3.3平面上的直线和点3.3.3平面上的直线和点平面上的直线和点
平面上取任意直线
判断直线在平面内的方法定理一若一直线过平面上的两点，上的两点，则此直线必在该平面内。
定理二若一直线过平面上的一点，一点，且平行于该平面上的另一直线，面上的另一直线，则此直线在该平面内。
此直线在该平面内。
所确定，例1：
已知平面由直线、AC所确定，试：
已知平面由直线AB、所确定在平面内任作一条直线。
在平面内任作一条直线。
根据定理一根据定理二
解法一：
解法一：
m′′a′′ma
b′′n′c′′′
解法二：
解法二：
a′′
b′′c′′
d′′
banc
bdc
有多少解有无数解。
有无数解。
内作一条水平线，例2：
在平面：
在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线H面的距离为面的距离为10mm。
。
a′′m′′10b′′bmann′′
有多少解
c′′
唯一解！
唯一解！
c
平面上取点
面上取点的方法：
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
点在平面ABC上，求K点的水平投影。
点的水平投影。
例1：
已知点在平面：
已知K点在平面上点的水平投影
①k′●′a′′akb
●
b′′c′′
②
b′′d′′k′′●
aΧΧba
●
c′′
k
d
c利用平面的积聚性求解
c通过在面内作辅助线求解
为正平线，例3：
已知为正平线，补全平行四边形：
已知AC为正平线ABCD
升级会员 