高三数学当堂训练直线平面垂直的判定及其性质.docx
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高三数学当堂训练直线平面垂直的判定及其性质
高三数学当堂训练 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故选A.
答案：
A
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中直角三角形的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
解析：
由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．
答案：
A
3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥mB．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：
如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立．故选D.
答案：
D
4．（优质试题·贵阳市监测考试）如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（ ）
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
解析：
A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC.故选B.
答案：
B
5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
解析：
由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
答案：
B
6．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（ ）
A.
B．1
C.
D．2
解析：
设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝
，
矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝
，
tan∠A1AB1＝
＝
.
又∠FDB1＝∠A1AB1，所以
＝
.
故B1F＝
×
＝
.故选A.
答案：
A
二、填空题
7．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有______.
解析：
∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，
又∵AP⊂平面PAC，
∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
答案：
AB，BC，AC AB
8．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）．
解析：
连接AC，BD交于O，因为底面各边相等，所以BD⊥AC；又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：
DM⊥PC（或BM⊥PC）
9．（优质试题·泉州模拟）点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：
①三棱锥AD1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
解析：
连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥PAD1C的体积不变．
又因为VPAD1C＝VAD1PC，所以①正确．
因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．
由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1，故③不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：
①②④
三、解答题
10．（优质试题·河南省八市重点高中质量检测）如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.求证：
（1）FG∥平面AED；
（2）平面DAF⊥平面BAF.
证明：
（1）因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，所以EF∥DG，EF＝DG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以FG∥ED.又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，所以FG∥平面AED.
（2）因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面BAF，又AD⊂平面DAF，所以平面DAF⊥平面BAF.
11．如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.
（1）求证：
AC⊥FB；
（2）求几何体EFABCD的体积．
解：
（1）证明：
由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.
∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC，
∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC.
又∵四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，
∴AC＝2
，BC＝2
，则有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB.
（2）连接EC，过B作CD的垂线，垂足为N，易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.∵VEFABCD＝VEABCD＋VBEFC＝
S梯形ABCD·DE＋
S△EFC·BN＝
，∴几何体EFABCD的体积为
.
1．如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，则下列命题中错误的是（ ）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
解析：
设AC∩BD＝O，因为ABCD是正方形，所以O是AC中点，因为过BD且与PC平行的平面交PA于M点，所以OM∥PC，所以M是PA中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN，因为PA与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B错误；因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，所以PA＝AC，PD＝DC，所以过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确；因为AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，所以l∥AD∥BC，故D正确．故选B.
答案：
B
2．四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E.
其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序号）
解析：
①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②若EF⊥平面ABD′，则平面AD′C⊥平面ABD′，显然不成立，故不正确；③若D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确．
答案：
①③
3．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.
（1）求证：
BE1⊥DC；
（2）求证：
DM∥平面BCE1；
（3）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．
解：
（1）证明：
因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1⊂平面ABE1F1，所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.
（2）证明：
因为四边形ABE1F1为矩形，所以AM∥BE1.因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，所以平面ADM∥平面BCE1，因为DM⊂平面ADM，所以DM∥平面BCE1.
（3）直线CD与ME1相交，理由如下：
取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，所以PQ∥BE1，且PQ＝
BE1.在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，所以AM∥BE1，且AM＝
BE1，所以PQ∥AM，且PQ＝AM.所以四边形APQM为平行四边形，所以MQ∥AP，MQ＝AP.因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，所以AD∥PC，AD＝PC，所以四边形ADCP为平行四边形．所以CD∥AP，且CD＝AP.所以CD∥MQ，且CD＝MQ.所以四边形CDMQ是平行四边形．所以DM∥CQ，即DM∥CE1.因为DM≠CE1，所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，所以直线CD与ME1相交．
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