1、高三数学当堂训练 直线平面垂直的判定及其性质高三数学当堂训练 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1设,为两个不同的平面,直线l,则“l”是“”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:依题意,由l,l可以推出;反过来,由,l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件故选A.答案:A2如图,在RtABC中,ABC90,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,则四面体PABC中直角三角形的个数为()A4 B3C2 D1解析:由PA平面ABC可得PAC,PAB是直角三角形,且PABC.又ABC90,所以ABC是直角三角形,且BC平面PAB,所以B
2、CPB,即PBC为直角三角形,故四面体PABC中共有4个直角三角形答案:A3已知平面平面,l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC解析:如图所示,ABlm;ACl,mlACm;ABlAB,只有D不一定成立故选D.答案:D4(优质试题贵阳市监测考试)如图,在三棱锥PABC中,不能证明APBC的条件是()AAPPB,APPCBAPPB,BCPBC平面BPC平面APC,BCPCDAP平面PBC解析:A中,因为APPB,APPC,PBPCP,所以AP平面PBC,又BC平面PBC,所以APBC,故A能证明APBC;C中,
3、因为平面BPC平面APC,BCPC,所以BC平面APC,AP平面APC,所以APBC,故C能证明APBC;由A知D能证明APBC;B中条件不能判断出APBC.故选B.答案:B5如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥DABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是()A B C D解析:由题意知,BD平面ADC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以ABACBC,BAC是等边三角形,正确;易知DADBDC,又由知正确;由知错故选B
4、.答案:B6如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,ACBC1,ACB90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为()A. B1C. D2解析:设B1Fx,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1,矩形ABB1A1中,tanFDB1,tanA1AB1.又FDB1A1AB1,所以.故B1F.故选A.答案:A二、填空题7如图,已知BAC90,PC平面ABC,则在ABC,PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_;与AP垂直的直线有_.解析:PC平面ABC,PC垂直于直线AB,BC,AC
5、.ABAC,ABPC,ACPCC,AB平面PAC,又AP平面PAC,ABAP,与AP垂直的直线是AB.答案:AB,BC,ACAB8如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BDAC;又PA底面ABCD,所以PABD,又PAACA,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)9(优质试题泉州模拟)点P在正方体ABC
6、DA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:三棱锥AD1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_解析:连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1BC1,所以BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥PAD1C的体积不变又因为VPAD1CVAD1PC,所以正确因为平面A1C1B平面AD1C,A1P平面A1C1B,所以A1P平面ACD1,正确由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故不正确;由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1D1,所以DB1平面AD1C.D
7、B1平面PDB1,所以平面PDB1平面ACD1,正确答案:三、解答题10(优质试题河南省八市重点高中质量检测)如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EFAB,使AB2EF,且平面ABFE平面ABCD,若点G在CD上且满足DGGC.求证:(1)FG平面AED;(2)平面DAF平面BAF.证明:(1)因为DGGC,ABCD2EF,ABEFCD,所以EFDG,EFDG.所以四边形DEFG为平行四边形,所以FGED.又因为FG平面AED,ED平面AED,所以FG平面AED.(2)因为平面ABFE平面ABCD,平面ABFE平面ABCDAB,ADAB,AD平面ABCD,所以AD平面BAF,又AD平
8、面DAF,所以平面DAF平面BAF.11如图,几何体EFABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,ABCD,ADDC,AD2,AB4,ADF90.(1)求证:ACFB;(2)求几何体EFABCD的体积解:(1)证明:由题意得,ADDC,ADDF,且DCDFD,AD平面CDEF,ADFC.四边形CDEF为正方形,DCFC,DCADD,FC平面ABCD,FCAC.又四边形ABCD为直角梯形,ABCD,ADDC,AD2,AB4,AC2,BC2,则有AC2BC2AB2,ACBC,又BCFCC,AC平面FCB,ACFB.(2)连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N,易知BN平面CDEF,
9、且BN2.VEFABCDVEABCDVBEFCS梯形ABCDDESEFCBN,几何体EFABCD的体积为.1如图,已知四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD且PDAD,则下列命题中错误的是()A过BD且与PC平行的平面交PA于M点,则M为PA的中点B过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N为PB的中点C过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点D过P,B,C的平面与平面PAD的交线为直线l,则lAD解析:设ACBDO,因为ABCD是正方形,所以O是AC中点,因为过BD且与PC平行的平面交PA于M点,所以OMPC,所以M是PA中点,故A正确;设N为PB的中点,连接AN,因为PA与
10、AB不一定相等,所以AN与PB不一定垂直,所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N不一定是PB中点,故B错误;因为四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD且PDAD,所以PAAC,PDDC,所以过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点,故C正确;因为ADBC,平面PAD与平面PCB有公共点P,所以lADBC,故D正确故选B.答案:B2四边形ABCD是矩形,AB4,AD3,沿AC将ADC折起到ADC,使平面ADC平面ABC,F是AD的中点,E是AC上的一点,给出下列结论:存在点E,使得EF平面BCD;存在点E,使得EF平面ABD;存在点E,使得DE平面ABC;存在点E,使得A
11、C平面BDE.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析:存在AC中点E,则EFCD,利用线面平行的判定定理可得EF平面BCD,正确;若EF平面ABD,则平面ADC平面ABD,显然不成立,故不正确;若DEAC,利用面面垂直的性质,可得DE平面ABC,正确;因为四边形ABCD是矩形,AB4,AD3,所以B,D在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC平面BDE,故不正确答案:3如图1,在梯形ABCD中,ADBC,ADDC,BC2AD,四边形ABEF是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.(1)求证:B
12、E1DC;(2)求证:DM平面BCE1;(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由解:(1)证明:因为四边形ABE1F1为矩形,所以BE1AB.因为平面ABCD平面ABE1F1,且平面ABCD平面ABE1F1AB,BE1平面ABE1F1,所以BE1平面ABCD.因为DC平面ABCD,所以BE1DC.(2)证明:因为四边形ABE1F1为矩形,所以AMBE1.因为ADBC,ADAMA,BCBE1B,所以平面ADM平面BCE1,因为DM平面ADM,所以DM平面BCE1.(3)直线CD与ME1相交,理由如下:取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,所以PQBE1,且PQBE1.在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,所以AMBE1,且AMBE1,所以PQAM,且PQAM.所以四边形APQM为平行四边形,所以MQAP,MQAP.因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,ADBC,ADDC,BC2AD,所以ADPC,ADPC,所以四边形ADCP为平行四边形所以CDAP,且CDAP.所以CDMQ,且CDMQ.所以四边形CDMQ是平行四边形所以DMCQ,即DMCE1.因为DMCE1,所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,所以直线CD与ME1相交
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