C易拉罐.docx
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C易拉罐
§1 问题的重述
在现在的饮料市场，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
这是不是偶然呢？
显然，这不是一个偶然的，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
2． 现在就让我们一起来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，我们应该完成以下的任务：
取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
3． 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？
其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
4． 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
图一
什么是它的最优设计？
其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
5． 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
6． 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
§2相关数据测量
我们取一个饮料量为355毫升的可口可乐易拉罐，测量它的部分数据如下：
（单位：
cm）
圆柱的半径
圆台上表面半径
罐的总高度
圆柱的高度
顶盖的厚度
侧壁的厚度
下底的厚度
3.305
2.885
12.310
10.210
0.028
0.011
0.021
根据上表数据，我们可以得到：
?
/P>
所以可以求得：
§3 问题的分析与假设
（一）、问题2中，假设易拉罐是一个正圆柱体，我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使柱体表面积最小即可；进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。
（二）、问题3中，假设易拉罐由圆台与圆柱组成，其中心纵断面如图一所示。
我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可；进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖与底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。
（三）、问题4中，假设易拉罐由上部的圆台、中部的圆柱和底部上凹球冠构成。
其中心纵断面如图五所示。
欲使材料最省，需使所用材料最少。
§4 符号的说明
R………………圆柱形部分的内部半径
r………………圆台的上表面的内部半径
……………易拉罐底部球冠所在球的半径
h………………圆台的高度
……………易拉罐底部球冠的高度
H………………易拉罐上表面到下表面总的内部高度
a………………顶盖的厚度
b………………侧壁的厚度
c………………下底的厚度
S………………易拉罐的总的表面积
………………易拉罐的内部容积
V………………材料的体积
§5模型的建立与求解
5.1关于问题2的模型建立与求解
在问题2中,我们把易拉罐近似看作一个正圆柱体，此易拉罐的中心纵断面如图二所示.
5.1.1 不考虑材料的厚度的情况
欲使材料最省只需使表面积S最小，建立如下数学模型：
min…………………①
…………②
求表面积S在条件②下的最小值,我们把②变形后代入①,消去H，设R为自变量,
S为因变量。
求的最小值即可。
根据参考文献[4]，由公式得 ……………③
可以求得极值点：
代入①得
所以，高与半径之比.这个值与我们实际测量的值比较接近，所以这种模型的建立有一定的合理性.实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，高与半径之比又是多少呢？
5.1.2顶盖与底的厚度大于侧壁厚度的情况
在考虑材料的厚度的情况下，易拉罐的中心纵断面如图三所示。
我们可以
取顶盖的厚度，
下底的厚度,
则顶盖材料体积为
下底的材料体积为
侧面的材料体积为
所用材料体积总体V：
并且满足
因为,所以带的项可以忽略（极其重要的合理假设和简化）.因此,我们建立求材料体积最小值的数学模型：
从解得代入V,是原问题化为求H：
R的值以使V最小，即求R，使最小。
求极值点：
解得极值点：
把上述R的值代入可得
所以
根据实际测量的厚度值，，，可以得到，此比值与实际测的数值的比值更加接近，说明该模型更接近于最优设计。
5.2关于问题3的模型建立与求解
在实际生活中，易拉罐并不是一个正圆柱体，我们可以把它的上顶近似看作一个圆台，下部近似看作一个圆柱体，则我们得到易拉罐的中心纵断面如图一所示：
5.2.1：
在不考虑材料的厚度的情况下
欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可,则我们可以建立关于表面积的数学模型为：
?
/P>
?
/P>
该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件根据参考文献[2],[3]进行计算，具体步骤：
?
/P>
symsRrhHl;
S=3.1416*r^2+3.1416*（R+r）*（h^2+（R-r）^2）^（1/2）+2*3.1416*R*（H-h）+
3.1416*R^2+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355）;
eq1=diff（S,R）;
eq2=diff（S,r）;
eq3=diff（S,h）;
eq4=diff（S,H）;
eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355;
Sov=solve（eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l'）;
disp（Sov）;
R=Sov.R,r=Sov.r,h=Sov.h,H=Sov.H
得，R=4.034321
r=1.878264
h=2.563183
H=8.068642
经验证,只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。
所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且不考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=4.034321，顶盖半径为r=1.878264，上部圆台高为h=2.563183，整个罐体高为H=8.068642，此时，易拉罐用材料最省。
从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较大差距，还需改进，为此我们考虑材料厚度，实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，罐体的尺寸又是多少呢？
5.2.2：
在考虑材料的厚度的情况下
通常顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。
圆台侧壁的体积:
?
/P>
?
/P>
圆柱侧壁部分的体积：
?
/P>
?
/P>
顶盖和底面的体积为：
所以易拉罐材料的总体积为：
?
/P>
?
/P>
?
/P>
我们可以建立关于材料体积的数学模型：
该模型的求解,取，我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：
symsRrhHl;
V=4*3.1416*R^2+3*3.1416*r^2+3.1416*（h*r+H*R-h*R）
+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355）;
eq1=diff（V,R）;
eq2=diff（v,r）;
eq3=diff（V,h）;
eq4=diff（V,H）;
eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355;
Sov=solve（eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l'）;
disp（Sov）;
R=Sov.R
r=Sov.r
h=Sov.h
H=Sov.H
得, H=12.284,
h=1.2701
R=3.2765
r=2.9285
只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。
所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=3.2765，顶盖半径为r=2.9285，上部圆台高为h=1.270，整个罐体高为H=12.284，此时，易拉罐用材料最省。
从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较小的差别,所以此模型比较符合实际,我们可以把易拉罐的实体抽象为此模型.
5.3关于问题4的模型建立与求解
实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。
（程序与图形出自参考文献[9]）
my={AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0},
{2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12},
{-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0},
{-2.3,0},{-2.3,0.4}}]}
mygrapg=Show[Graphic[my],AxesLabel->{x,y},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,12.4}]
?
/P>
图四
考虑到实际情况,为了使易拉罐更牢固、更美观、更稳定，同时为了易于易拉罐的码放。
我们可以把易拉罐看成三部分，第一部分是一个圆台,第二部分是一个圆柱,第三部分是一个球面.则我们得到易拉罐的中心纵断面如图五所示：
5.3.1在不考虑材料厚度的情况下
不考虑材料厚度时，只需让罐体表面积最小即可，我们可以建立以下的数学模型，
?
/P>
该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：
symsRrhHl;
V=2*3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R*+3.1416*（r+R）*[（R-r）^2+h^2]^（1/2）
+3.1416*r^2+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）
-（3*-）/（3*3.1416）-355）;
eq1=diff（V,R）;
eq2=diff（v,r）;
eq3=diff（V,h）;
eq4=diff（V,H）;
eq5=diff（V,）
eq6=diff（V,）
eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）
-（3*-）/（3*3.1416）-355）;
Sov=solve（eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l'）;
disp（Sov）;
R=Sov.R r=Sov.r
h=Sov.h H=Sov.H
=Sov.
=Sov.
我们可以得到，H=12.2915 h=1.1925 R=3.3045 r=2.9918=0.9790
=5.7551为可行解。
这组解所得到的数据与实际测量值的存在一定差别，但此模型已进一步符合了实际。
5.3.2考虑材料的厚度的情况
考虑到顶盖和底部厚度达于侧面厚度，要是材料最省，需得使得材料体积最小。
顶盖材料体积为
圆柱侧面的材料体积为
圆台侧面的材料体积:
?
/P>
?
/P>
球缺的体积:
材料的总体积
++-
因此我们可以建立关于材料体积的数学模型：
?
/P>
?
/P>
该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：
symsRrhHl;
V=3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R*+3.1416*（r+R）*[（R-r）^2+h^2]^（1/2）
+3.1416*r^2+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）
-（3*-）/（3*3.1416）-355）;
eq1=diff（V,R）;
eq2=diff（v,r）;
eq3=diff（V,h）;
eq4=diff（V,H）;
eq5=diff（V,）
eq6=diff（V,）
eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）
-（3*-）/（3*3.1416）-355）;
Sov=solve（eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l'）;
disp（Sov）;
R=Sov.R
r=Sov.r
h=Sov.h
H=Sov.H
=Sov.
=Sov.
求解得，H=12.3140, =5.3470 =1.1422 h=1.1718
R=3.3052 r=3.0011
该组解与实际测量值非常接近，说明该设计是最优的。
§6 模型的评价与改进
上述模型的建立从考虑材料厚度和不考虑厚度两方面着手，不考虑材料厚度的模型显然不够好，与实际相差较大，考虑厚度的模型更接近于实际。
本文的优点：
1、本文根据问题要求，利用优化的思想，一步一步地讨论了模型的建立情况，使所建立的模型极大地趋近于实体。
2、 本文综合考虑了影响易拉罐用料量的各种因素。
本文的缺点：
1、对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所测数值有偏差。
2、测量易拉罐的数据有误差
易拉罐的设计主要考虑的方面有；1、尺寸比例的经济性及科学性；2、人体工学；3、力学性质；4、易拉罐内部留有的空余部分；５、放置时运输时的稳定性。
我们的模型中第1、3、5、方面已考虑到，与改进模型需进一步考虑2、4、方面。
第三方面也可进一步考虑。
根据参考文献[8]，罐底球面的强度取决于以下几个因素：
材料的弹性模量、底部直径、材料的强度、球面半径。
材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径及设计特殊的罐底形状。
工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若大于40°，将大大减小罐底耐压。
凸模圆弧R不能小于3倍的料厚。
但R太大，将会减小强度。
球面和罐底沟内壁圆弧R1，至少为3倍料厚，减小罐底沟内壁夹角，将增加强度，生产中大多数采用10°以下。
§7结束语
数学模型，简单说就是用数学语言描述实际现象的过程。
数学模型有两个很重要的属性，一是合理性，二是简易性。
建立数学模型的过程就是一个数学建模。
通过本次的建模活动了解到数学建模就是把现实中的实际问题加以提炼抽象得到一个数学的模型，然后，我们在对该模型进行进一步的求解，把抽象的东西返还到现实中。
其实构造数学模型过程的本质就是：
对实际现象的定量研究，而对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型（数学问题）.实际现象通常都是极为复杂的,因此不经过理想化和简化是很难进行定量研究的.因此,数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：
1. 对某个实际问题进行观察、分析。
2. 对实际问题进行的抽象、简化，作出假设。
3.确定要建立的模型中的变量和参数。
4.根据某种“规律”（已知的各学科中的定律,甚至是经验的规律）建立变量和参数间确定的数学关系试这是一个非常具有挑战性的数学问题;
5.解析或近似地求解该数学问题.这往往涉及复杂的数学理论和方法,近似方法和算法;
6.数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象,或用某种方法来验证结果是否正确,这也是很不容易的;
比如拿c题的过程来说吧，易拉罐就是现实生活中的东西，然后我们逐步进行抽象成圆柱体，到进一步圆柱体的变形体，设参数，然后解析或近似地求解该数学问题，到最后验证结论的合理性。
如果合理就得最有解，如不合理需返回第一步重新考虑对模型进行优化。
这就是一个完整的建模过程。
从我们小组对本次的试题的把握过程来看，我们认为数学建模中存在以下几个难点：
1.对实际生活中的名词术语不熟悉。
如在选题的过程中，D题我们之所以没选,其中很重要的原因就是对于专业语言不熟悉。
如：
掘进工作面、相对瓦斯涌出量，绝对瓦斯涌出量等等。
2.怎样从实际情况出发做出合理的假设,从而得到可以执行的合理的数学模型式建立模型的关键一步，若假设得当，则可以达到一劳永逸的效果。
3.求解模型中出现的数学问题是非常困难的问题；模型的解答是整个建模过程的重头戏，因为模型建立出来不一定就能解出来；能解出来，又不一定就符合实际情形，如果不符合就需要及时对原模型及时修改，然后再解，如此重复直至得到的结果符合实际情况。
4.第四个难点是验证模型的正确性和可行性，首先要有合理的验证方法，还要有准确的数据。
数学建模给当代大学生拓展创造和创新能力，提供了一个广阔的舞台；是对能力与毅力的考验；三天72小时不单单是解决了一个题目，给我们留下的更是美好的回忆和受用一生的“财富”。
§8参考文献
[1].主编：
郑阿奇 MATLAB实用教程 出版社：
电子工业出版社 2005
[2].编辑：
张志涌 MATLAB教程---基于6.X版本 出版社：
北京航空大学出版社2001
[3].编著：
苏金明王永利 MATLAB教程---基于6.X版本 出版社：
电子工业出版社 2004
[4].主编：
刘书田 高等数学上下册 出版社：
北京大学出版社 2001
[5].
[6].
[7].
[8].
[9].
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