锐角三角函数全章教案.docx
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锐角三角函数全章教案
28.1．1锐角三角函数
初三备课组
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：
正弦三角函数概念及其应用．
2．难点：
使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．
教学过程
情境引入
比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m．至今，这座高54.5m的斜塔仍巍然屹立．
你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为:
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，
求AB．
在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
思考：
由这些结果，你能得到什么结论？
结论：
在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜
边的比值是一个固定值，为0.5．
问题2：
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比．
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A的对边与斜边的比
在直角三角形中，如果一个锐角的度数是45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为
．
在直角三角形中，如果一个锐角的度数是60°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为
．
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．
问题3 任意画Rt△ABC和Rt△
，使得∠C=∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么
与
有什么关系．你能解释一下吗？
解：
∵ ∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇．
∴ Rt△ABC∽Rt△
∴
∴
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA=
sin30°=
，sin45°=
，sin60°=
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
练习提高，提升能力
练习1 如下三幅图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值
B
练习2 判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值也扩大100倍；
（2）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB= = ．
反思与小结
1．本节课我们学习了哪些知识？
2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？
课后作业
1．教科书第64页练习．
2．课外探究：
在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．
教学反思
28.1．2 锐角三角函数
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：
正弦、正切三角函数概念及其应用．
2．难点：
使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．
教学过程
类比推理，提出概念
请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？
在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？
证明推理，引出概念
如图：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F
=90°，
与
相等吗？
与
呢？
证明推理，得到概念
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．
在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作cosA．
在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tanA．
证明推理，得到概念
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
巩固概念
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
小结反思
1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？
2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？
课后作业
教科书第68页习题28.1 第1题．
教学反思
28.1．4锐角三角函数
课型：
习题课
教学目标：
1.主进一步认识锐角三角函数
2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．
学习目标:
1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；
2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有
关的简单计算．
学习重点：
根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．
知识梳理
问题1 锐角三角函数是如何定义的？
总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．
问题2 借助两块三角尺说明30°，45°，60°角的三角函数值．
典型例题
例1已知，如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长CA至D点，使AD=AB．求∠D，tanD．
例2 已知，如图，⊙O的半径OA=4，弦AB=
，求劣弧AB的长．
例3 已知，如图，钝角△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=
．求tanB．
小结与反思
回顾上述三个例题的解题思路，思考：
在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？
已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？
在这一过程中应该注意什么？
布置作业
1．如图，在平面直角坐标系中，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），与x轴交于另一点D，点B是优弧ODC上一点，求∠OBC的余弦值．
2．已知：
如图，⊙O的半径OA=16cm，OC⊥AB于C点，sin∠AOC=
，求AB及OC的长．
3．已知：
如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD=90°，tanB=
，求∠CAD三角函数值．
教学反思
28.2．1解直角三角形及其应用
课型：
新授课
教学目标
1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法．
2．了解解直角三角形的意义和条件；
3．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．
教学重点、难点：
解直角三角形的依据和方法．
教学过程
实例引入，初步体验
问题1 设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图）．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，求∠A的度数．
概念
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
sinA=
， cosA=
， tanA=
sinB=
， cosB=
， tanB=
．
问题3 从问题1的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？
例题示范，方法探究
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=
，BC=
，解这个直角三角形．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
应用迁移，巩固提高
练习：
编写一道解直角三角形的题并解答．
归纳：
在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），我们就可以解这个直角三角形．
一般有两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角．
归纳交流，总结反思
1．什么叫解直角三角形？
直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？
2．两个直角三角形全等要具备什么条件？
为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？
3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？
课后作业
教科书第74页练习；
教科书习题28.2 第1题．
教学反思
28.2．2 解直角三角形及其应用
课型：
习题课
教学目标
1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．
2.熟练掌握解直角三角形的方法；
3.能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．
教学重难点
灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．
知识梳理
问题1 什么叫解直角三角形？
为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？
问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.
一条边和一个
锐角
斜边c和
锐角∠A
∠B=，a=，
b=______
直角边a
和锐角∠A
∠B=______，b=______，
c=______
两条边
两条直角边
a和b
c=______，由______
求∠A=______，∠B=______
直角边a
和斜边c
b=______，由______
求∠A=_____，∠B=______
典型例题
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）a=
，c=
；
（2）∠B=60°，b=4；
（3）∠A=60°，△ABC的面积S=
．
例2 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB=4，求AD的长．
例3 在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求AB和BC．
布置作业
1．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B=30°，CD=6，求AB的长．
2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．
教学反思
28.2．3 解直角三角形及其应用
教学目标
1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．
2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力
3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．
教学过程
复习引入，知识储备
问题1 如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为1cm，PB=1.2cm，则∠AOB=，弧AB=
．
问题2 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种：
重叠、向上和向下．
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
应用知识，解决问题
问题3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远
的点在什么位置？
最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，
结果取整数）？
从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体观测地球时的最远点．
问题中求最远点与P点的距离实际上是要求什么？
需先求哪个量？
怎样求？
弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ（即α）．
应用知识，解决问题
问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°
（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°
（3）热气球与高楼的水平距离为120m→AD=120m，AD⊥BC．
（4）这个问题可归纳为什么问题解决？
怎样解决？
在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．
归纳总结
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
布置作业
教科书习题28.2 第2，3，4题
教学反思
28.2．4 解直角三角形及其应用
教学目标
1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。
2．了解方位角、坡角、坡度；
3．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题；
4．体会数形结合和数学模型思想．
教学重点：
把实际问题转化为解直角三角形的问题．
教学过程
问题1
一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？
若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C处位于小岛B的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？
试画图说明．
从B处观测到A处的轮船是________方向．
问题2
一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距距离灯塔P有多远（结果取整数）？
探究
（1）根据题意，你能画出示意图吗？
（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和
角？
求什么？
怎样求？
（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？
（4）想一想，求解本题的关键是什么？
问题3
海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
思考
1．渔船由B向东航行，到什么位置离海岛A最近？
2．最近的距离怎样求？
3．如何判断渔船有没有触礁？
问题4
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1比1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1比3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α和β的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
反思归纳
（1）回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？
关键是什么？
（2）有的同学说，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，对此你有什么看法？
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的解；
（4）得到实际问题的解．
布置作业
教科书习题28.2 第5，9题
教学反思
28.3锐角三角函数章末整合
教学目标
1.对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．
2.熟练掌握直角三角形的解法，并用相关知识解决一些简单的实际问题，进一步加深对锐角三角函数的认识．
教学重点：
梳理本章的知识结构体系，并灵活运用锐角三角函数和解直角三角形的知识解决问题．
教学过程
知识梳理
问题1 请同学们解答下列问题：
（1）锐角三角函数是如何定义的？
总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数.
（2）两个直角三角形全等要具备什么条件？
为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？
（3）你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗？
（4）锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？
体系建构
问题2 整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？
你能画出一个本章的知识结构图吗？
典型例题
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=
，求sinB，tanA的值．
若去掉“AB=10”这一条件，你还能完成此题的解答吗？
例2 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
例3城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2∶1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D，E之间是宽为2m的人行道．试问：
在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？
课堂小结
（1）通过对本章的学习，你认为本章的核心知识是什么？
（2）在学习过程中，还有哪些需要注意的地方？
教学反思
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