勾股定理知识点总结经典例题讲课教案.docx
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勾股定理知识点总结经典例题讲课教案
知识点及例题
知识点一：
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：
a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：
（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2， c2=（a+b）2-2ab
知识点二：
用面积证明勾股定理
方法一：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（1）所示的正方形。
图
（1）中
，所以
。
方法二：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（2）所示的正方形。
图
（2）中
，所以
。
方法三：
将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：
.
方法四：
如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以
。
知识点三：
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为
的线段。
2.在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果（a,b,c）是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c； （3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：
有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如：
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在
中，
，
，
.求：
BC的长.
思路点拨：
由条件
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：
作
于D，则因
，
∴
（
的两个锐角互余）
∴
（在
中，如果一个锐角等于
，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在
中，
.
根据勾股定理，在
中，
.
∴
.
总结升华：
利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P.求证：
.
思路点拨:
图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平
方之间的关系.
解析：
连结BM，根据勾股定理，在
中，
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵
（已知），
∴
.
在
中，根据勾股定理有
，
∴
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：
把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：
（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：
BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：
本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：
OC＝1米 （大门宽度一半），
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝
＝
＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝
及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：
在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）
∴AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型四：
利用勾股定理作长为
的线段
5、作长为
、
、
的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角
。
斜边为
；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边
、
、
、
的长度就是
、
、
、
。
总结升华：
（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；
（2）取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示
的点。
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
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