版高中数学北师大版必修三学案第一章+疑难规律方法第一章+统计.docx
《版高中数学北师大版必修三学案第一章+疑难规律方法第一章+统计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学北师大版必修三学案第一章+疑难规律方法第一章+统计.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
版高中数学北师大版必修三学案第一章+疑难规律方法第一章+统计
1 例析简单随机抽样
简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．适用于总体中的个体数较少且抽取的样本容量较小时．抽样中选取个体的方法有两种：
放回和不放回．简单随机抽样中用的是不放回抽取．下面让我们一同来看如下的例题：
例1判断下面的抽样方法是不是简单随机抽样？
（1）从不确定个体数的总体中抽取20个个体作为样本．
（2）从30瓶果汁中一次性随机抽取3瓶进行质量检查．
（3）某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
（4）从装有编号为1～36的大小、形状都相同的号签的盒子中逐个不放回地抽出6个号签．
分析 简单随机抽样的定义，抓住以下特点来理解：
①它要求被抽取的样本所在总体的容量确定且有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④每个个体被抽到的可能性是相同的，是等可能抽样．
解
（1）不是简单随机抽样．因为总体的个体数是不确定的，从而不能保证每个个体等可能入样．
（2）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样的定义要求的是逐个抽取．
（3）不是简单随机抽样．因为该例是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样．
（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回地、等可能地进行抽样．
点评 要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的上述四个特点．
例2若将例1
（2）中的字眼“一次性”改为“逐个”，则该例便为简单随机抽样．即从30瓶果汁中逐个随机抽取3瓶进行质量检查．请选用合适的抽样方法，写出抽样过程．
分析 简单随机抽样分为两种：
抽签法和随机数法．当总体容量和样本容量都较小时，可采用抽签法进行抽样．
解
（1）将30瓶果汁进行编号，号码为1,2,3，…，30；
（2）将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；
（3）将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
（4）从容器中每次抽取一个号签，连续不放回地抽取3次，并记录下上面的编号；
（5）所得号码对应的3瓶果汁就是要抽取的样本．
点评 抽签法（也叫抓阄法）是简单随机抽样的一种方法，一个抽样试验是否能用抽签法，关键看两点：
一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被“搅拌均匀”．本题中，总体中个体数（30）较少，制作号签比较方便，并且容易被“搅拌均匀”，所以可以采用抽签法．
将例2中的总体容量增大，我们该如何解决呢？
比如例3.
例3现在要考察某公司生产的2.5L的果汁质量是否达标，欲从400瓶果汁中抽取6瓶进行质量检查．请选用合适的方法抽样，并写出抽样过程．
分析 当总体容量较大，而样本容量较小时，因制签麻烦，故不宜用抽签法，可采用随机数法．
解 选用随机数法．
步骤如下：
第一步，先将400瓶果汁编号，可以编为001,002，…，400；
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，比如第6行第1个数，取出072作为抽取的6瓶果汁中的第一个代号（见课本后的附表随机数表）；
第三步，继续向右读，每次读取三位，凡不在001～400中的数或重复的数跳过去不读，取到末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去直到得出在001到400之间的6个三位数，分别为072,170,133,199,291,105；
第四步，找出与072,170,133,199,291,105对应的果汁作为样本．
点评 当总体中的个体较多，制作号签比较复杂，并且把号签搅拌均匀比较困难时，可以选择使用随机数法，本题将个体编号的位数统一为3位．
使用随机数法应注意以下两点：
（1）随机数法要求对个体编号且每个个体的号码位数必须相同．如对100个个体编号时应从00编到99（或者从001编到100），而不能用1,2，…，100.可见在总体中的个体进行编号时要视总体中个体的数目而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码．
（2）选定开始读的数后，读数的方向可左、可右、可上、可下，即任意方向均可．读数的方向不同可能导致不同的结果，但这一点不影响样本的公平性和合理性.
2 系统抽样题型全析
在三种随机抽样中，系统抽样是较为重要的一种．当总体中的个体数较多时，可将总体分成均匀的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，又称等距抽样．在抽样调查中，由于系统抽样简便易行，所以应用普遍．下面举例说明系统抽样的常见题型．
一、系统抽样的选取问题
例1 某商场想通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：
从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（ ）
A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样
分析 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n（n∈N＋）号，符合系统抽样的特点．
答案 C
点评 将总体分成均匀的几部分，按照预先定出的规则在各部分中抽取是系统抽样的常用步骤．
二、间隔问题
例2 为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为________．
分析 要抽取n个个体入样，需将N个编号均分成n组．
（1）若
为整数，则抽样间隔为
；
（2）若
不是整数，则先剔除多余个体，再均分成n组，此时抽样间隔为[
]．
解析 根据样本容量为30，将1200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝
＝40.
答案 40
点评 将总体号码平均分组时，应先考虑总体容量N是否能被样本容量n整除．
三、抽取的个数问题
例3 为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是（ ）
A．2B．4C．5D．6
分析 因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．
答案 A
点评
（1）用系统抽样法抽取多少个个体就需将总体均分成多少组；
（2）当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要剔除个体．需要注意的是，即使是被剔除的个体，被抽到的机会和其他个体也是一样的．
四、综合问题
例4 一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码（即在第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数）．
（1）当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
（2）若所抽取的10个号码中某个数的后两位数是87，求x的取值范围．
分析 按系统抽样的规则计算求解．
解
（1）所分组为0～99,100～199，…，900～999共10组，从每组中抽一个，第0组取24，则第1组取100＋（24＋33×1）＝157，依次错位地从每组中取出，所取的号码为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
（2）①若抽取的样本为两位数，当k＝0，取得号码为87时，x＝87；②若抽取的样本为三位数，则87为x＋33k（k＝1,2，…，9）的后两位数．
如当k＝5时，x＋33×5＝□87，可以求出x＝22，这样令k取不同的值可以求得x的值分别为：
21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.
综上：
x∈{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
点评 本题是系统抽样法的逆向综合问题，体现了知识间的联系和数学思想的运用.
3 辨析分层抽样的解题方法
若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本．这种抽样方法就是分层抽样．分层抽样尽量利用事先掌握的信息，并充分考虑了保持样本结构和总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是很重要的．
一、应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，层面之间的样本差异要大，且互不重叠．即遵循不重复、不遗漏的原则．
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．即所有层应采用同一抽样比等可能抽样．
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
二、一般地，分层抽样的操作步骤：
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．
第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．
第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．
样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数应当调节样本容量，剔除个体．
三、分层抽样的优点
使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．下面举例解析分层抽样的方法．
例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
解析 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为
×100＝20.
答案 37 20
点评 简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的．
例2 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A．9B．18C．27D．36
解析 设老年职工人数为x，则2x＋x＋160＝430，所以x＝90，因此，该单位老年职工共有90人，
样本中老年职工人数为90×
＝18，所以用分层抽样的比例应抽取该样本中的老年职工人数为18.
答案 B
点评 分层抽样要正确计算各层在总体中所占的比例，每层采用简单随机抽样法．
分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌握的各种信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使样本更具代表性，在实际调查中被广泛应用.
4 浅析3种抽样方法的合理选取
一、简单随机宜少量
例1据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴这10个城市．某天文小组从这10个城市中随机抽取4个城市进行观测，宜采用的抽样方法是______________，每个城市被选中的可能性是______________．
解析 由于总体中个体数目较少，所以宜采用简单随机抽样的方法进行抽样．每个城市被选中的可能性均相等，均为
＝0.4.
答案 简单随机抽样 0.4
点评 本题中个体总数较少，使用简单随机抽样中的抽签法即可．可以直接把10个城市名分别写在10个大小相同的纸条上，将纸条放在一个盒子里摇匀，逐个随机抽出4个即可．在整个抽样过程中可以保证每个个体被抽到的可能性相等，也可以进一步计算出相应的值．
二、差别明显选分层
例2网络上有一种“QQ农场”游戏，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了解某小区不同年龄层次的居民对此游戏的态度（小区中居民的年龄具有一定的差别），现从中抽取100人进行调查，结果如下表：
对游戏的态度
喜欢
不喜欢
不了解
人数
35
35
30
请问随机抽取这100人较合理的抽样方法是________，调查结果得出后，若想从这100人中再选取20人进行座谈，较合理的抽样方法是____________．若这个小区共有2000人，则每个人被抽到参加座谈的可能性为______．
解析 因为小区居民的年龄存在明显差异，故抽取这100人宜采用分层抽样．根据调查结果，有三种明显不同的态度，因此，选取20人参加座谈，也宜采用分层抽样．在整个抽样过程中，每个人被抽到的可能性是相同的，均为
＝0.01.
答案 分层抽样 分层抽样 0.01
点评 分层抽样的过程是先把有差别的个体进行分层，在每一层中可以采用简单随机抽样或系统抽样的方法，这样也能保证每个个体被抽到的可能性相同．
三、大量抽取选系统
例32017年春节来临之际，某超市进行促销活动，为购买商品顾客分发了编号为0000～9999的奖券，超市计划从中抽取100张作为中奖号码，较合理的抽样方法是__________，每张奖券中奖的可能性为________．
解析 由于奖券数量较大，有10000张奖券，所以宜采用系统抽样方法进行抽取．在抽样过程中，每张奖券被抽到的可能性是相等的，均为
＝0.01.
答案 系统抽样 0.01
点评 当总体中个体数目较多时，首先把个体编号，进行平均分组（若不能整除，则随机剔除多余的个体），然后采用简单随机抽样的方法从第一组中抽取一个个体，即可知道应抽取的其他编号的个体.
5 频率分布图中的统计问题分类解析
频率分布直方图将数理统计的数据直观化、形象化．关于统计一般可分为三步，第一步抽样，第二步根据抽样所得结果，画成图形，第三步根据图形，分析结论．在第二步中可画成两种图形，一个是频率分布直方图，另一个是频率分布条形图，两者有很大的不同，前者是以面积表示频率，频率分布条形图是以高度表示频率．下面就频率分布图中的统计问题分类解析．
一、求样本中限制条件下的个体所占频率
例1 观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700,3000）的频率为（ ）
A．0.001 B．0.1
C．0.2D．0.3
解析 由直方图的意义可知，在区间[2700,3000）内取值的频率为（3000－2700）×0.001＝0.3.
答案 D
点评 频率为相应直方图的面积，即频率＝纵坐标×横坐标差的绝对值．
二、求样本中限制条件下的个体的频数
例2 某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布条形图如图所示．若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为________．
解析 由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130～140分数段的频率为p，则0.45＋0.25＋0.15＋0.10＋p＝1，即0.95＋p＝1，则p＝0.05.设该样本总体共有n个学生的分数，且设90～100分数段的人数为x，则由频率概念得
解得
故90～100分数段的人数为810.
答案 810
点评 本题是频率分布条形图．由于各分数段的人数与频率成正比，则可由
＝
，求出x；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆．
例3 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000）（元）月收入段应抽出________人．
解析 由直方图可得[2500,3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500＝2500（人），按分层抽样应抽出2500×
＝25（人）．
答案 25
点评 先求频数，频数＝频率×样本容量，再按比例进行抽样．
三、求频率分布直方图中的参数问题
例4 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图如图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（ ）
A．0.27,78B．0.27,83
C．2.7,78D．2.7,83
解析 注意到纵轴表示
，由图像可知，前4组的公比为3，最大频率a＝0.1×33×0.1＝0.27，
设后六组公差为d，则0.01＋0.03＋0.09＋0.27×6＋
·d＝1，解得d＝－0.05，即后四组频率的公差为－0.05，
所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为
（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78，故选A.
答案 A
点评 解答本题关键是要利用直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系.
6 学习变量的相关关系的注意点
一、相关关系不一定是因果关系
函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，它仅是一种伴随关系．
例1下列各组关系中，不属于相关关系的是（ ）
A．降雪量与交通事故的发生之间的关系
B．正方体的体积与棱长之间的关系
C．日照时间与小麦的亩产量之间的关系
D．人的身高与体重之间的关系
解析 选B，正方体的体积与棱长之间的关系是一种确定的函数关系．
答案 B
点评 本题易错选D.在人的身高与体重之间确实具有相关性，但人有胖瘦，所以，人的身高与体重之间没有因果关系，但有相关关系．
二、注意区分回归方程中a、b的意义
线性回归方程为y＝bx＋a，其中b是回归系数，而一次函数的习惯写法为y＝ax＋b，不要把它们混淆了．另外，对于线性回归方程y＝bx＋a有a＝
－b
，即
＝b
＋a.
例2一蚊香销售公司进行了一次市场调查，并统计了某品牌电热蚊香片的销售单价x（元/盒）与平均日销量y（盒），得到如下的数据资料：
x
10
12
17
20
25
y
50
42
30
18
9
若由相关资料知，y与x呈线性相关关系．试求y与x的线性回归方程．
解 由表中数据知
＝16.8，
＝29.8，
iyi＝2099，
＝1558，
∴b＝
≈－2.75，
a＝
－b
＝29.8＋2.75×16.8＝76.
所以所求的线性回归方程为y＝－2.75x＋76.
点评 在写回归方程时，容易误写为y＝76x－2.75，其原因是求出a、b后，把回归方程公式y＝bx＋a中的a、b位置搞错了．
三、注意建立回归方程的前提条件
当数据之间具有线性相关关系时才可以求回归方程．若数据之间不具有线性相关关系，即使用最小二乘法求出了回归方程，其回归方程也是没有实际意义的，不能用来作为估计的根据．所以求回归方程前一定要判断两个变量是否线性相关．
例3下表给出了x，y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
0
2
变量x，y之间是否具有相关关系？
若有，求出线性回归方程．
解 画出变量x，y的相关数据对应的散点图如图所示：
由散点图可以看出，各点并不在一条直线附近，所以变量x，y之间不具有线性相关关系，不能用回归直线进行拟合，即使用样本数据求得回归方程也是没有意义的．
点评 此题易产生如下错解，求得b＝0，a＝1.5，所以线性回归方程为y＝1.5.产生错解的原因是没有考察变量x，y之间是否具有相关关系．
升级会员 