平行四边形培优讲义.docx

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平行四边形培优讲义

平行四边形培优讲义（总18页）

平行四边形培优题

周长面积类

以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）

A．1B．2C．3D．4

如图，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任意一点

，若

的周长为12，则

.

如图：

A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点…这样延续下去．已知△ABC的周长是1，△A1B1C1的周长是L1，△ABC的周长是L2…AnBnCn的周长是Ln，则Ln=　_________　．

如图，在△ABC中，AB=AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为　　cm2．

如图，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1·S4与S2·S3的大小关系为（）

·S4＞S2·S3B.S1·S4＜S2·S3C.S1·S4=S2·S3D.不能确定

如图，点P是□ABCD的对角线BD上任意一点，过P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，过P作HG∥AB，分别交AD、BC于G、H，请问四边形AEPG和PHCF的面积相等吗？

并说明理由.

如图，设P为平行四边形ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则可以得出何结论？

平行四边形+角平分线（含垂直）

如图，在▱ABCD中，∠A=65°，DE⊥AB，垂足为点E，点F为边AD上的中点，连接FE，则∠AFE的度数为（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边CD于点E．若AD=3，AB=4，则EC长为（　　）

A．3B．2C．1D．

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，

，连接OE．下列结论：

①∠CAD=30°；②

；③OB=AB；④∠COD=60°，成立的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F恰好为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG=3，则AE的边长为（　　）

A．

B．4C．8D．16

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：

BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？

即：

FG=AB+BC+AC）（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？

直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：

线段FG与△ABC三边之间数量关系是

平行四边形的综合题

已知：

如图，

于D，

于F.求证：

AF与EG互相平分

如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：

．

如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．

（1）求证：

△ADG≌△FDM．

（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．

已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．

（1）如图，若

，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，

，求BC的长．

如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足

．

（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；

（2）求证：

AF=CD+CF．

已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．

（1）求证：

△ADF≌△BCM；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．

平行四边形的几何变换

已知：

如图，

是等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边

。

求证：

（1）

（2）四边形CDEF为平行四边形

如图，在▱ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，

，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：

EF=CD；

（2）在

（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，

（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）．

（1）在图1中画图探究：

当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ．作直线QF交直线CD于H，求证：

QF⊥CD．

（2）探究：

结合

（1）中的画图步骤，分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系？

请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式．

①当点P在CD延长线上且位于H点右边时，；

②当点P在边CD上时，．

（3）若AD=2AB=6，AE=1，连接DF，过P、F两点作⊙M，使⊙M同时与直线CD、DF相切，求⊙M的半径是多少？

三角形中位线

如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（　　）

A．20cmB．16cmC．12cmD．8cm

（1）证明三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]

（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，

分别是OA、OB、OC、OD的中点，

分别是

的中点，…，以此类推．

若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和？

（3）借助图形3反映的规律，猜猜C可能是多少？

观察探究，完成证明和填空．

已知：

△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，

求证：

∠MPN=∠A．

（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？

请说明你的理由．

（3）

（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

，P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=．

（请直接将该小问的答案写在横线上）

平行四边形动点问题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于

（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，点E为射线BC上的一动点（不与点B、C重合），过点E作EF⊥AB，FE分别交线段AB、射线DC于点F、G．

（1）如图，当点E在线段BC上时，

①求证：

△BEF∽△CEG；

②如设BE=x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）点E在射线BC上运动时，是否存在S△AFD：

S△DEC=3：

2？

如存在，请求出BE的长；如不存在，请说明理由．