小学数学运算能力与推理能力中核心素养解读.docx

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小学数学运算能力与推理能力中核心素养解读

小学数学“运算能力”与“推理能力”中“核心素养”解读

作者：

马增福

来源：

《教育实践与研究·小学课程版》2018年第10期

        摘要：

在教学中培养和发展学生的数学核心素养就需要教师坚持以读懂《义务教育数学课程标准》的理念为指向；以理解把握教材为重点；以改变课堂教学方法为手段。

现结合人教版小学数学教材，简析教材中“运算能力”和“推理能力”部分内容中“核心素养”的体现及其教学实践。

        关键词：

小学数学；核心素养；教学实践；运算能力；推理能力

        中图分类号：

G623.5文献标识码：

A文章编号：

1009-010X（2018）28-0004-15

        一、运算能力

        《义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）指出：

“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。

        运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。

在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。

换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。

这里，运算正确是指运算方法和结果正确，灵活是指运算过程不拘泥一种方法，合理是指运算符合算理、法则、公式或运算律等，简捷是指运算方便、简单明了。

所以，运算正确是基础，理解掌握运算技能是核心、形成運算能力是目的。

（一）教材中“运算能力”内容简析

        运算是数学学习的重要内容，在各个学段，运算都占有很大的比重。

小学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握各种运算的知识及技能。

《课标》在学段目标的第一学段和第二学段“知识技能”部分都提出“掌握必要的运算技能”的要求。

        1.口算技能

        《课标》在第一学段“数的运算”部分提出：

能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。

《课标》在第二学段“数的运算”部分没有再提出口算要求。

其中20以内加减法和百以内加减法口算方法要迁移到多位数加减法口算中，如300+800，1600+700，2000+3200，180-50，2400-600，3200-300等；20以内加减法和百以内加减法口算，是多位数加减法和乘除法笔算的重要基础。

表内乘除法和一位数乘除两位数口算方法要迁移到多位数乘除法口算中，如：

200×3，400×60，120×30，800÷4，1200÷3，2400÷80等。

（1）20以内的加、减法口算，安排在教材一年级上册和下册

        20以内不进位加和不退位减及10加几和10减几，是口算进位加、退位减的基础。

20以内进位加口算技能主要是“凑十法”，可以拆小数与大数凑十，也可以拆大数与小数凑十。

如：

8+7，可以拆小数凑大数，因为8加2等于10，所以把7分成2和5，8加2等于10，10再加5等于15；也可以拆大数凑小数，因为7加3等于10，所以把8分成5和3，7加3等于10，10再加5等于15。

20以内退位减口算技能主要有“破十法”“想加算减法”和“平十法”。

如，15-7。

破十法：

把15分成10和5，10减7等于3，3加5等于8；想加算减法：

因为7加8等于15，所以15减7等于8；平十法：

因为被减数个位是5，所以把7分成5和2，15减5等于10，10再减2等于8。

（2）百以内加减法口算，安排在教材一年级下册

        主要内容包括整十数加减整十数，两位数加减一位数和整十数。

这部分内容是学习笔算乘、除法的重要基础。

两位数加一位数口算技能是否熟练，在一定程度上决定了乘法竖式计算的速度；两位数减一位数口算技能是否熟练，在一定程度上决定了除法竖式的计算速度。

        口算整十数加减整十数，思维方法是10以内加减法计算方法的迁移。

如计算30+40的思维方法是3个十加4个十得7个十，是70；计算90-30的思维方法是9个十减3个十得6个十，是60。

        口算两位数加减一位数或整十数。

两位数加一位数不进位的口算方法是：

两位数的个位数与一位数相加的和作个位数，十位数不变。

如34+5=39。

两位数减一位数不退位的口算方法是：

两位数的个位数与一位数相减的差作个位数，十位数不变。

如：

48-6=42。

两位数加整十数的口算方法是：

两位数的十位上数字与整十数字相加的和作十位数，个位数不变。

如：

27+30=57。

两位数减整十数的口算方法是：

两位数的十位上数字减整十数字的差作十位数，个位数不变。

如73-40=33。

        两位数加一位数进位加法的口算，教材呈现了两种方法。

一种是凑整十的方法，它是20以内进位加口算方法的迁移。

如：

24+9，把9拆成6和3，24加6等于30，30再加3等于33。

另一种是用整十数加两位数的方法，先算个位上的4加9等于13，再用20加13等于33。

另外，如果一位数接近10，还可以这样口算：

把9看作10，24加10等于34，多加了1，再减去1，34减去1等于33。

        两位数减一位数退位减法的口算，教材呈现了两种方法。

一种是“破十法”，如36-8，把36拆成26和10，10减8等于2，26加2等于28。

另一种是把两位数拆成整十数和十几，先算十几减一位数，再用整十数加差。

把36拆成20和16，先算16减8等于8，再算20加8等于28。

另外，两位数减一位数退位减法也可以用“平十法”口算。

先把8拆成6和2，36减6等于30，30再减2等于28。

        （3）一位数乘两位数口算，安排在教材三年级上册和下册

        主要内容包括：

一位数乘整十数并扩展到乘整百、整千数，一位数乘两位数积在100以内不进位、进位乘法。

        一位数乘整十、整百、整千数的口算方法是表内乘法的迁移。

如200×3的思维方法是：

2个百乘3得6个百，就是600。

        一位数乘两位数口算是表内乘法、一位数乘整十数及整十数加一位数口算技能的综合应用。

如：

23×2，思考20乘2得40，3乘2得6，40加6得46；23×4，思考20乘4得80，3乘4得12，80加12得92。

此口算方法后面要迁移到一位数乘整百整十数及整十数乘两位数，如130×3，24×20，140×30等。

        （4）一位数除两位数口算，安排在教材三年级下册

        主要内容包括：

一位数除整十数并扩展到除整百、整千、整万数，一位数除两位数并扩展到除整百整十或整千整百数。

        一位数除整十、整百、整千、整万数的口算方法是表内除法的迁移。

如8000÷4，思考8个千除以4是2个千，就是2000。

        一位数除两位数、整百整十数、整千整百数包括两类，一类是用口诀求商，如240÷8，方法是：

把240看作24个十，除以8得3个十，就是30；另一类是每一位上的数除以一位数都能除尽而没有余数的，如96÷3，方法是：

90除以3得30，6除以3得2，30加2得32。

        2.四则运算的笔算技能

        《课标》在第一、二学段“数的运算”部分提出：

能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数，两位数乘两、三位数的乘法，两位数和三位数除以一位数、两位数的除法。

这里的计算是指竖式笔算和横式的简算。

（1）竖式笔算

        小学阶段有很大部分的计算题都要求学生通过竖式的方式进行笔算。

竖式笔算技能主要是按照法则写出竖式后按顺序进行计算且计算结果的书写位置正确。

这里写竖式、按顺序计算和书写得数既是基础也是重点，按顺序计算过程主要是加、减、乘、除口算技能的应用。

所以，竖式笔算“多题一解”的运算过程十分普遍，体现了运算法则的普适性。

如用竖式计算214×18：

①相同数位对齐；②先用第二个因数的个位上的数字8去乘第一个因数214，得数1712的末位和因数的个位对齐；③再用第二个因数十位上的数字“1”去乘第一个因数214，得数是214个十，所以末位和因数的十位对齐；④然后把两次的积加起来，写在对应数位的下面。

（2）加、减法的横式简算

        ①加数接近整百、整千数的简算。

教材在三年级上册“万以内的加法和减法

（二）”例3，安排了一个加数接近整百数的简便算法。

运算技能是：

在横式转化过程中，多加的要减去，少加的要加上。

如：

445+298=445+300-2=745-2=743。

此题中，298在加上转化成300时多加了2，所以最后要减去2。

        ②减数接近整百、整千数的简算。

对应加法简算，减法内容也应引导学生学会这种简算。

运算技能是：

在横式转化过程中，多减的数要加上（多减几，差就减少几），少减的数的要接着减去。

如练习第6题中：

1000-599=1000-600+1=400+1=401。

减数599转化成600，多减了1，差就减少了1，所以要加上1。

再比如，1000-603=1000-600-3=400-3=397。

        3.运算律、运算性质应用的简算技能

        在整数乘法、除法及四则混合运算中，有些题型应用运算律或运算性质可以使计算简便。

简算技能主要是观察、分析算式特点，根据运算符号、数字特征，选择、应用合适的运算定律或运算性质，使计算简便。

运算定律、运算性质在第二学段要推广到小数四则混合运算和分数四则混合运算。

        ①加法运算定律的应用。

四年级下册“加法运算定律”例3，安排了应用加法交换律、结合律进行简便运算的内容。

运算技能：

应用加法交换律，改变加数位置；应用加法结合律，使结合的几个加数的和凑成整百、整千或整万数。

如，115+132+118+85。

运算分析：

这道题是连加运算，其中115与85的和是整百数，132与118的和是整百整十数。

可以考虑先应用加法交换律，交换加数位置，再应用结合律使计算简便。

        115+132+118+85=115+85+132+118=（115+85）+（132+118）=200+250=450

        ②減法运算性质的应用。

四年级下册“加法运算定律”例4，安排了应用减法运算性质进行简便运算的内容。

运算技能：

观察连减算式中的减数，如果这几个减数的和能凑成整百、整千或整万的数，把连续减去几个数转化成减去这几个数的和，这样可以使计算简便。

如，236-66-34。

运算分析：

两个减数66与34的和是100，把连续减去两个数转化成减去这两个数的和，使计算简便。

236-66-34=236―（66+34）=236-100=136。

        ③乘法交换律、结合律的运用。

乘法交换律是将因数交换位置，结合律是将两个因数的积是整百、整千、整万的数结合在一起，使计算简便。

如：

25×5×4×2，运算分析：

在连乘算式中，第一、三两个因数的积是整百数，第二、四两个因数的积是整十数。

所以，先用乘法交换律，再用乘法结合律可以使计算简便。

25×5×4×2=25×4×5×2=（25×4）×（5×2）=100×10=1000。

        ④乘法分配律运用。

在一个多项式中，如果各项都含有相同的因数，而各项中的另一个因数的和是整十、整百……，此时可以反用乘法分配律使计算简便。

如：

42×53+42×46+42。

运算分析：

在算式中，三项都含有因数“42”，各项中（42看作42×1）的另一个因数的和是100。

所以可以反用乘法分配律使计算简便。

42×53+42×46+42=42×（53+46+1）=42×100=4200。

        ⑤乘法运算律的灵活应用。

两个或几个数连乘，可以根据数字特征，先分拆再灵活运用乘法结合律或分配律使计算简便。

如：

120×25。

运算分析：

25是一个特殊数，它与2或4相乘都比较容易口算，所以120可以转换成30乘4的积，再用乘法结合律使计算简便；也可以把120转换成100加20的和，再用乘法分配律使计算简便。

120×25=30×4×25=30×（4×25）=30×100=3000。

120×25=（100+20）×25=2500+500=3000。

再比如，31.4×2.5+0.86×25。

运算分析：

两项中都含有数字“25”，只是小数点位置不同，而这两项中的另两个数如果移动小数点后也可以凑成整十数。

所以，可以考虑先转化，再应用乘法分配律使计算简便。

31.4×2.5+0.86×25=31.4×2.5+8.6×2.5=（31.4+8.6）×2.5=40×2.5=100。

        ⑥除法运算性质的应用。

四年级下册“乘法分配律”例8，安排了应用除法运算性质进行简便运算的内容。

运算技能：

观察连除算式中的除数，如果这几个除数的积是整十、整百……，把连续除以几个数转化成除以这几个数的积，这样可以使计算简便。

如2800÷25÷4。

运算分析：

被除数是整千整百数，两个除数的积是整百数。

所以把连续除以两个数转化为除以这两个数的积，可以使计算简便。

2800÷25÷4=2800÷（25×4）=2800÷100=28。

        4.估算技能

        估算是重要的运算技能，是运算能力的特征之一。

估算可以对问题进行有效的探索，快速形成大致答案。

进行估算不仅需要掌握一定的方法，积累一定的经验，而且估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据。

估算要避免出现过大的误差，要使估算的结果尽量接近实际情况，要能对实际问题作出合理的解释。

估算与数感、空间观念密切相关。

如长度、面积、体积的估计与空间观念有关，运算结果的估计与数感有关。

所以，对教材中估算内容的分析与理解应与数感和空间观念有机结合。

        《课标》在第一、二学段关于估计、估算提出五条要求，归纳起来有两点：

一是结合生活情境感受大数的意义，并能进行估计；二是结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，在解决问题过程中，能选择合适的方法进行估算。

（1）估计技能

        教材在结合生活情境感受大数意义及选择适当单位建立空间观念方面安排了许多的估计内容。

        ①结合生活情境感受大数意义的估计。

如，一年级下册“100以内数的认识”主题图：

估一估有多少只羊？

估计策略是羊的只数“比20只多的多”，以10只羊为一堆，图中大约有几个10只。

二年级下册“万以内数的认识”主题图：

猜一猜体育馆大约能坐多少人？

估计策略是座位“比100多的多”，图中座位有很多区，每个区都有几百个座位，所以座位数是一个很大的数。

四年级上册，估计1亿张纸撂在一起有多高？

估计策略是先量出100张纸的厚度，再推算1万张纸、1亿张纸撂在一起有多高。

等等。

教材在练习中安排了估一估、数一数以及估计填空等习题。

        ②结合学习计量单位进行估计。

如二年级下册“克和千克”估一估，下面哪些物品比1克轻？

估一估，带来的物品有多重？

三年级上册“测量”估一估数学书的长、宽和厚大约是多少厘米？

例6，估一估，从你家到学校有多远？

三年级下册“面积”估计长方形面积是多少平方厘米？

五年级上册“组合图形面积”请你估计这片叶子的面积等。

这些内容都是用学生自己熟悉的数量作为单位描述实际问题中较大的数量，估计策略都是以一个计量单位的感受、体验、表象作支撑，选择合适的单位来进行估计。

练习中安排了很多在括号里填写计量单位或数的习题，以培养学生的估计意识和能力。

（2）估算技能

        估算主要是指加、减、乘、除运算的估算。

由于学生的经验积累、思维层次和水平不同，面对同一个问题，所采取的估算策略也可能不同。

所以，在估算合理的情况下，估算结果一般不存在对错问题，而是哪种估算更好，更接近准确值。

教材中解决问题的估算策略与算式的估算策略不尽相同，解决问题中的估算，需要根据实际情况用“进一法”或“去尾法”估算，而算式的估算，可以用接近整十、整百或整百整十、整千整百等进行估算。

这种估算策略随着学习的深化，将迁移到小数四则运算。

在估算时，往往估算越简便，误差越大；估算难度越大，估算结果越接近准确值。

        ①加、减法的估算。

加、减法估算集中安排在二、三年级。

估算均用语言或符号描述方式展开，以体现解决问题的估算过程和探索算式“和或差”的大概取值或取值范围。

        解决问题估算。

二年级下册“万以内数的认识”例13，安排了用加法、减法思路解决问题的估算。

提问买这两件商品500元够吗？

加法估算策略：

电话机超过300元，电吹风超过200元。

300+200=500，带500元肯定不够。

减法估算策略：

电话机超过300元，用500元买了300多元的电话机，剩下的钱不到200元，肯定不够买电吹风；即使电话机300元，剩下200元也不够买电吹风。

三年级上册“万以内加法和减法

（一）”例4，“巨幕影院有441个座位，一到三年级来了221人，四到六年级来了234人”。

提出“六个年级的学生同时看巨幕电影坐得下吗？

”的问题。

教材先呈现了按整百数进行估算：

221大于200，234也大于200，221加234一定大于400，但还是不能确定是否大于441。

这种估算方法简便，但不能解决问题，揭示了估算方法的不合理性。

接着呈现按整百整十数进行估算：

221>220，234>230，220+230=450，221+234一定大于450，450>441，所以一定坐不下。

这种按整百整十进行估算并用符号展示估算过程，体现了估算方法的合理性。

        加减法算式的估算。

三年级上册“万以内的加法和减法

（二）”加法例3，445+298。

由于298接近300，可以看作300来估算，445加300等于745，所以两个数的和应该接近745。

教材在练习八第2题安排了“先估一估，再计算下面各题”的内容。

如659+306。

下面三种方法的描述都是正确的。

Ⅰ.把306看作300，659加300等于959，和应该接近959；Ⅱ.659接近并小于660，306接近并小于310，660加310等于970，和应该小于970；Ⅲ.659大于650，306大于300，650加300等于950，和应该大于950。

再如整理与复习第3题

（2）：

        解决这个问题，用估算方法能快速找到答案。

如：

159大于150，97大于90，150加90等于240，实际和大于240，更比200大。

900减700等于200，69比89小不够减，所以差小于200。

104小于110，89小于90，110加90等于200，實际和小于200。

101大于100，300减100等于200，实际差小于200。

        ②乘法估算。

乘法估算一方面可以在生活中快速解决一些简单实际问题，另一方面乘法估算也能快速判断积的大概取值或取值范围。

熟练掌握乘法估算，能有效提升乘法计算的正确率。

        解决问题的估算：

三年级上册“多位数乘一位数”例7，安排了用乘法估算解决问题的内容。

“门票每人8元，三

（1）班有29人参观，带250买门票够吗”。

估算策略：

29人接近30人，如果按30人算钱够，那么29人一定够。

教材第一次使用“≈”号连接算式与得数，呈现了乘法算式估算的书写格式。

        五年级上册“小数乘法”例8，安排了综合应用加法、乘法估算解决实际问题的内容。

“妈妈带100元去超市购物。

她买了2袋大米，每袋30.6元。

还买了0.8千克肉，每千克26.5元。

剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？

够买一盒20元的吗？

”教材呈现了语言描述和符号化解决问题的估算过程（略）。

此题的估算策略要使学生感受估算方法的合理性，既按商品价钱的大数估算够，则带的钱一定够；按大数估算不够，不一定不够。

按商品价钱的小数估算不够，带的钱则一定不够；按小数估算够，则不一定够。

        乘法算式的估算：

三年级上册“多位数乘一位数”例3中安排了描述性估算“24×9”积的取值范围的内容。

估算方法：

Ⅰ.每箱24瓶，10箱是240瓶，9箱一定比240少，所以24×9的积一定小于240；Ⅱ.由于20乘9等于180，30乘9等于270，24介于20到30之间，所以24×9的积在180和270之间；Ⅲ.由于24小于25，9大于8，25乘8等于200，所以24×9的积大约在200左右。

此估算可以扩展到三位数乘一位数。

如218×6。

由于218大于200，200乘6等于1200，所以218乘6的积大于1200。

也可以这样估算：

由于218小于220，220乘6的积等于1320，所以218乘6的积小于1320。

        四年级上册“三位数乘两位数”，教材呈现了乘法算式的估算，既145×12≈1500。

估算方法是：

把145看作150，12看作10，所以145×12≈1500。

有些乘法算式估算结果可以不唯一，只要合理，接近准确值，都是正确的。

如：

293×31。

        另外，乘法估算还可以进行一些特殊的估算，如127×8。

估算方法是把127看作125，乘8等于1000。

所以127×8≈1000。

        ③除法估算。

除法估算一方面可以在生活中快速解决一些实际问题，另一方面也是除法竖式计算的重要基础。

估算方法灵活，掌握的熟练，能有效提升除法竖式计算的试商速度和计算的正确率。

        解决问题的估算：

三年级下册“除数是一位数除法”例8，安排了用除法估算解决问题的内容。

“你们住3天，住宿费一共是267元”，提出“每天的住宿费大约多少钱？

”的问题。

估算策略：

一是看作整百数估算，估算简便，但误差较大。

既267看作300，300÷3=100（元），267÷3≈100（元）。

每天住宿费大约100元。

二是看大凑口诀估算，思考难度大，但误差小，与准确值接近。

想3个几十接近267，3个90是270，把267看作270来估算，270÷3=90（元），267÷3≈90（元）。

每天的住宿费大约90元，实际每天不足90元。

三是看小凑口诀估算，想3个80是240也接近267（但没有270接近），240÷3=80（元），267÷3≈80（元）。

每天的住宿费大约80元。

想实际每天住宿费80元不够，所以策略三估算不合理。

策略一和策略二估算虽然都合理，但两者比较，策略二估算更为接近精确值。

        除法算式的估算：

用凑口诀方法估算，估算结果与精确值比较接近。

如估算523÷7的商大约是多少？

下面两种方法都是正确的。

        方法一与方法二估算都是对的。

但方法一比方法二思考难度大，与精确值更接近。

        四年级上册安排了除数是两位数的除法估算。

估算策略也是凑口诀方法。

如184÷31，思考31接近整十数30，想30和几相乘接近184并小于184，30乘6等于180，所以184÷31≈6。

（二）在教学中，如何培养和发展学生的运算能力

        运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化。

正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算能力，发展运算能力的前提。

运算能力的培养与发展不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维素质的提升和发展。

        1.由具体到抽象，正确理解概念和算理

        小学第一学段初步学习整数四则运算以及简单的小数、分数加、减运算。

第二学段进一步学习整数四则运算及小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。

学生对这些运算概念的认识与理解，一开始总是和具体事物相联系，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式或方程运算。

教材中从整数加法、减法、乘法和除法概念、运算方法的建立到扩展到小数、分数都离不开实物操作。

所以，教学时要遵循由具体到抽象的过程，正确理解概念的内含和算理。

        如加法概念和算理。

以10以内加法概念为例。

概念引入是把两种颜色气球的数