知识点237余角和补角解答张松柏.docx

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知识点237余角和补角解答张松柏

一．解答题（共56小题）

1．（2006•张家界）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．

考点：

方向角。

专题：

作图题。

分析：

考查方位角的相关知识，找出中心点，根据题意画出图形．

解答：

解：

∵∠1=45°，∠2=60°，

∴∠AOB=180°﹣（45°+60°）=75°．

点评：

掌握好方向角的基本知识，找清楚角度画出图形．

2．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是　北偏东70°　；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是　南偏东40°　；

（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是　南偏西50°　；

（4）在

（1）、

（2）、（3）的条件下，∠COE=　160°　．

考点：

方向角。

分析：

根据方位角的概念，即可求解．

解答：

解：

（1）∠AOC=∠AOB=90°﹣50°+15°=55°，OC的方向是北偏东15°+55°=70°；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；

（3）OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°；OE的方向是南偏西50°；

（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．

点评：

解答此题的关键是画图并正确画出方位角，再结合各角的互余互补关系求解．

3．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？

AD与AC之间夹角为多少度？

并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．

考点：

方向角。

分析：

阅读题目条件，明确飞机飞行角的概念，找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角，计算其角度解答．

解答：

解：

由题意可知∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°．

故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB=60°﹣35°=25°，

AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC=145°﹣60°=85°，

从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE=105°．

点评：

此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，特别是题目中的新概念，依据新概念解答．

4．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线．

考点：

方向角。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．

解答：

解：

根据题意作图即可．

点评：

解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位．

5．某石油勘探队在荒漠中计划从A地出发，先沿北偏西60°方向勘探4.3km至C地，然后沿正西方向勘探5km至B地，再由B沿直线回到A地．

（1）以1：

100000的比例尺画出勘探与返回的路线图；

（2）勘探队从B地返回到A地应按什么方向？

路程是多少千米？

考点：

方向角；勾股定理。

专题：

作图题。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系以及勾股定理求解．

解答：

解：

从A点向北偏东60度方向，按比例尺画出AC=4.3千米，再从A点向正北方向画一条直线AD=4.3/2=2.15千米，连接CD，并延长DC至B，使CB=5千米（如果有60度的直角三角板，则用三角板画），则在△ABC中，AD垂直BC，∠CAD=60°，∠ACD=30°，AD=4.3÷2=2.15，根据勾股定理即可求出CD的=

（千米），

再在直角三角形ABD中，已知BC=5千米，

则BD=BC+CD=（5+

）千米，再根据勾股定理可求得AB=

=8.985千米，

还可求出角ABC=37.03°．

即AB的长度是返回路程，∠ABC的余角是沿南偏东方向返回的角度．

∴B按南偏东52.57度返回，路程是8.985千米．

点评：

解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系以及勾股定理求解．

6．一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬了3cm到点B，再从点B出发向北偏东60°爬了4cm到点C．

（1）试通过画图确定A、B、C的位置；

（2）从图上量出点C到点A的距离．（精确到0.1cm）

考点：

方向角。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．

解答：

解：

（1）如图：

（2）从图上量出点C到A的距离为5cm．

点评：

关键要认真读题，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角．

7．如图所示，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′．如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？

为什么？

考点：

方向角；平行线的性质。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，和平行线的性质求解．

解答：

解：

在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．

∵指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，

∴这样就构成了一对同旁内角，

∴∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补），

∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工．

点评：

解答此类题需要从方位角，平行线的性质求解．注意：

两直线平行，同旁内角互补．

8．有三个村庄A、O、B，A在O的北偏东35°，B在O的南偏东45°，画出示意图，并说出∠AOB有多少度？

考点：

方向角。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，根据平角定义求解．

解答：

解：

三个村庄的方位如图所示：

∠AOC为35°，∠BOD为45°，

所以∠AOB=180°﹣（35°+45°），

=100°．

点评：

解答此类题目，正确画出方位角根据各角之间的关系即可计算．

9．如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通．

（1）B地修公路的走向是南偏西多少度？

（2）若公路AB长8千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西42°，试求A到B公路的距离？

考点：

方向角。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．

解答：

解：

（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知B地所修公路的走向是南偏西48°．

（2）∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣48°﹣42°=90°，

∴AB⊥BC，

∴A地到公路BC的距离是AB=8千米．

点评：

此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

10．射线OP是东南方向，OE平分∠AOP，求∠AOE的度数．

考点：

方向角。

专题：

计算题。

分析：

根据已知条件可先确定∠AOP的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOE的度数．

解答：

解：

∵射线OP是东南方向，

∴∠AOP=180°﹣45°=135°，

∵OE平分∠AOP，

∴∠AOE=

∠AOB=67.5°．

点评：

本题考查了方向角及其计算，及角平分线的定义，基础性较强．

11．纪检委的小王科长为了了解公款吃喝情况，准备去调查几大宾馆，并且事先知道下面的信息：

（1）“会宾楼”在他现在所在地的北偏东45°的方向，距离此处2km的地方；

（2）“临湖宾馆”在他现在所在地的北偏西60°的方向，距离他现在所在地3.6km的地方；

（3）“红玫瑰酒楼”在他现在所在地的南偏西38°的方向，距离他现在所在地1.5km的地方．根据这此信息，请你画一张表示各处位置的简图．

考点：

方向角。

专题：

作图题。

分析：

根据方向角的定义可直接画图．方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角．

解答：

解：

点评：

画图时应注意是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），而不是正东正西．

12．已知点B在点A的正南，点M在点B的北偏西60°方向距点A100米，同时，点M在点A的南偏西60°方向．画图，并求出A、B两点的距离．（精确到1米）

考点：

方向角；等边三角形的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据题意画出，如下图，可知，△ABM为等边三角形，即AB=AM=100米．

解答：

解；根据题意可知，AM=100米，

∠ABM=60°，∠MAB=60°，

即得△ABM为等边三角形，

即AB=100米．

点评：

本题考查了方向角的定义和方向角在实际生活中的应用及画图能力．

13．如图，在B处测得C在B的北偏东75°方向上，在A处测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向上，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？

考点：

方向角；三角形内角和定理。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和与外角的关系求解．

解答：

解：

如图，∠DBC=75°，∠BAE=30°，

则∠DBA=30°，∠ABC=75°﹣30°=45°，

∵∠EAC=25°，∠BAE=30°，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=55°，

∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣45°﹣55°=80°．

点评：

解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系求解．

14．如图，某船于上午8时在A处观测到灯塔B在北偏东南60°，该船以每小时20海里的速度向东航行到达C处，观察到灯塔B在北偏东30°，航行到D处，观察到灯塔B在北偏西30°，当轮船到达C处时恰与灯塔B相距60海里，请你求该船到达C处和D处的时间，并说明理由．

考点：

方向角；等边三角形的判定。

专题：

应用题。

分析：

根据题意，求得已知角的度数，根据特殊角的三角函数值求得AC、BC的值，从而求得CD的值，根据行程问题的求法再求轮船到达C处和D处的时间即可．

解答：

解：

由己知，得∠BAC=30°，∠ACB=120°，∠BCD=∠BDC=60°

∴∠ABC=∠BAC=30°

∴AC=BC=60（海里）∠CBD=60°（1分）

∴t1=60÷20=3（小时）（2分）

∴△BCD是等边三角形∴BC=CD=60（海里）

∴t2=60÷20=3（小时）t3=3+3=6（小时）．（4分）

答：

轮船到达C处是上午11时，轮船到达D处的时间是下午2时．（5分）

或轮船到达C处用了3小时，到达D处用了6小时．

点评：

此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

15．灯塔A在灯塔B的南偏东60°，A、B相距4海里，轮船C在灯塔B的正东，在灯塔A的北偏东30°，选用适当的比例画图确定轮船C的位置．

考点：

方向角。

分析：

根据题意，建立坐标系，以B点为坐标原点，按要求画出A点的位置，如下图所示．

解答：

解：

如下图所示，C点即为轮船所在的位置．

点评：

本题主要考查学生的作图能力以及对方向角的认识和在实际中的应用．

16．如图，电讯公司在由西向东埋设通讯电缆线，他们从点A埋设到点B时突然发现碰到了一个具有研究价值的古墓，不得不改变方向绕开古墓，结果改为沿南偏东40°方向埋设到点O，再沿古墓边缘埋设到点C处，测∠BOC=60°．现要恢复原来的正东方向CD，则∠OCD应等于多少度？

考点：

方向角；平行线的性质。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出各个方向角，再根据已知角的关系求解．

解答：

解：

过点O作OE∥BM，过点C作CF∥BM，则BM∥EO∥CF，

由沿南偏东40°方向埋设到点O可知，∠MBO=40°，

∵BM∥EO∥CF，

∴∠BOE=∠MBO=40°，

又∵∠BOC=60°，

∴∠EOC=∠OCF=20°，

∴∠OCD=∠OCF+∠DCF=110°．

点评：

解题的关键是正确作出辅助线，求出各个方向角的度数，再根据角的关系求解．

17．如图，OA是表示　北偏东40°　方向的一条射线，请在图上再画出表示南偏东60°方向的射线OB．

考点：

方向角。

分析：

根据方向角的定义即可求解．

解答：

解：

北偏东40°，

南偏东60°方向的射线OB．

点评：

本题主要考查了方向角的定义，是需要掌握的基本知识．

18．如图，甲、乙两人同时从O点以相同的速度出发，甲沿正东方向前进，乙沿东偏北60°方向前进，到某一时刻他们同时改变方向，甲沿正北方向前进，乙沿东偏南30°方向前进，他们的速度始终保持不变，问他们的相遇时在出发点的什么方向？

考点：

方向角；全等三角形的判定与性质。

专题：

探究型。

分析：

先根据方位角的概念及平行线的性质求出∠OBC=90°，再由直角三角形全等的判定定理求出Rt△OBC≌Rt△OAC，由全等三角形的性质可求出∠COA=30°，根据∠COA=30°即可解答．

解答：

解：

如图，

∵乙沿东偏北60°方向前进，

∴∠AOB=60°，

∵到某一时刻他们同时改变方向，乙沿东偏南30°

∴∠OBC=30°+60°=90°，

∵甲、乙速度相同，

∴OB=OA，（3分）

∵在Rt△OBC和Rt△OAC中，OC=OC，OB=OA，

∴Rt△OBC≌Rt△OAC，（7分）

∴∠BOC=∠COA，（8分）

∵∠AOB=60°，

∴∠COA=30°，

即甲乙相遇点在出发点的东偏北30°方向．（10分）

故答案为：

甲乙相遇点在出发点的东偏北30°方向．

点评：

本题考查的是方向角的概念及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是能根据题中的描述找出方向角的度数，再用平行线的性质及三角形的相关知识求解．

19．如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东60°的方向上，同时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东20°的方向上，试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数．

考点：

方向角；平行线；三角形内角和定理。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，结合平行线的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．

解答：

解：

∵∠DAM=60°，AD∥BE，

∴∠AFB=∠DAM=60°，

又∵∠FBM=20°，

∴∠AMB=∠AFB﹣∠FBM，

=60°﹣20°，

=40°．

点评：

解答此类题需要结合平行线的性质与外角的关系求解．

20．如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A岛在C岛北偏西40°方向．从A岛看B、C两岛的视角∠BAC是多少？

考点：

方向角；平行线的性质；三角形内角和定理。

专题：

应用题。

分析：

根据方位角的概念，结合三角形的内角和定理和平行线的性质求解．

解答：

解：

由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，

∴∠ABC=50°，

又∵DB∥EC，∠ECA=40°，

∴∠ECB=100°，

∴∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°﹣60°﹣50°=70°．

点评：

解答此类题需要结合平行线的性质和三角形的内角和定理求解．

21．如图，射线OA表示北偏西30（一般不说成“西偏北60”）方向，你能用类似的方法画图表示下列各方向吗？

①北偏东40；

②南偏西50（一般不说成“西偏南40”）；

③东南方向（即南偏东45）；

④在图中画出上述方向后，请用数字或希腊字母标注图中互余或互补的角，并把它们列举出来（只需分别列举出两对）．

考点：

方向角。

专题：

图表型。

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．

解答：

解：

①北偏东40°，OB；

②南偏西50°，OF；

③东南方向OC；

④互余：

∠1，∠8；∠7，∠6．

互补：

∠1，∠10；∠2，∠9．

点评：

正确画出方位角，并根据互余互补概念解答．

22．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？

考点：

方向角；垂线；平行线的性质。

专题：

应用题。

分析：

根据方向角的定义即可求解．分别作AM∥CD，NB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可求得∠1与∠2的度数．

解答：

解：

设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．作AM∥CD，NB∥CD，如图：

∵丁岛在丙岛的正北方，

∴CD⊥AB．

∵甲岛在丁岛的南偏西52°方向，

∴∠ACD=52°．

又∵AM∥CD，

∴∠1=∠ACD=52°．

∴丁岛在甲岛的北偏东52°方向．

∵乙岛在丁岛的南偏东40°方向，

∴∠BCD=40°．

又∵BN∥CD，

∴∠2=∠BCD=40°，

∴丁岛在乙岛的北偏西40°方向．

点评：

本题主要考查了方向角的定义和平行线的性质，是一个基础的内容．

23．如图，一艘客轮沿东北方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西30°方向上，灯塔B在南偏东60°方向上．

（1）在图中画出射线OA、OB、OC；

（2）求∠AOC与∠BOC的度数，你发现了什么？

考点：

方向角。

专题：

探究型。

分析：

（1）根据方向角的表示方法画出图形即可；

（2）先根据∠1的度数∠4的度数，由∠3的度数求出∠5的度数，再根据∠AOC=∠2+∠4，∠BOC=∠1+∠5即可得出结论．

解答：

解：

（1）如图所示，

根据方向角的概念画出图形，使∠1=45°，∠2=30°，∠3=60°；

（2）∵∠1=45°，

∴∠4=90°﹣45°=45°，

∴∠AOC=30°+45°=75°，

∵∠3=60°，

∴∠5=90°﹣60°=30°，

∴∠BOC=∠5+∠1=30°+45°=75°，

∴∠AOC=∠BOC，

即OC平分∠AOB．

点评：

本题考查的是方向角的概念及相关计算，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键．

24．如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东13°的方向上，试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数．

考点：

方向角；平行线的性质；三角形的外角性质。

分析：

将轮船航行的实际问题转化为方向角的问题解答．

解答：

解：

从图中我们可以发现∠AMB=180°﹣（90°+13°）﹣（90°﹣62°）=49°．

点评：

解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解．

25．如图，OA的方向是北偏东10°，OB的方向是北偏西40°．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是　北偏东60°　；

（2）若OD是OB的反向延长线，则OD的方向是　南偏东40°　；

（3）∠BOD可看作是OB绕点O顺时针方向转至OD，作∠BOD的平分线OE，则OE的方向是　北偏东40°　；

（4）在

（1）、

（2）、（3）的条件下，∠COE=　10°　．

考点：

方向角。

专题：

常规题型。

分析：

（1）先求出∠AOC的度数，然后再看OC与北方的夹角；

（2）看准OD与南方的夹角即可；

（3）根据题意OE⊥BD，求出OE与北方的夹角然后即可确定方向角；

（4）利用OC的方向角减去OE的方向角即可．

解答：

解：

（1）∠AOC=40°+10°=50°，

50°+10°=60°，

∴OC的方向角是北偏东60°；

（2）OD的方向角是南偏东40°；

（3）90°﹣40°=50°，

∴OE的方向角是北偏东50°；

（4）∠COE=50°﹣40°=10°．

故答案为：

北偏东60°，南偏东40°，北偏东50°，10°．

点评：

本题主要考查了方向角，做此类题目一定要找准所求方向与南北方向的夹角，否则容易出错．

26．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是　北偏东70°　；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是　南偏东40°　；

（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向旋转至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是　南偏西50°　；

（4）在

（1）、

（2）、（3）的条件下，求∠COE=　160°　°．

考点：

方向角。

专题：

应用题；数形结合。

分析：

（1）先根据OB的方向是西偏北50°求出∠1的度数，进而求出∠FOC的度数即可，

（2）根据OB的方向是西偏北50°求出∠DOH的度数，即可求出OD的方向，

（3）根据OE是∠BOD的平分线，可知∠DOE=90°，进而可求出∠HOE的度数可知OE的方向，

（4）根据∠AOF=15°，∠AOC=55°，求出∠COG的度数，再根据∠COE=∠EOH+∠HOG+∠COG即可解答．

解答：

解：

（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，

∴∠1=40°，

∴∠AOB=∠1+15°=55°，

∵∠AOB=∠AOC，

∴∠AOC=55°，

∴OC的方向是北偏东70°；

（2）∵OD是OB的反向延长线，

∴∠1=∠2=40°，

∴OD的方向是南偏东40°；

（3）∵OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°，

∴OE的方向是南偏西50°；

（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．

故答案为北偏东70°，南偏东40°，南偏西50°，160°．

点评：

本题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度，同时考查了互补互余的概念，难度适中．

27．轮船在O点测得岛A在北偏东30°的方向上，又测得岛B在南偏东60°的方向上，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．

考点：

方向角。

专题：

计算题；作图题。

分析：

根据轮船在O点测得岛A在北偏东30°的方向上，又测得岛B在南偏东60°的方向上作出图形，然后计算∠AOB的度数．

解答：

解：

作图如下，

由图可知∠AOB的度数为90°．

点评：

本题主要考查方向角的知识点，作出图形是解答本题的关键．

28．如图，小亮从家（图中A处）出发，沿南偏东40°的方向走到小明家（图中B处），再从小明家与小明一起沿南偏西30°的方向走向学校（图中的C处），你知道∠ABC的度数吗？

说说你的理由．

考点：

方向角。

专题：

常规题型。

分析：

如图，先根据方位角的定义确定∠1，∠3的度数，再根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠1，然后利用平角等于180°即可求解．

解答：

解：

如图，

根据题意得，∠1=40°，∠3=30°，

∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等），

∴∠ABC=°﹣∠2﹣∠3=180°﹣40°﹣30°=110°．

故答案为：

110°．

点评：

本题考查了方位角的定义，熟练掌握方位角的概念是解题的关键．

29．今有五口水井，第一口A在村委会的院子里，第二口B在村委会北偏东30°方向2000米处，第三口在村委会正西方向1500米处，第四口D在村委会东南方向1000米，第五口E在村委会正南方向900米处．

（1）请你以村委会为坐标原点，东西走向为x轴，南北走向为y轴，建立直角坐标系，选好适当比例尺，画图表示这五口水井A、B、C、D、E的位置；

（2）写出C、E两口井的坐标；