史上最全中考数学真题解析74图形的镶嵌与图形的设计含答案.docx
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史上最全中考数学真题解析74图形的镶嵌与图形的设计含答案
2011全国中考真题解析120考点汇编
图形的镶嵌与图形的设计
一、选择题
1.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形
【答案】B
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【解答】解：
∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正五边形．故选C．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
2.（2011湖北十堰，8，3分）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）
A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形
考点：
平面镶嵌（密铺）。
专题：
几何图形问题。
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解答：
解：
A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4﹣
n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能铺满；D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能铺满．
故选A．
点评：
考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
3.（2011湖南岳阳，6，3）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】几何图形问题．
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：
A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
4.（2010福建泉州，6，3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形
考点平面镶嵌（密铺）
分析分别求出所给图形的内角，根据密铺的性质进行判断即可．
解答解：
A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；
B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；
C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；
D、∵正七形的内角是
，，
同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．
点评本题考查的是平面镶嵌的性质，解这类题目时要根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
5.（2011•贵阳9,3分）有下列五种正多边形地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）
A、4种B、3种C、2种D、1种
考点：
平面镶嵌（密铺）。
专题：
几何图形问题。
分析：
根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°求解即可．
解答：
解：
①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；
②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；
⑤正八边形的每个内角为：
180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．
故选B．
点评：
本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
6.（2011湖北荆州，10，3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成 4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（ ）
考点：
规律型：
图形的变化类．
专题：
规律型．
分析：
观察图形特点，从中找出数字规律，图①菱形数为，2×12-2×1+1=1，图②为，2×22-2×2+1=5，图③为，2×32-2×3+1=13，图④为，2×42-2×4+1=25，…，据此规律可表示出图n的菱形数，由已知得到关于n的方程，从求出n的值．
解答：
解：
由已知通过观察得：
图①菱形数为，2×12-2×1+1=1，
图②为，2×22-2×2+1=5，
图③为，2×32-2×3+1=13，
图④为，2×42-2×4+1=25，
…，
所以铺成一个n×n的近似正方形图案的菱形个数为：
2n2-2n+1，
则2n2-2n+1=181，
解得：
n=10或n=-9（舍去），
故选：
D．
点评：
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，解题的关键是先观察分析总结出规律，根据规律列方程求解．
二、填空题
1.（2011•江苏宿迁，18，3）一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖 块．
考点：
规律型：
图形的变化类。
分析：
先求出展厅的面积，减去边长0.5m的小地板砖所占面积，除以边长为1m的一块地板砖的面积即求得．
解答：
解：
展厅面积=16×16=256m2
从图中可看出1m一块，则0.5m的正好两块，但是每个角上又少一个边长0.5m的地板砖．
大小的个数比为37：
48
则设大地板砖个数为x，小的为y
37x+48y=256①
37：
48=x：
y②
解得x=181（块）
故答案为181．
点评：
本题考查了图形的规律题，从整体上求得边长为1m的正方形地板砖的所占面积，又知道每块1m地板砖的面积从而求得．
2.（2011新疆建设兵团，14，5分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 5 种．
考点：
利用轴对称设计图案．
专题：
几何图形问题．
分析：
根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
解答：
解：
选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：
1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：
5．
点评：
本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.（2011•青海）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖 （4n+2） 块．
考点：
规律型：
图形的变化类。
专题：
规律型。
分析：
根据第1个图形有6块白色地面瓷砖，第2个图形有10块白色瓷砖，每多1个黑色瓷砖则多4块白色瓷砖，根据此规律即可写出第n个图案中的白色瓷砖的块数．
解答：
解：
第1个图案白色瓷砖的块数是：
6，
第2个图案白色瓷砖的块数是：
10=6+4，
第3个图案白色瓷砖的块数是：
14=6+4×2，
…
以此类推，第n个图案白色瓷砖的块数是：
6+4（n﹣1）=4n+2．
故答案为：
（4n+2）．
点评：
本题考查了图形的变化问题的规律探寻，看出图形变化规律“每多一块黑色瓷砖则白色瓷砖增加4块”是解题的关键．
4.（2011•株洲15,3分）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 ②③ （写出所有正确答案的序号）．
考点：
平面镶嵌（密铺）；平移的性质。
分析：
根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．
解答：
解：
根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，
∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
故答案为：
②③．
点评：
此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．
5.（2011年江西省，14，3分）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是2y-x=180（或y=
x+90）．
考点：
平面镶嵌（密铺）；平行四边形的性质；菱形的性质．
专题：
数形结合．
分析：
根据菱形的性质得出∠ADC=180-x，∠CDB=y，进而根据∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，得出y，x之间的关系．
解答：
解：
根据平面镶嵌的性质得出：
∠ADC=180-x，∠CDB=y，
∴∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，
180-x+y+y=360，
2y-x=180或y=
x+90，
故答案为：
2y-x=180或y=
x+90．
点评：
此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的性质和平面镶嵌的性质，得出∠ADC+∠CDB+∠ADB=360是解决问题的关键．
三、解答题
1.（2011江苏镇江常州，25，6分）已知：
如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．
（1）图形①中∠B= 72 °，图形②中∠E= 36 °；
（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片 5 张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠．无缝隙拼接）
考点：
菱形的性质；正多边形和圆；作图—应用与设计作图．
专题：
操作型．
分析：
（1）连接AM，根据三角形ADM和三角形ABM的三边对应相等，得到两三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得到角B和角D相等，根据四边形的内角和为360°，由角DAB和角DMB的度数，即可求出角B的度数；根据菱形的对边平行，得到AB与DC平行，得到同旁内角互补，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度数即可求出角FEC的度数；
（2）①由题意可知，“风筝一号”纸片中的点A与正十边形的中心重合，由角DAB为72°，根据周角为360°，利用360°除以72°即可得到需要“风筝一号”纸片的张数；
②以P为圆心，a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在角IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线．
解答：
解：
（1）连接AM，如图所示：
∵AD=AB，DM=BM，AM为公共边，
∴△ADM≌△ABM，
∴∠D=∠B，
又因为四边形ABMD的内角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，
∴∠B=
=72°；
在图2中，因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，
∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；
（2）①用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，
得到“风筝一号”纸片的点A与正十边形的中心重合，又∠A=72°，
则需要这种纸片的数量=
=5；
②根据题意可知：
“风筝一号”纸片用两张和“飞镖一号”纸片用一张，
画出拼接线如图所示：
故答案为：
（1）72°；36°；
（2）①．5．
点评：
此题考查掌握菱形的性质，灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺地面的秘诀，锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维，是一道中档题．
2.（2011四川凉山，22，8分）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地
板砖的长都相等.
（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：
与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
考点：
列表法与树状图法；平面镶嵌（密铺）．
专题：
计算题．
分析：
（1）根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；
（2）利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根据概率的概念计算即可．
解答：
解：
（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，
（2）根据题意得：
A
B
C
D
E
F
A
AB
AC
AD
AE
AF
B
BA
BC
BD
BE
BF
C
CA
CB
CD
CE
CF
D
DA
DB
DC
DE
DE
F
EA
EB
EC
ED
EF
FA
FB
FC
FD
FE
由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，分别是：
AB，AD，BE，CF，BA，DA，EB，FC.
.
点评：
本题考查了概率的概念：
用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P＝
．
20、（2011•宜昌，20，7分）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？
（结果保留二位小数）
考点：
正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平面镶嵌（密铺）；几何概率。
专题：
计算题。
分析：
（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD
=
BC，由勾股定理求出AD=
，根据△ABC的面积是
BC•AD代入即可求出答案；
（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．
解答：
（1）解：
过A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴BD=CD=
BC=
，
在△BDA中由勾股定理得：
AD=
，
∴△ABC的面积是
BC•AD=
×1×
=
，
答：
这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是
．
（2）解：
由图形可知：
由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是1×1=1，
连接OA、OB，
∵图形是正六边形，
∴△OAB是等边三角形，且边长是1，
即等边三角形的面积是
，
∴正六边形的面积是6×
=
，
∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是
≈0.35，
答：
点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.35．
点评：
本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．
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