河南省六市届高三第一次联考一模数学理试题及答案解析.docx
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河南省六市届高三第一次联考一模数学理试题及答案解析
河南省六市2018届高三第一次联考（一模）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为虚数单位，若
，则
（）
A．0B．1C．
D．2
3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）
A．
B．
C．
D．
4．汽车以
作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）
A．
B．
C．
D．
5．为考察
两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）
A．药物
的预防效果优于药物
的预防效果
B．药物
的预防效果优于药物
的预防效果
C．药物
、
对该疾病均有显著的预防效果
D．药物
、
对该疾病均没有预防效果
6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）
A．
B．
C．2D．4
7．已知数列
满足：
，则其前100项和为（）
A．250B．200C．150D．100
8．已知锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
9．设
是数列
的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的
的值为（）
A．2015B．2016C．2017D．2018
10．在三棱锥
中，
，
，
，
，
，且三棱锥
的体积为
，则该三棱锥的外接球半径是（）
A．1B．2C．3D．4
11．椭圆
与函数
的图象交于点
，若函数
的图象在
处的切线过椭圆的左焦点
，则椭圆的离心率是（）
A．
B．
C．
D．
12．若关于
的方程
有3个不相等的实数解
，且
，其中
，
，则
的值为（）
A．1B．
C．
D．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知
，
，则
.
14．已知二项式
的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含
项的系数是（用数字作答）.
15．已知
是双曲线
：
右支上一点，直线
是双曲线的一条渐近线，
在
上的射影为
，
是双曲线的左焦点，则
的最小值是.
16．已知动点
满足
，则
的最小值是.
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列
中，
，其前
项的和为
，且满足
.
（1）求证：
数列
是等差数列；
（2）证明：
当
时，
.
18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：
（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：
亿元，结果保留两位小数）
19．如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
为
与
的交点，
为
上任意一点.
（1）证明：
平面
平面
；
（2）若
平面
，并且二面角
的大小为
，求
的值.
20．已知抛物线
：
的焦点为
，过
的直线
交抛物线
于点
，当直线
的倾斜角是
时，
的中垂线交
轴于点
.
（1）求
的值；
（2）以
为直径的圆交
轴于点
，记劣弧
的长度为
，当直线
绕
点旋转时，求
的最大值.
21．已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个极值点
，且
，证明：
.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
以平面直角坐标系
的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线
的参数方程为
（
为参数），圆
的极坐标方程为
.
（1）求直线
的普通方程与圆
的执直角坐标方程；
（2）设曲线
与直线
交于
两点，若
点的直角坐标为
，求
的值.
23．选修4-5：
不等式选讲
已知关于
的不等式
有解.
（1）求实数
的取值范围；
（2）已知
，证明：
.
理科数学答案
一、选择题
1-5：
CBCDB6-10：
BDCDC11-12：
BA
二、填空题
13．514．1015．
16．
三、解答题
17．解：
（1）当
时，
，
，从而
构成以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由
（1）可知，
，∴
∴当
时，
从而
.
18．解：
（1）数据整理如下表：
从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：
人，80岁以下应抽取：
人
（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：
用样本估计总体，80岁及以上长者为：
万，
80岁及以上长者占户籍人口的百分比为
.
（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为
元，
，
，
，
，
，
则随机变量
的分布列为：
全市老人的总预算为
元
政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.
19.解：
（1）因为
平面
，∴
，
又
是菱形，∴
，故
平面
∴平面
平面
.
（2）解：
连结
，因为
平面
，
所以
，所以
平面
，
又
是
的中点，故此时
为
的中点，
以
为坐标原点，射线
分别为
轴建立空间直角坐标系
设
，则
，
向量
为平面
的一个法向量
设平面
的一个法向量为
，
则
且
即
且
，
取
，则
，
，则
∴
，解得
故
.
20.
（1）
，当
的倾斜角为
时，
的方程为
，
设
，
得
，得
的中点为
中垂线为
代入得
∴
（2）设
的方程为
，代入
得
中点为
令
（弧度），
∴
∴
到
轴的距离
∴
当
时，
取最小值
，
的最大值为
故
的最大值为
.
21．
（1）
，
所以
（1）当
时，
，所以
在
上单调递增
（2）当
时，令
，
当
即
时，
恒成立，即
恒成立
所以
在
上单调递增
当
，即
时，
，两根
所以
，
，
故当
时，
在
上单调递增
当
时，
在
和
上单调递增
在
上单调递减.
（2）
由
（1）知
时，
上单调递增，此时
无极值
当
时，
由
得
，设两根
，则
，
其中
在
上递增，在
上递减，在
上递增
令
，所以
在
上单调递减，且
故
.
22.解：
（1）直线
的普通方程为
，
，
所以
所以曲线
的直角坐标方程为
.
（2）点
在直线
上，且在圆
内，由已知直线
的参数方程是
（
为参数）
代入
，
得
，设两个实根为
，则
，即
异号
所以
.
23.解：
（1）
，故
（2）由题知
，故
，
∴
.
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