全国新课标理科数学高考近三年真题及答案.docx
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全国新课标理科数学高考近三年真题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1•答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将
试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2•作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
、选择题：
本题共12小题，每小题5分,要求的。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
x
已知集合A={x|x<1},B={x|31}，则
B{x|x0}
A
A
•正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
3{x|x1}
B•
D.
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图的中心成中心对称
冗
B.
n
B.—
8
nD.
4
1R
z
，则zR
P1:
若复数z满足
2
R，则zR;
C.
2
3.设有下面四个命题
P2:
若复数z满足z
P3:
若复数z1,z2满足z1z2R，贝yzz2;
4.
5.
P4:
若复数Z
其中的真命题为
A•PlP3
记Sn为等差数列
A.1
函数f（x）在（是
A•[2,2]
R，则zR.
C・P2,P3
B•P1,P4
{an}的前n项和.若a4a524,Q48,
B.2C.
）单调递减，且为奇函数.若
B•[1,1]
C.
4
f
（1）1，则满足1
D.P2，P4
则｛an｝的公差为
D.8
f（x2）1的x的取值范围
[0,4]
D•[1,3]
（1!
）（1x）6展开式中x2的系数为
x
A.15
B•20
D.35
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为
C•30
A.i0B.i2
8.右面程序框图是为了求出满足
C.i4D.i6
3n-2n>i000的最小偶数n,那么在I號爲和—两个空白框中，可以分别填入
A.A>iOOO和n=n+iB.A>i000和n=n+2
C.Ai000和n=n+i
D.aGi000和n=n+2
9.已知曲线Ci:
y=cosx,C2：
y=sin
（2x+2n）,则下面结论正确的是
3
A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,
纵坐标不变,
再把得到的曲线向右平移
n
个单位长度,
6
到曲线C2
B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,
纵坐标不变,
再把得到的曲线向左平移
n个单位长度,
i2
到曲线C2
C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变,
再把得到的曲线向右平移
n
n个单位长度,
6
到曲线C2
D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的
i倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
n个单位长度,
i2
得到曲线C2
i0.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点，过直线12与C交于D、E两点，贝U|AB|+|DE|的最小值为
A.i6B.i4
ii.设xyz为正数，且2x3y5z，则
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y
i2.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
F作两条互相垂直的直线li,12，直线li与C交于A、
B两点,
C.i2
D.iO
C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
•为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了
i,i,2,
解数
i,2,4,
学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列
i,2,4,8,i,2,4,8,i6,…，其中第一项是20,接下来的两项是20,2i，再接下来的三项是20,
2i,22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N:
N>i00且该数列的前N项和为2的整数幕•那么该款软件的激活码是
D.110
A.440B.330
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为60°|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=
14.设x,y满足约束条件
x2y
2x
，则z3x2y的最小值为
2
x
2
a
C的一条渐近线交于
15.已知双曲线C:
x
2
y
b2
M、
（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线
N两点。
若/MAN=60°则C的离心率为。
O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为0。
D、E、F为圆O
16.如图，圆形纸片的圆心为
上的点，△DBC,△ECA,AFAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，
所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为
三、解答题：
共都必须作答。
（一）必考题：
共60分。
17.
（12分）
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17~21题为必考题，每个试题考生
3sinA
（1）
（2）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
求sinBsinC;
若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.
18.
（12分）
如图,
在四棱锥P-ABCD
I1
CDP90'.
19.
（12分）
（1）
（2）
证明：
平面PAB丄平面PAD;
若PA=PD=AB=DC,APD90'，求二面角A-PB-C的余弦值.
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,
并测量其尺寸（单位：
cm）•根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的
尺寸服从正态分布
N（,2）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外
的零件数，求P（x1）及X的数学期望；
（2）
（3'3）之外的零件，就认为这条生产
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
116
x—Xj经计算得16j1
为抽取的第i个零件的尺寸,
用样本平均数X作为
9.97
i1,2,,16
的估计值
否需对当天的生产过程进行检查？
剔除和
16
丄（X216x2）20.212
16i1，其中X'
，用样本标准差S作为的估计值
（?
3?
?
3?
）
，利用估计值判断是
之外的学科网数据，用剩下的数据估计
（精确到0.01）•
2
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,），则P（
3）0.9974
16
0.9974
20.（12分）
0.9592
.0.0080.09
），P4（1鳥）
22
已知椭圆C:
冷与=1（a>b>0），四点P1（1,1）,P2（0,1）,P3（-,ab
中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明:
I过定点.
21.（12分）
已知函数f（x）ae2x+（a-2）e-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4—4:
坐标系与参数方程］（10分）
x3cos
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x,（0为参数），直线I的参数方程为
ysin,
2017年新课标1理数答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
13.
2、3
14.
15.
2、、：
3
16.
415
1
a2“1.r
a
1）由题设得acsinB
，即csinB
2
3sinA2
3sinA
1
由正弦定理得—sinCsinB
sinA
」2
3sinA
2
故sinBsinC—
3
17.解:
1
（2）由题设及
（1）得cosBcosCsinBsinC,，即cos（BC）
2所以BC勺，故An.
33
由题设得
-bcsinA
2
2
a
3sinA
即bc
8.
由余弦定理得b2c2bc9，即（bc）23bc9，得bc「33.
故厶ABC的周长为3.33.
18.解：
（1）由已知BAPCDP90，得AB丄AP,CD丄PD.由于AB//CD，故AB丄PD，从而AB丄平面PAD.
又AB平面PAB，所以平面PAB丄平面PAD.
（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F,
由
（1）可知,
AB」平面LPAD，故ABPF，可得PF
平面ABCD.
以F为坐标原点,
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
Fxyz.
的方向为x轴正方向，|
J2
由
（1）及已知可得AC,0,0），P（0,0,
2
），B（22,1,0），C（22,1,0）.
所以PC（“，1,2），CB（、2,0,0）
22
设n（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
PC0nCB0
，即
近运0
xyz022
2x0
可取n（0,1，、一2）.
设m（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
，即
可取
AB0
2
—x
2
y
n（1,0,1）.
n
贝Ucos
|n||m|
所以二面角APBC的余弦值为
19.【解】
（1）抽取的一个零件的尺寸在（
3,3）之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在
（3,3）之外的概率为0.0026，故X~B（16,0.0026）.因此
P（X1）1P（X0）10.99740.0408
X的数学期望为EX160.00260.0416.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3,3）之外的概率只有0.0026,—天内抽取的16
个零件中，出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这
种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程
进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的
（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为？
9.97，的估计值为？
0.212，由样本数据可以看出
有一个零件的尺寸在（？
3?
?
3?
）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
1
剔除（？
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为一（169.979.22）10.02，因此的估计
15
值为10.02.
16
x2160.212169.9721591.134，易0除（?
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩下数据的样本方
i1
122
差为（1591.1349.221510.02）0.008,
15
因此的估计值为0.0080.09.
20.（12分）解：
（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,巳两点.
1113
又由a2b2a24b2知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
1
——1
2I因此b
13
22a4b
2
故C的方程为—y21.
4
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为
，解得
a24
b21
k1,k2,
如果I与x轴垂直，设I:
x=t,由题设知t
0,且|t|2，可得A,B的坐标分别为
4t2
v4t^244t22
则k1k21，得t2，不符合题设.
2t2t
2
x
从而可设I:
ykxm（m1）.将ykxm代入一y21得
4
22
=16（4km1）0.
设A（X1,
y1）
B
（X2,
y2）
，贝yX1+X2=
而k1k2
y1
1y21
x
X2
kxm
1
kx2
m1
x
X2
2kx1x2
（m
1）（%
X2）
捲冷
由题设k.
k2
1,
故（2k
1）x1x2
（m
4m2
4
8km
即（2k1）
・2
（m
1）
・2-
0.
4k
1
4k1
解得k
m1
2
当且仅当
m
1时,
0,
欲使1
y
由题设可知
1）（XX2）
所以I过定点（2,1）
m1x
2
8km
4k21
21.解：
（1）f（x）的定义域为（
）,f（x）
（i）若a0,则f（x）0，所以
f（x）在（
（ii）若a0,则由f（x）
0得xIna.
当x（,Ina）时，f（x）
当x（Ina,
在（Ina,）单调递增•
（2）（i）若a0，由
（1）
知,
f（x）至多有
（ii）若a0,由
（1）知，当x
①当
a1时，由于f（Ina）0,
②当
1
a（1,）时，由于1Ina
a
③当
a（0,1）时，1
4m2
4
4k2
1
X1X2=
m，即y
（x2）,
2ae2x（a
）单调递减
2）ex
1（aex1）（2ex
1）,
）时，f（x）0，
所以f（x）在（
Ina）单调递减,
个零点•
Ina时，f（x）取得最小值，最小值为
f（x）只有一个零点;
f（Ina）
0,即f（Ina）0,故f（x）没有零点;
Ina0,即f（Ina）0.
又f
（2）ae4（a2）e222e2
20，故f（x）在（，Ina）有一个零点.
设正整数n0满足n0ln
（1），则f（n0）en0（aen0
n0n0
a2）n°en°2n°
3
由于in（—1）Ina,因此f（x）在（Ina,）有一个零点a
综上，a的取值范围为（0,1）.
22.［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
2
解：
（1）曲线C的普通方程为Xy21.
9
当a1时，直线l的普通方程为
4y30.
x4y30
2
x2彳
9y1
解得
21
25
24
25
从而C与I的交点坐标为
（3,0），
2124、
25,25）.
（2）直线l的普通方程为
x4y
a40，故C上的点（3cos,sin
）到I的距离为
|3cos4sina41
而
4时，d的最大值为a9
V17
.由题设得
a9
17
.17，所以a
4时，d的最大值为a—1
V17
•由题设得
a1
17
16.
a8或a16.、
综上，
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
解：
（1）当a1时，不等式f（x）g（x）等价于x2
x|x1|
|x
1|40•①
当x1时，①式化为
x2
3x40,无解;
1时，①式化为
x2x20，从而1x1；
1时,
①式化为
x40，从而1
所以
f（x）
g（x）的解集为
1Vi?
{x|1x2}.
（2）当x[1,1]时，g（x）2
所以f（x）g（x）的解集包含［1,1］,等价于当x［1,1］时f（x）2.
又f（x）在［1,1］的最小值必为f
（1）与f
（1）之一，所以f
（1）2且f
（1）2，得1a1.
所以a的取值范围为［1,1］.
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
理科数学
1•答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上
无效。
3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题：
本题共
12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
z
1•设
2i
|z|
C.
D.■■2
2.已知集合
c.x|x
D.
x|x1
x|x2
3•某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番•为更好地了解该地区农村的经济
收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
A•12
B•10
10
D.12
5•设函数f（X）
X3
2
（a1）xax若f（x）为奇函数，则曲线
f（X）在点（°，°）处的切线方程为
A.y2X
2x
6.在△ABC中,
AD为BC边上的中线,
E为AD的中点，贝UEB
3a"AC
A•44
1
1丄AC
4
3AC
4
则下面结论中不正确的是
A•新农村建设后，种植收入减少
B•新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D•新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.记Sn为等差数列
an的前n项和若3S3S2S4,ai2，则a5
M在正视图上的对应点为A，圆柱
7.某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点
表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A.217
8.设抛物线
C:
y2=4x的焦点为F,
9.已知函数
f（x）
Inx,x
0,
过点（-,0）且斜率为3的直线与C交于M,N两点，则
0,g（x）f（x）xa.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
B.[0，+a）
D.[1,+a）
A.[-,
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
0）
直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,
黑色部分记为n.
其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I,n，川的概率分别记为
P1,P2,p3，则
11.已知双曲线
A.p1=p2
C.p2=p3
2
C:
1
3
分别为M、
N.若厶OMN
B.p1=p3
D.p1=p2+p3
为坐标原点，F为C的右焦点，过
F的直线与C
的两条渐近线的交点
为直角三角形，则|MN|=
A.3
2
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等,大值为
A33
A.
4
二、填空题：
本题共4小题，每小题
23
3
5分，共20分。
C.2.3
0
则a截此正方体所得截面面积的最
D.山
2
13.若x,y满足约束条件xy1y0
14.记Sn为数列an的前n项和若Sn
2an1，则S6
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
种•（用数字填写答案）
16.已知函数fx2sinxsin2x，则fx的最小值是.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一
J必考题：
60分。
17.
（12分）
在平面四边形ABCD中，ADC90,,A45,,AB2,BD5
（1）求
cos
ADB;
（2）若
DC
22，求BC.
18.
（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：
平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.（12分）
x2
设椭圆C:
y21的右焦点为F，过F的直线丨与C交于代B两点，点M的坐标为
2
（2,0）.
（1）当丨与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
OMAOMB.
20.（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验，设每
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