二次函数与方程组或不等式中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练最新整理.docx
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二次函数与方程组或不等式中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练最新整理
二次函数与方程(组)或不等式
◆知识讲解
(1)最大值或最小值的求法
第一步确定a的符号:
a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
(2)y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).
(3)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).
(4)抛物线与x轴的交点.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔△>0⇔抛物线与x轴相交.
②有一个交点(顶点在x轴上)⇔△=0⇔抛物线与x轴相切;
③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x轴相离.
(5)平行于x轴的直线与抛物线的交点.
同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
(6)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,
⎧y=kx+n
⎩
由方程组⎨y=ax2+bx+c的解的数目确定:
①当方程组有两组不同的解时⇔L与G有两
个交点;②方程组只有一组解时⇔L与G只有一个交点;③方程组无解时⇔L与G没有交点.
(7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:
观察图像时不要看漏了其中的部分.
◆例题解析
例1如图所示,已知抛物线y=-1x2+(5-
2
)x+m-3与x轴有两个交点A,B,
点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标;(3)问在抛物线上是否存在一点M,△MAC≌△OAC,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】抛物线与x轴交于A,B两点,OA=OB,故A,B两点关于y轴对称,就可求得m的值,由抛物线交y轴的正半轴,得m的确定值.
【解答】
(1)∵抛物线与y轴交于正半轴,且OA=OB.
⎧⎪m-3a>0
∴⎨
⎪⎩5-=0
由②得m=±5,由①m>3,故m=-5应舍去.∴m=5.
(2)抛物线的解析式为y=-1x2+2,对称轴是y轴,顶点C的坐标为C(0,2).
2
(3)令y=0得-1x2+2=0,∴x=±2.
2
∴A(2,0),B(-2,0),C(0,2),△OAC是等腰直角三角形.若存在一点M,使△MAC≌△OAC,∵AC为公共边,OA=OC,
∴点M与O关于直线AC对称,∴M点的坐标为(2,2).
当x=2时,-1x2+2=0≠2.
2
∴M(2,2)不在抛物线上,即不存在一点M,使△MAC≌△OAC.
【点评】存在性问题,通常是先假定存在,若能找出具备某种条件或性质的对象,就说明存在,其叙述过程就是理由;若不存在,就需要进一步说明理由.
例2已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图像与y轴的交点在原
点下方,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,且A,B两点到原点的距离AO,OB
满足3(OB-AO)=2AO·OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P,且锐角
∠POB的正切值4.
(1)求m的取值范围;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)确定直线y=kx+k的解析式.
【分析】利用抛物线与x轴的交点A,B的位置及与y轴交点的位置和A,B两点到原点的距离可以求出m的值,再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解.
【解】
(1)设点A,B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0)(x1∴△=[-(2m+4)]2-4(m2-4)>0.解得m>-2.①
又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方,
∴m2-4<0,∴-2(2)∵图像交y轴于负半轴,与x轴交于A,B两点,且x1∴x1<0,x2>0.
由3(OB-AO)=2AO·OB可得3[x2-(-x1)]=2(-x1)·x2
即3(x1+x2)=-2x1x2
由于x1,x2是方程x2-(2m+4)x+m2-4=0的两个根,所以x1+x2=2m+4,x1·x2=m2-4.
∴3(2m+4)=-2(m2-4)整理,得m2+3m+2=0.
∴m=-1或m=-2(舍去).
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(3)由y=x2-2x-3,得A(-1,0),B(3,0).
∵直线y=kx+k与抛物线相交,
⎧y=x2-2x+3,
⎩
∴由⎨y=kx+k,
⎧x1=-1,⎧x2=k+3,
解得⎨
⎩
2=0.
或⎨
⎩=k2+4k.
∵∠POB为锐角.
∴点P在y轴右侧,
∴点P坐标为(k+3,k2+4k),且k+3>0.
∵tan∠POB=4,
|k2+4k|
∴k+3=4.
如图所示,当点P在x轴上方时.
k2+4kk+3
=4.解得k1=2
,k2=-2.
经检验,k1=2
,k2=-2
都是方程的解,但k2+3<0.
∴k2=-2
舍去.
∴直线的解析式为y=2+2.
当点P在x轴下方时,
k2+4kk+3
=-4,
解得k3=-2,k4=-6.
经检验,k3=-2,k4=-6是方程的解,但k4+3<0.
∴k4=-6舍去.
∴y=-2x-2.
∴所求直线的解析式为y=2
x+2
,或y=-2x-2.
【点评】本题以求解析式为目标,综合了函数,一元二次方程根与系数的关系,三角函数等知识,综合性强,灵活性大,解题关键是认真审题,认真分析纷繁复杂的条件,从中找到解题的突破口,易错点是在第(3)小题中忽视分类讨论而失解.
◆强化训练一、填空题
1.
与抛物线y=2x2-2x-4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是.
2.
已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图像最低点在x轴上,那么a=
,此时
函数的解析式为.
3.(2006,湖北襄樊)某涵洞的截面是抛物线型,如图1所示,在图中建立的直角坐标系中,
抛物线的解析式为y=-1x2,当涵洞水面宽AB为12m时,水面到桥拱顶点O的距离
4
为m.
图1图2
4.(2006,ft西)甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为P,
1
羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=-
12
3
.如图2,已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为
2
s2+2s+
3
9
m,
4
设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导
致接球失败,则m的取值范围是.
5.
若抛物线y=1x2与直线y=x+m只有一个公共点,则m的值为.
2
6.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+5的图像与x轴只有一个交点,则a18+323a-6的值
4
为.
7.已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于.
8.(2008,安徽)图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像,在下列说法中:
①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随着x
的增大而增大.
正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号)
图3图4图5
二、选择题
9.(2006,绍兴)小敏在某次投篮球中,球的运动路线是抛物线y=-1x2+3.5的一部分(图
5
4),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离是()
A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m
10.
当m在可以取值范围内取不同的值时,代数
的最小值是()
A.0B.5C.3D.9
11.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示,则下列结论:
①a>0,②c>0,③b2-4ac>0,其中正确的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
12.抛物线y=x2+(2m-1)x+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围是()
1
A.
m>
4
1
B.m>-
4
1
C.m<
4
1
D.m<-
4
13.
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()
A.614.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的顶点在第一象限且经过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是()
A.0
15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是零,那么代数式│a│+
4ac-b2
4a
的化简结果是
()
A.aB.-aC.D.0
16.(2006,甘肃兰州)已知y=2x2的图像是抛物线,若抛物线不动,把x轴,y轴分别向上,向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2
C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2
三、解答题
17.(2006,吉林省)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状,大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(即NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.
18.(2008,安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,
其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-3x2+3x+1的一部分,如图所示.
5
(1)求演员弹跳离地面的最大高度;
(2)
已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4m,问这次表演是否成功?
请说明理由.
19.(2006,沈阳市)某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:
如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系:
yA=kx,并且当投资5万元时,可获利润2万元;
信息二:
如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:
yB=ax2+bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获得3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
(2)如果企业同时对A,B两种产品共投资10万元.请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
20.(2008,烟台)如图所示,抛物线L1:
y=-x2-2x+3交x轴于A,B两点,交y轴于M
点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2,L2交x轴于C,D两点.
(1)求抛物线L2对应的函数表达式;
(2)抛物线L1或L2在x轴下方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四
边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A,B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上,请说明理由.
21.已知:
二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,4),顶点在x轴上,且对称轴在y轴的右侧.设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,且OP:
PQ=1:
3.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△PAQ的面积;
(3)在线段PQ上是否存在一点D,使△APD≌△QPA,若存在,求出点D坐标,若不存在,说明理由.
22.(2005,武汉市)已知二次函数y=ax2-ax+m的图像交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点,x1(1)求此二次函数的解析式;
(2)在第一象限,抛物线上是否存在点P,使S△PAC=6?
若存在,请你求出点P的坐标;
若不存在,请你说明理由.
答案:
1.y=-2x2+2x+42.2;y=x2+4x+43.94.51
5.-
2
6.57967.68.①②④9.B10.B11.C
12.C13.C14.A15.B16.B
17.设抛物线解析式为y=ax2+6,依题意得,B(10,0).
∴a×102+6=0,解得a=-0.06.即y=-0.06x2+6,
当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,解得x=±5,
∴DF=5,EF=10,
即水面宽度为10m.
18.
(1)y=-3x2+3x+1=-3(x-5)2+19.
5524
∵-3<0,∴函数的最大值是19.
54
19
答:
演员弹跳离地面的最大高度是m.
4
(2)当x=4时,y=-3×42+3×4+1=3.4=BC,所以这次表演成功.
5
19.
(1)当x=5时,yA=2,2=5k,k=0.4.
∴yA=0.4x,当x=2时,yB=2.4;当x=4时,yB=3.2.
⎧2.4=4a+2b,
∴
⎩3.2=16a+4b.
∴yB=-0.2x2+1.6x.
⎧a=-0.2,
解得
⎩b=1.6.
(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(10-x)万元,获得利润W万元,根据题意可得W=-0.2x2+1.6x+0.4(10-x)=-0.2x2+1.2x+4.
∴W=-0.2(x-3)2+5.8.
当投资B种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元.
所以投资A种商品7万元,B种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.20.
(1)令y=0时,得-x2-2x+3=0,
∴x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).
∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2,
∴C(-1,0),D(3,0).
∴抛物线L2为y=-(x+1)(x-3).即y=-x2+2x+3.
(2)存在.如图所示.
令x=0,得y=3,∴M(0,3).
∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的,
∴点N(2,3)在L2上,且MN=2,MN∥AC.又∵AC=2,∴MN=AC.
∴四边形ACNM为平行四边形.
同理,L1上的点N′(-2,3)满足N′M∥AC,N′M=AC,
∴四边形ACMN′是平行四边形.
∴N(2,3),N′(-2,3)即为所求.
11
(3)设P(x1,y1)是L1上任意一点(y1≠0),则点P关于原点的对称点Q(-x1,-y1),且y1=-x2-2x+3,
1
将点Q的横坐标代入L2,得yQ=-x2-2x1+3=y1≠-y1.
∴点Q不在抛物线L2上.21.
(1)抛物线过(0,4)点.
∴c=4,
∴y=ax2+bx+4
又OP:
PQ=1:
3,
∴x1:
x2=1:
4
⎧y=x
⎩
由⎨y=ax2+bx+4
得ax2+(b-1)x+4=0,
∵x1,x2是该方程的两个根,
∴x+x=-b-1,x·x=4.
121
消去x1得25a=(b-1)2.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧
∴-b
2a
>0,
∴b<0,又抛物线的顶点在x轴上,
a
∴b2=16a得a=1,b=-4(b=4舍去).
9
∴y=x2-4x+4.
(2)如图所示,
S△PAQ=S△AQO-S△APO
11
=×4×x-×4×x=2(x-x)=2
=2=2
=6.
22
(3)存在点D,设D(m,n)易得P(1,1),Q(4,4),
由△APD∽△QPA得PA2=PQ·PD,运用勾股定理得│m-1│=5,得m=8或2.
333
∵1∴D(8,8).
33
22.
(1)∵AB=3,x1∵x2-x1=3.
由根与系数的关系有x1+x2=1,
∴x1=-1,x2=2.
∴OA=1,OB=2,x·x=m=-2.
12
∵tan∠BAC-tan∠ABC=1,
∴=1,
∴OC=2
∴m=-2,a=1.
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-2.
(2)在第一象限,抛物线上存在一点P使S△APC=6.
解法一:
过点P作直线MN∥AC交x轴于点M,交y轴于点N,连接PA,PC,MC,NA,如图所示.
∵MN∥AC,
∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
由
(1)有OA=1,OC=2
∴1×AM×2=1×CN×1=6,
22
∴AM=6,CN=12.
∴M(5,0),N(0,10).
∴直线MN的解析式为y=-2x+10.
⎨
⎧y=-2x+10,⎧x1=3,⎧x2=-4,
由2得⎨y=⎨
(舍去).
⎩y=x-x-2.⎩14.⎩y2=18.
∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.解法二:
设AP与y(0,n)(n>0).
∴直线AP的解析式为y=nx+n.
⎧y=x2-x-2,
⎩
⎨y=nx+n.
∴x2-(n+1)x-n-2=0,
∴xA+xP=n+1,
∴xP=n+2.
111
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=2CD·AO+2CD·xp=2CD(AO+xp).
∴1(n+2)(1+n+2)=6,n2+5n-6=0.
2
∴n=-6(舍去)或n=1.
∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.
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