数学竞赛中的平面向量问题.docx
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数学竞赛中的平面向量问题
数学竞赛中的平面向量问题
ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ
课余揽胜
平面向量具有几何形式与代数形式双重特征，能融数形于一体，它是沟通代数、平面几何、解析几何与三角函数的一种工具，是中学数学知识交汇的一条重要纽带．在高中数学竞赛中，平面向量问题所占的比重有增大的趋势，且凸现其综合性、灵活性和创新性．
数学竞赛中的
平面向量问题
◇
江西廖东明
一、求两向量数量积的取值范围或最值
例１
（２００５年第１６届“希望杯”高二第２
“!
"试）平面内的向量!
（１，１），Ｏ（－１，－１），点ＰＯＡ＝Ｂ＝"是抛物线ｙ＝ｘ２＋２（－３≤ｘ≤１）上任意一点，则!
ＡＰ!
"ＢＰ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．
解
由题意，可设点Ｐ（ｘ，ｘ２＋２）（－３≤ｘ≤１），
三、三角形的“透视”“心”
与三角形的外心、内心、垂心”有关的“重心、向量问题是一类极富思考性和挑战性的问题，备受竞赛命题者的青睐．
三角形可用向量的统一形式表示，探“四心”索如下：
设Ｏ为△ＡＢＣ内的任意一点，如图以ＯＡ所在的直线为ｘ轴，Ｏ为原点建立直角坐标系．并设ＯＡ＝ｍ，ＯＢ＝ｎ，ＯＣ＝ｐ，，∠ＡＯＣ＝β，０＜α，β∠ＡＯＢ＝α＜
ｙ
Ｂ
高一
人教大纲
"!
""!
"!
"!
"则!
（ｘ－１，ｘ２＋１），Ｂ（ｘ＋１，ＡＰ＝ＯＰ－!
ＯＡ＝Ｐ＝ＯＰ－ＯＢ＝!
"（ｘ－１，ｘ２＋１）（ｘ＋１，ｘ２＋３）＝ｘ４＋Ｐ＝ｘ２＋３），所以Ｂ
［－３，１］，所以ｘ２∈［０，９］，所以５ｘ２＋２．因为ｘ∈
专
业Ｓ
精心策划
!
"［２，１２８］．ＢＰ∈
点评
!
"将ＢＰ表示为关于ｘ的函数式，针
对该函数式及ｘ∈［－３，１］来求函数的值域．多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令ｔ＝ｘ２，
"!
"则!
［０，９］．ＡＰＢＰ＝ｔ２＋５ｔ＋２，ｔ∈
二、判断三角形的形状
注意从函数ｔ＝ｘ角
２
度来确定ｔ∈［０，９］，不要得出错误结论ｔ∈［１，９］．
，则Ａ（ｍ，０），Ｂ（ｎｃｏｓα，ｎｓｉｎα），Ｃ（ｐｃｏｓβ，－ｐｓｉｎβ）π
（点Ｃ在ｘ轴的下方）．由平面向量基本定理，设
例２（２００５年第３届高二初赛）Ｏ“创新杯”为△ＡＢＣ所在平面内一点，且满足（
!
"""ＯＢ－!
ＯＣ）（!
ＯＢ
!
"!
"!
"ＯＡ＝ｘＯＢ＋ｙＯＣ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则
!
"!
"Ｃ－２ＯＡ）＝０，则三角形形状为＿＿＿＿＿＿＿三角形．＋Ｏ
解即（
!
"""!
"!
"由条件，得ＣＢ（!
ＯＢ－!
ＯＡ＋ＯＣ－ＯＡ）＝０，
!
"!
"!
"!
"ＡＢ－ＡＣ）（ＡＢ＋ＡＣ）＝０，
’
，ｍ＝ｘｎｃｏｓα＋ｙｐｃｏｓβ，０＝ｘｎｓｉｎα－ｙｐｓｉｎβ
解得
（
__）__+
ｘ＝ｙ＝
ｍｓｉｎβ，ｍｓｉｎα．（）"!
""!
"所以!
ＡＢ２＝ＡＣ２，即!
ＡＢ＝ＡＣ．
所以△ＡＢＣ是等腰三角形．点评
!
""所以ｐｎｓｉｎ（α）Ｏ!
Ａ＝ｍｐｓｉｎβＯＢ＋ｍｎｓｉｎα＋β!
"，∠ＡＯＣ＝β，∠ＢＯＣ＝２π），ＯＣ．因为∠ＡＯＢ＝α－（α＋β
!
"!
"!
"所以Ｓ△ＯＢＣＯＡ＋Ｓ△ＯＣＡＯＢ＋Ｓ△ＯＡＢＯＣ＝０．
（１）若Ｏ是△ＡＢＣ的内心，设ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，
!
"!
"!
"!
""灵活运用ＯＢ－ＯＣ＝ＣＢ＝ＡＢ－!
ＡＣ等将
条件式中的字母Ｏ去除，转化为用三角形的边所对应的向量来表示，这是解决问题的思路．
ＡＢ＝ｃ，则利用面积公式Ｓ＝１ａｂｓｉｎＣ
和角平分线知
数学爱好者
"$#
课余揽胜
ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ
"#"$识易得Ｓ△ＯＢＣ∶Ａ－ｂＯＢ＋Ｓ△ＯＣＡ∶Ｓ△ＯＡＤ＝ａ∶ｂ∶ｃ，所以ａＯ"$（Ｃ＝０ｃＯ
"$"$"$或ｓｉｎＡＯＡ＋ｓｉｎＢＯＢ＋ｓｉｎＣＯＣ＝０）；
（２）若Ｏ是△ＡＢＣ的重心，则Ｓ△ＯＢＣ＝Ｓ△ＯＣＡ＝
"$"$ＡＡＢＣ"$$＋ＢＣ＝－"ＣＢｃｏｓ∠ＡＢＣｃｏｓ∠ＢＣＡＡＢＡＣ
-
$"$"$ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＝０；Ｓ△ＯＡＢ＝１Ｓ△ＡＢＣ，故"
（３）若Ｏ是△ＡＢＣ的外心，则Ｓ△ＯＢＣ∶Ｓ△ＯＣＡ∶
"$"$ＡＡＢＣ"$所以＋ＣＢ＝０，λＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ
"$表示垂直于ＢＣ的向量，即Ｐ点在过点Ａ且垂直于
-
ＢＣ的直线上，所以动点Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ
的垂心．故选Ｄ．
点评
正确理解向量的夹角公式ｃｏｓＡＢＣ＝
Ｓ△ＯＡＢ＝ｓｉｎ∠ＢＯＣ∶ｓｉｎ∠ＣＯＢ∶ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝ｓｉｎ２Ａ∶ｓｉｎ２Ｂ∶
"$"$"$ＯＡ＋ｓｉｎ２ＢＯＢ＋ｓｉｎ２ＣＯＣ＝０．ｓｉｎ２Ｃ，故ｓｉｎ２Ａ
另外，从几何角度看，Ｏ为△ＡＢＣ的外心’
"$$"$ＯＡ＝"ＯＢ＝ＯＣ；
（４）若Ｏ是△ＡＢＣ（非直角三角形）的垂心，则ＯＣｓｉｎ（πＳ△ＯＢＣ＝ＯＢ－Ａ）＝ＯＢＯＴｓｉｎＡ＝
（△ＯＣＡ）"$$$$ＡＢＡ"ＢＣ＝－"Ｂ"ＢＣ和审察所给式子的
ＢＣＢＣＢＡＡＢ
结构特征进行联想并活用公式整体处理是正确而快捷地解决本题的关键．还可推知：
“Ｏ是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足
ｔａｎＡ．其中ＣＯ的延长线交ＡＢ于Ｔ，∠ＡＯＴ＝∠Ｂ，
人教大纲
"$Ｏ"$Ｃ"$ＯＯＢ＋λ
ＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣ
"$ＡＢ
ＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ
"$ＡＣ
-，
∠ＢＯＴ＝∠Ａ，利用四点共圆知识得到．同理可得，
Ｓ△ＯＢＣ∶Ｓ△ＯＣＡ∶Ｓ△ＯＡＢ＝ｔａｎＡ∶ｔａｎＢ∶ｔａｎＣ．
（０，＋∞），则Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的外心．”λ∈
例４
已知Ｏ为△ＡＢＣ所在平面上的一点，
"$"$"$因此，ｔａｎＡＯＡ＋ｔａｎＢＯＢ＋ｔａｎＣＯＣ＝０．
当∠Ｃ＝９０°时，Ｏ与Ｃ重合，即Ｃ为垂心，此时
"$"$"$角Ａ、Ａ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣＢ、Ｃ所对的边为ａ、ｂ、ｃ，若ａＯ
＝０，则Ｏ为△ＡＢＣ的
Ａ．重心Ｃ．外心
解
（
）
专
业Ｓ
精心策划
"$"$ＣＡＣＢ＝０．
另外，着眼于图形中的垂直关系，还可得到：
Ｈ
Ｂ．内心Ｄ．垂心
高一
"$$"$$"$$为△ＡＢＣ的垂心’ＨＡ"ＨＢ＝ＨＢ"ＨＣ＝ＨＣ"ＨＡ"$"$"$"$"$$（如ＨＡＨＢ＝ＨＣＨＡ’ＨＡ"ＢＣ＝０）；Ｈ为△ＡＢＣ
２２２２$$"$$"$的垂心’"ＨＣ２＋ＨＨＡ＋ＢＣ＝"Ｂ＋ＣＡ＝"
"$"$"$$"$"$因为ａＯＡ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣ＝０，"ＯＢ＝ＯＡ＋ＡＢ，
"$ＡＢ
２
"$"$$$$（如ＨＢＨＡＡ２＋"Ｃ２＝"Ｃ２＋"Ｂ２’ＡＣ
"$"$"$$"$"$（ａ＋ｂ＋ｃ）"ＯＣ＝ＯＡ＋ＡＣ，ＡＯＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，所以
"$$Ｂ＋"ＣＡＡｂｃ"$"$"$即ＡＯ＝＋ｂＡＢ＋ｃＡＣ＝０，．ＡＢＡＣ
-
"$ＨＢ＝０’ＨＢ⊥ＡＣ）．
例３（２００７年宁波高一二试）Ｏ是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满
"$"$Ａ"$"$"$"$$设"ＡＤ＝ＡＢ，ＡＥ＝Ｃ，ＡＰ＝ＡＢ＋ＡＣ＝
ＢＡ
ＣＡ
ＢＡ
ＣＡ
"$"$ＡＤ＋ＡＥ，
则四边形ＡＤＰＥ为平行四边形，因为
"$"$足ＯＰ＝ＯＡ＋λ
＋Ａ*Ｂｃｏｓ∠ＡＢＣＡＣｃｏｓ∠ＢＣＡ
，）
"$ＡＢ"$ＡＣ
"$"$"$"$ＡＤ、ＡＥ分别为ＡＢ、ＡＣ方向上的单位向量，即"$"$ＡＤ＝ＡＥ＝１，所以四边形ＡＤＰＥ为菱形，所以$ＡＯ＝ＡＰ平分∠ＢＡＣ．又"
ｂｃ"$ＡＰ，所以ＡＯ平分
（０，＋∞），则Ｐ的轨迹一定通过△ＡＢＣ的（λ∈
Ａ．外心Ｃ．重心
解
Ｂ．内心Ｄ．垂心
将所给的条件式化为
∠ＢＡＣ．同理，可得ＢＯ平分∠ＡＢＣ，ＣＯ平分∠ＡＣＢ．
"$ＡＰ＝λ
由于
故Ｏ为△ＡＢＣ的内心．
点评
探求ＡＯ在△ＡＢＣ中的特征时应将
"$ＡＢ＋ＡＢｃｏｓ∠ＡＢＣ
Ｃｃｏｓ∠ＢＣＡＡ
"$ＡＣ
-
，
"$"$ＯＢ、ＯＣ转化掉，用跟△ＡＢＣ的边有关的向量表示，"$在建构出的新的向量关系等式中寻觅ＯＡ在△ＡＢＣ
$数学爱好者#"
ＫｅＹｕＬａｎＳｈｅｎｇ
课余揽胜
中的特征．
四、平面几何中的求值问题
例５
（２００６年第
（２）证明：
ｉ＝１
）+ｎ
ｉ
＜３．
证明（１）因为ａ（ｘ≠ｂ＝－１，所以ｙ＝ｘ３－ｘ＋１（ｘ≠０）．又因为）（０），即ｙ－１＝ｘ－ｘｆａｉ）－ｎ＝）ａｉ３－
３
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
高二第２“希望杯”１７届
试）如图，在△ＡＢＣ中，
Ｐ"#"$"$已知ＢＤ＝２ＤＣ，ＡＭ＝３"$Ｄ，过点Ｍ作直线交Ｍ
（ｎ∈Ｎ＊），所以）ａ－ｎａｎ
２
３
ｉ
ｉ＝１
ｎ
）ａ＝）ａ
ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎｎ
３ｉ－ｎ２ａｎ，所以
①
ＡＢ、ＡＣ于Ｐ、Ｑ两点，则ＡＢ＋２ＡＣ＝＿＿＿＿＿＿＿．
解
ｉ＝１
）ａ＝ｎａ，
ｉ
２ｎ
ｎ
"$$"$"$$构造基底ＡＢ＝ａ，"ＡＣ＝ｂ，则ＢＣ＝ＡＣ－"ＡＢ＝
又因为
ｉ＝１
（）ａ＝
ｉ
ｎ－１
ｎ－１）２ａｎ－１，②
$"$$$ＢＤ＝２ＢＣ＝２ｂ－ａ），"ＤＣ＝１"ＢＣ＝１ｂ－ａ），ｂ－ａ，"
"$"$"$"$$ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝１ａ＋２ｂ，ＡＭ＝３"ＡＤ＝１ａ＋１ｂ．
"$"$"$"$设ＡＰ＝λＡＢ＝λＱ＝μＡＣ＝μａ，Ａｂ，因为点Ｐ，Ｑ，"$"$（１－ｍ）ＡＡ$Ｍ＝Ｐ＋ｍＡＱ（ｍ∈Ｒ），Ｍ三点共线，所以"
于是１ａ＋１ｂ＝（１－ｍ）λａ＋ｍμｂ．又ａ、ｂ不共线，所
两式相减得：
ａｎ＝ｎ２ａｎ－（ｎ－１）２ａｎ－１，所以ａｎ＝
ｎ－１
ｎ－１，则ａ＝ａｎａｎ－１ａｎ－２ａ２ａ＝ｎ－１×
ｎ１
ｎ－１ｎ－２ｎ－３１ｎ－２ｎ－３×２－１１＝１ｎ∈Ｎ＊）；。
（２）由（１）得：
人教大纲
）+＝）+ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎｎ
，因为
＜－
ｎ
以１＝（１－ｍ）λ且１＝ｍμ，消去ｍ，得１＋１＝１，
+
２
＜
+
ｎ
＝
２
"$２"$
即１＋２＝４，所以ＡＢ＋２ＡＣ＝ＡＢ＋ＡＣ＝
ＡＰＡＱ
（+（+＋+）ｉ－１）（ｉ＋１）
１
+专业Ｓ
精心策划
１＋２＝４．点评
基底建模是向量法解决几何图形有关
１（ｉ≥２）．所以）
ｉ＝１++
＝（）
+
＋
）ｉ＝２一
高
证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件密切联系．尽管可以利用“点
+
＜+
１＋（１）＝－）ｉ＝２++ｎ
+
$"$来建立关ＭＰ＝ｔＱＭ”Ｐ，Ｑ，Ｍ三点共线"
＋１＋
+
－１－１＜１＋+＜３．
++
在本道试题中，
平面向量是函数
$$系等式，但不及利用性质“"ＯＡ，"ＯＢ不共线，点Ｐ在"$"$"$来、Ｐ＝λＯＡ＋μＯＢ，且λＡＢ上Ｏ＋μ＝１，λμ∈Ｒ．”
解决与三点共线相关的问题简单．
点评
（ｘ）的“外衣”，揭去外衣即可看到函数ｙ＝ｆ（ｘ）ｙ＝ｆ
的真面目．注意到４ｉ＝２ｉ＋２ｉ＞（ｉ＋１）＋（ｉ－１）＋２（＝（+＋+）２，这是实现放缩+
逼近目标的关键！
随着学习的深入，我们还将看到平面向量与不等式的交汇，平面向量与解析几何的“亲密接触”．平面向量的纽带作用和工具作用是巨大的．
五、平面向量与数列的交汇
例６
（２００７年宁波高一二试）已知函数
（ｘ）满足ａ＝（ｘ２，ｙ），ｂ＝（ｘ－１，－１）且ａｙ＝ｆｂ＝－１．如
果存在正项数列
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