数学竞赛中的平面向量问题.docx

1、数学竞赛中的平面向量问题数学竞赛中的平面向量问题 课余揽胜 平面向量具有几何形式与代数形式双重特征，能融数形于一体，它是沟通代数、平面几何、解析几何与三角函数的一种工具，是中学数学知识交汇的一条重要纽带在高中数学竞赛中，平面向量问题所占的比重有增大的趋势，且凸现其综合性、灵活性和创新性 数学竞赛中的 平面向量问题 江西廖东明 一、求两向量数量积的取值范围或最值 例 （年第届“希望杯”高二第 “!试）平面内的向量!（，），（，），点是抛物线（）上任意一点，则! !的取值范围是 解 由题意，可设点（，）（）， 三、三角形的“透视”“心” 与三角形的外心、内心、垂心”有关的“重心、向量问题是一类极富

2、思考性和挑战性的问题，备受竞赛命题者的青睐 三角形可用向量的统一形式表示，探“四心”索如下： 设为内的任意一点，如图以所在的直线为轴，为原点建立直角坐标系并设， 高一 人教大纲 !则!（，），（，!（，） （，），所以 ，所以，所以因为 专 业 精心策划 !， 点评 !将表示为关于的函数式，针 对该函数式及，来求函数的值域多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令， !则!， ， 二、判断三角形的形状 注意从函数角 度来确定，不要得出错误结论， ，则（，），（，），（，） （点在轴的下方）由平面向量基本定理，设 例（年第届高二初赛）“创新杯”为所在平面内一点，且满足（ !）（! ! （，）

3、，则 !），则三角形形状为三角形 解即（ !由条件，得（!）， !）（）， ， 解得 ( _)_+ ，（）!所以!，即! 所以是等腰三角形点评 !所以（） ! !，），因为（ !所以 （）若是的内心，设， !灵活运用!等将 条件式中的字母去除，转化为用三角形的边所对应的向量来表示，这是解决问题的思路 ，则利用面积公式 和角平分线知 数学爱好者 $# 课余揽胜 #$识易得 ，所以 $（ $或 ）； （）若是的重心，则 $ - $；，故 （）若是的外心，则 $所以， $表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于 - 的直线上，所以动点的轨迹一定通过 的垂心故选 点评 正确理解向量的夹角公式 $ ，故 另

4、外，从几何角度看，为的外心 $； （）若是（非直角三角形）的垂心，则 （） （）$ 和审察所给式子的 结构特征进行联想并活用公式整体处理是正确而快捷地解决本题的关键还可推知：“是平面上一定点，平面上不共线的三个点，动点满足 其中的延长线交于， 人教大纲 $ $ $ -， ，利用四点共圆知识得到同理可得， （，），则的轨迹一定通过的外心” 例 已知为所在平面上的一点， $因此， 当时，与重合，即为垂心，此时 $角、所对的边为、，若 ，则为的 重心外心 解 （ ） 专 业 精心策划 $ 另外，着眼于图形中的垂直关系，还可得到： 内心垂心 高一 $为的垂心 $（如 ）；为 $的垂心 $因为， $ $

5、（如 $（），所以 $即， - $） 例（年宁波高一二试）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满 $设， $， 则四边形为平行四边形，因为 $足 * ，） $ $、分别为、方向上的单位向量，即$，所以四边形为菱形，所以$平分又 $，所以平分 （，），则的轨迹一定通过的（ 外心重心 解 内心垂心 将所给的条件式化为 同理，可得平分，平分 $ 由于 故为的内心 点评 探求在中的特征时应将 $ $ - ， $、转化掉，用跟的边有关的向量表示，$在建构出的新的向量关系等式中寻觅在 $数学爱好者# 课余揽胜 中的特征 四、平面几何中的求值问题 例 （年第 （）证明： )+ 证明（）因为 （，所以

6、（）又因为)（），即）) 高二第“希望杯”届 试）如图，在中， #$已知，$，过点作直线交 （），所以) ) ，所以 、于、两点，则 解 )， $构造基底，则 又因为 （) ）， $），）， $， $设，因为点，$（）$（），三点共线，所以 于是（）又、不共线，所 两式相减得：（），所以 ，则 ）；。（）由（）得： 人教大纲 )+)+ ，因为 以（）且，消去，得， + + $ 即，所以 （+（+）（） +专业 精心策划 点评 基底建模是向量法解决几何图形有关 （）所以) + （） + )一 高 证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件密切联系尽管可以利用“点 + + （）)+ + $来建立关”，三点共线 + + + 在本道试题中， 平面向量是函数 $系等式，但不及利用性质“，不共线，点在$来、，且上，” 解决与三点共线相关的问题简单 点评 （）的“外衣”，揭去外衣即可看到函数（） 的真面目注意到（）（）（+），这是实现放缩+ 逼近目标的关键！ 随着学习的深入，我们还将看到平面向量与不等式的交汇，平面向量与解析几何的“亲密接触”平面向量的纽带作用和工具作用是巨大的 五、平面向量与数列的交汇 例 （年宁波高一二试）已知函数 （）满足（，），（，）且 如 果存在正项数列