数学建模论文钢管下料.docx
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数学建模论文钢管下料
数学建模
承诺书
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1.陈夏玲
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3.熊明利
指导教师或指导组负责人（打印并签名）：
日期：
2013年6月16日
钢管下料问题的建模与求解
问题：
某钢管零售商从钢管厂进货将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管进货时，得到的原料钢管的原料都是1850mm。
现有一客户需要15根295mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程规定所使用的切割模式的总类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值得1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？
二、摘要
本文以钢管下料为背景，在尽量减少余料浪费，简化生产过程等约束条件下，应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。
首先通过提取问题中的有用信息，即所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品）等，可以列出一系列约束条件。
由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同，为了简便起见，对问题进行了一些简化假设，然后在这些假设下建立了数学规划模型，对问题进行了初步解答。
得出最优切割方案为：
共需要19根钢管，其中14根原料钢管分别切割90mm、315mm、350mm、455mm钢管为1根，2根，0根，2根；4根原料钢管切割为0根，0根，5根，0根；1根原料钢管切割为2根，0根，1根，2根；最后对本文所建立的模型又进行了较为全面的分析和评价，并指出了一些改进的方向。
数学规划问题在实际生产、生活中非常常见，因此本文的建模思想对于该类其他问题的处理方法也具有一定的启发作用
关键字数学规划切割模式LINGO
三、问题重述
通过阅读问题题目可知，该问题主要目的是要从一批长度为1850mm的
原料钢管中切割出15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm三种特定长度的成品钢管。
合理的切割模式确定后，需要得出使切割总费用最小的切割方案。
问题中的原料和成品长度都有限定，切割费用也与切割模式的使用频率有关。
其中约束条件主要有：
（1）原料钢管长度的约束，在不同切割模式下，成品的总长度不能大于1850mm；
（2）切割产生的成品根数的约束，每根根钢管最多生产5根成品钢管；
（3）切割后余料长度的约束，每根钢管在每种切割模式下的余料不能超过100mm；
（4）切割模式种类的约束，最终使用的切割模式不能超过4种；
（5）费用的计算方式是与切割模式的使用频率有关的。
问题求解
问题分析：
首先，应当确定哪些切割模式是可行的，所谓的切割模式，是只按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合，例如：
我们可以将1850mm的钢管切割成3根290mm和2根455mm的钢管，余料为70mm；或者将1850mm的钢管切割成4根455mm的钢管，余料为30mm；显然，可行的切割模式有多种。
其次，应当确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于各户需要的钢管的最小尺寸，但题目已明确规定余料浪费不能超过100mm（一根原料钢管最多生产5根产品）。
例如：
将1850mm钢管切成3根290mm的钢管是可行的，但废料为880mm可以进一步将880mm的余料切割成两根455mm（余料为70mm）等，在这种合理性假设下切割模式一共有10种，如表1所示：
290mm钢管根数
315mm钢管根数
350mm钢管根数
455mm钢管根数
余料（mm）
模式1
3
0
0
2
70
模式2
2
1
0
2
45
模式3
2
0
1
2
10
模式4
2
1
0
2
10
模式5
1
2
0
2
20
模式6
0
3
1
1
100
模式7
0
2
2
1
65
模式8
0
1
3
1
30
模式9
0
0
5
0
100
模式10
0
0
0
4
30
经过我们筛选选出其中余料最少四种模式：
290mm
钢管根数
315mm
钢管根数
350mm
钢管根数
455mm
钢管根数
余料mm
模式1
2
0
1
2
10
模式2
1
2
0
2
20
模式3
0
1
3
1
30
模式4
0
0
0
4
30
表2.钢管下料合理简单切割模式
问题化为满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管使得总费用最小下面将对此进行讨论
三：
模型假设
（1）假设钢管零售商从钢管厂进的货均为合格品；
（2）假设每次切割时机器工作正常，且每次切割均符合要求；
（3）假设每次按要求切割的钢管均符合顾客要求；
（4）假设不考虑余料的循环利用和其作为废品所带来的价值；
（5）假设不考虑切割时产生的废屑；
（6）假设模式使用频率相同时，其产生的增加费用相同；
四：
模型建立
决策变量：
用xi表示按照第i种模式（i=1，2，3，4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm,315mm,350mm,455mm的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i（非负整数）.用c表示每根钢管的费用，c为大于0的常数.z为总费用.
决策目标：
以切割获得费用最小为目标，则由表1及使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根钢管价值的2/10增加费用，依次类推.根据各种长度原料钢管的所需根数，可以确定模式2的使用频率最高，模式3次之，模式1第三，模式4最低.由此得总费用的目标函数为：
MinZ=cx1+cx2+cx3+cx4+0.3cx1+0.1cx2+0.2cx3+0.4cx4
=1.3cx1+1.1cx2+1.2cx3+1.4cx4
（1）
约束条件：
考虑到规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），可以列出一系列约束条件
1、切割次数有：
r11+r21+r31+r41≦5;（第一种模式下切割次数不超过5）
（2）
r12+r22+r32+r42≦5;（第二种模式下切割次数不超过5）（3）
r13+r23+r33+r43≦5;（第三种模式下切割次数不超过5）（4）
r14+r24+r34+r44≦5;（第四种模式下切割次数不超过5）（5）
2、每种切割模式下一根钢管的使用情况有：
1840≦290×r11+315×r21+350×r31+455×r41≦1850;（6）
1830≦290×r12+315×r22+350×r32+455×r42≦1850;（7）
1820≦290×r13+315×r23+350×r33+455×r43≦1850;（8）
1820≦290×r14+315×r24+350×r34+455×r44≦1850;（9）
3、针对客户要求有：
x1×r11+x2×r12+x3×r13+x4×r14≧15;（10）
x1×r21+x2×r22+x3×r23+x4×r24≧28;（11）
x1×r31+x2×r32+x3×r33+x4×r34≧21;（12）
x1×r41+x2×r42+x3×r43+x4×r44≧30;（13）
4、每种模式的使用频率：
有（x1+x2+x3+x4）≧（290×15+315×28+350×21+445×30）／1850≈18.3
故有：
x1+x2+x3+x4≧19（14）
若一根钢管只生产290mm的钢管可切割6根，但每种切割模式下切割次数不能多于4次，故一根钢管应该切割290mm钢管5根，那么切割15根290mm的钢管需要3根原材料；同理可知，若只生产315mm的钢管，为满足28根315mm钢管，需要6根原材料；若只生产350mm的钢管，为满足21根350mm钢管，需要5根原材料；若只生产455mm的钢管，为满足301根455mm钢管，需要8根原材料。
所以共需3+5+6+8=22根钢管。
综上有：
19<=x1+x2+x3+x4≦22（15）
将
（1）—（15）构成的模型输入LINGO如下：
Model:
Min=1.3x1+1.1x2+1.2x3+1.4x4
St
x1*r11+x2*r12+x3*r13+x4*r14>=15;
x1*r21+x2*r22+x3*r23+x4*r24>=28;
x1*r31+x2*r32+x3*r33+x4*r34>=21;
x1*r41+x2*r42+x3*r43+x4*r44>=30;
1840<=290*r11+315*r21+350*r31+455*r41;
1830<=290*r12+315*r22+350*r32+455*r42;
1820<=290*r13+315*r23+350*r33+455*r34;
1820<=290*r14+315*r24+350*r34+455*r44;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r34<=1850;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;
r11+r21+r31+r41<=5;
r12+r22+r32+r42<=5;
r13+r23+r33+r43<=5;
r14+r24+r34+r44<=5;
x1>x2;
x2>x3;
x3>x4;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;
@gin（r11）;@gin（r12）;@gin（r13）;@gin（r14）;
@gin（r21）;@gin（r22）;@gin（r23）;@gin（r24）;
@gin（r31）;@gin（r32）;@gin（r33）;@gin（r34）;
@gin（r41）;@gin（r42）;@gin（r43）;@gin（r44）;
End
经过运行，得到输出如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
33.60000
Objectivebound:
33.60000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
502
Totalsolveriterations:
25341
ModelClass:
PINLP
Totalvariables:
20
Nonlinearvariables:
20
Integervariables:
20
Totalconstraints:
20
Nonlinearconstraints:
4
Totalnonzeros:
90
Nonlinearnonzeros:
32
VariableValueReducedCost
X112.000000.000000
X212.000002.400000
X34.0000001.200000
X40.0000001.400000
R112.0000000.000000
R121.0000000.000000
R130.0000000.000000
R142.0000000.000000
R210.0000000.000000
R222.0000000.000000
R231.0000000.000000
R240.0000000.000000
R311.0000000.000000
R320.0000000.000000
R333.0000000.000000
R341.0000000.000000
R412.0000000.000000
R422.0000000.000000
R431.0000000.000000
R442.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
133.60000-1.000000
221.000000.000000
30.0000000.000000
43.0000000.000000
522.000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
920.000000.000000
1010.000000.000000
1120.000000.000000
1230.000000.000000
1310.000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
180.000000-1.300000
198.0000000.000000
204.0000000.000000
即按照模式1切割5根原钢管，按照模式2切割3根原钢管，按照模式3切割5根原钢管，按照模式4切割7根原钢管，可使总费用最少为33.6c。
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：
高等教育出版社，2003.8
[2]lingo基本教程：
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