初二全年的数学知识.docx

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初二全年的数学知识

初二数学年级：

初二科目：

数学时间：

10/13/200520:

3:

14新　　　ID=3778289

老师,您好,请您给我总结一下初二全年的数学知识.谢谢!

第一章：

勾股定理

第一节探索勾股定理

1、　勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a、b斜边为c那么

　即直角三角形两直角平方和等于斜边和平方。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股。

斜边称为弦

2、　勾股定理的验证方法

观察图形，

是由4个全等的直角三角形拼成的，得到一个以a+b为边长的大正形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形所以大正方形的面积可表示成

　因此

3、　勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角“形”的特征，转化为三边“数”

的关系，因此它是数形结合的一个典范，勾股定理不仅应用于几何的计算与推理，而且广泛地应用于代数、直角和其他自然科学以及工程技术。

农业生产、日常生活中。

规律方法

1、勾股定理和特征：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

2、利用勾股定理解决问题须满足两个特征：

（1）在直角三角形中;

（2）已知两边，求第三边或第三边的平方。

3、用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用，在没有现成的直角三角形时，要善于构造三角形。

第二节能得到直角三角形吗？

1、　直角三角的判别条件（勾股定理的逆定理）

如果三角形的三边长a,b,c,满足

　那么这个三角形是直角三角形。

如图，

在ΔABC中，如果

　那么ΔABC是直角三角形，∠C是直角。

2、　勾股数

　满足

的三个正数，称为勾股数。

如：

，所以3,　4，　5，是一组勾股数

常见的勾股数有3，4,　5;　5,　12,　13;8,15,17;9,40,41;……

规律方法

1、勾股数公式:

只要用大于0的任何一个自然数分别代入公式，便可得到一组勾股数。

2、根据直角三角形和判别条件判定一个三角形是直角三角形，需要通过代数运算来得到结论。

3、直角三角形和判别在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来确定直角。

如　农村建房时，

常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常利用勾股定理的理论知识解决问题。

第三节蚂蚁怎样走最近

1、　运用勾股定理求最短距离

2、　运用直角三角形判别条件解决问题

规律方法

本节讲解勾股定理和直角三角形判别条件应用，应用勾股定理解决现实中“路线最短”的问题，方法是将原来的曲面或多个平面展开成为一个平面去解，运用公理“两点之间，线段最短”，同时运用勾股定理，在一个三角形中求出这个最短距离，直角三角形的判别条件用来判断一个三角形中求出这个最短距离，直角三角形的判别条件用来判断一个三角形是否是直角三角形。

本节充分运用了直角三角形的判别条件，解决现实活中判断两线　否垂直的问题，应用过程既渗透了操作方法，又给予了操作的理论基础。

第二章实数

第一节数怎么又不够用了

　　无理数的概念

无限不循环小数叫做无理数，例如圆周率π＝3.1415926……，是一个无限不循环小数，因此它是一个夫理数，再如：

5.010010001……（相邻两个1之间零的个数逐次增加）也是无理数。

规律方法

无理数是一种与有理数不同的数，要注意“无限不循环小数”与“无限循环小数”之间的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。

第二节平方根

1　算术平方根

如果一个正数x的平方等于a，即

那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“

”，读作

“根号a”

2、　平方根的概念　

如果一个数x的平方等于a，即

，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）

3、　开平方的概念

求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方数，

规律方法

算术平方根与平方根概念的区别与联系，即正数只有一个算术平方根且为正数，而平方根有两个，它们互为相反数，且算术平方根是平方根之一。

第三节立方根

1、　立方根的概念

如果一个数x的立方等于a，即

，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。

如：

2是8的立方根；

的立方根；0　是0的立方根。

2、　开立方的概念

求一个数a的立方根的运算叫做开立方根，其中a叫做被开方数。

规律方法

平方根与立方根两者之间的区别与联系如下表：

第四节公园有多宽

1、　估算一个无理数的大致范围围

2、　比较两个数的大小

例如：

比较

与3的大小，因为

＝5，而

规律方法

估算一个根号表示的无理数，一般采用夹逼方法。

根据误差，确定其范围时，可借助计算器通过寻找邻近折两个数的方法进行。

第五节用计算器开方

　利用科学计算进行开方运算

开方运算要用到键“

”和　“

”　

（1）开平方运算，按键顺序为：

被开方数

（2）开立方运算，按键顺序为：

被开方数

规律方法

运用计算器求平方根和立方根时，要自已探索并熟悉计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展推理能力。

第六节　实数

1　实数的概念

有理数和无理数统称为实数。

即实数可分为有理数和无理数，实数也可以分为正实数、零、负实数。

2、　实数的相反数、倒数、绝对值的意义

有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍有意义，即：

（1）任何一个实数a，都有一个相反数－a；

（2）任何非零实数a，都有其倒数

；（3）正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0

3、　实数的运算

（1）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

如

规律方法

对实数分类，有不同的方法，按实数的概念分为有理数和无理数，按符号性质分为正实数0、负实数，对带有根号的数进行化简时，其结果的被开方数中为能含分母和开得尽方的因式。

进行实数的四则运算时，有理数法则和运算律对实数同样适用。

第三章图形的平移与旋转

第一节生活中和平移

1、平移的概念：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移

说明：

平移不改变图形的形状大小，平移是移动的方向和距离所决定的

2，平移的性质

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等

注意：

①，在平移过程中，对应线段可能在一条直线上，②在平移过程中，对应点所连的线段也可能在同一条直线上

规律方法：

1、平移运动后，平面图形的相关几何元素全部保持对应相等（包括对应线段、对应角、对应高线、对应图形的面积、对应图形的形状等等）

2、平移的基本图形有

第二节简单的平移作图

平移作图：

1、平移作图的分类

（1）已知原图和一对应点，求作平移的图形

（2）已知原图和一对对应边，求作平移后的图形

（3）已知原图和平移的方向，平移距离，求作平移后的图形

2、平移作图的步骤方法

（1）分析题目的要求，找出平移的方向和平移的距离

（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点

（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点

（4）连接所作的各个关健点，并标上相应的字母

（5）写出结论（方格纸作图可以略写结论）

规律方法：

1、确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，关健条件是平移的方向和平移的距离。

2、画出简单的图形的平移图形，关健是先确定一些关健点的平移后的位置，再按原来的方式连接相应各点便可得到所求图形

3、在一个通过平移得到的复合图案中，探索图案之间的平移关系，首先要确定“基本图案”，再研究其他图案是由“基本图案”通过怎样的平移得到的，“基本图案”可以是一个图形，也可以是由几个图形组成的一个组合图形

4、利用平移，可以将一个简单的图形的一部分平移到图形的对称位置，形成一个新的图形，以这新图形为“基本图案”，通过连续平移便可设计出一个图案。

第三节生活中的旋转

1、　旋转的概念

在平面内，将一个图绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样有图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

2、　旋转的性质

（1）旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形有大小、形状都不改变

（2）旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。

（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

规律方法

1、把握旋转定义应与生活实际相联系，例如：

钟表的指针的旋转，方向盘的转动，汽车轮胎的旋转，风车的旋转等等。

2、理解旋转定义可以从三个“一”下手，即“一个定点，一个方向，一个角度，”有利于与平移运动定义联系并与之区分。

3、旋转前后的图形在用几何符号表示时，对应顶点字母应对应摆放，方便寻找对应顶点，对应边，对应角，旋转角。

4、掌握旋转性质，可以充分利用相关工具（刻度尺、量角器）进行测量，从实践当中加深对性质的理解

5、旋转运动前后图形的特点可以类似平移运动，用“全等变换”进行理解

6、对于旋转角，一般通过对顶点到旋转中心连线的夹角予以确定。

第四节简单的旋转作图

1、　旋转作图的分类

（1）已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形。

（2）已知原图、旋转中心和一对对应线般，求作旋转后的图形。

（3）已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形。

2、　旋转作图的步骤方法

（1）分析题目要求，找出旋转中心、旋转角。

（2）分析所作图形，找出构成图形的关键点。

（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点。

（4）连接所作的各个关键点，并标上相应字母。

（5）写出结论（方格纸作图可以略写结论）。

规律方法

1、作简单平面图形绕定点旋转一定角度后的图案，只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度，然后再按原来的式样连接这些点而成。

2、要确定一个简单平面图形旋转后位置，除需要此平面图形原来的位置外，还需要知道旋转中心和旋转角。

第五节它们是怎样变过来的

　图形之间变换关系的类型

（1）平移变换；

（2）旋转变换；

（3）轴对称变换；

（4）旋转变换与平移变换的组合；

（5）旋转变换与轴对称变换的组合；

（6）轴对称变换与平移变换的组合。

规律方法

1、有些图形可以通过平移、对称。

旋转中的某些变换，经过多种方式形成，过程并非惟一。

2、分析各类变换方式都应先找出进行变换的基本图形。

3、并非所有的图形都可以通过一次平移或旋转变换得到。

第六节简单的图案设计

1、　设计图案所能应用的变换类型

（1）平移变换

（2）旋转变换

（3）轴对称变换

（4）旋转变换与平移变换

（5）旋转变换与对称变换的组合

（6）轴对称变换与平移变换的组合

2、　图案设计的一般过程

（1）选择基本图形

（2）制定设计思路

（3）遵照平移、旋转或对称的基本操作对基本图形及组合进行变化，便得到相应的图案。

规律方法

1、对生活中的图案，运用平移、旋转、轴对称的观点分析其形成过程，关键是在图案中找到“基本图案”，并运用平移、旋转、轴对称的组合进行变化，检验是否形成给出图案

2、运用平移、旋转或轴对称进行图案设计首先要选择基本图形，然后制定设计思路，再遵照平移、旋转或轴对称的基本操作及其组合进行变化，便可得到相应的图案。

第四章四边形性质探索

第一节　平行四边形的性质

1、　平行四边形的有关概念

（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线

（3）平行四边形的表示方法：

如图4—1—1所示的四边形ABCD是平行四边形，记作

“

ABCD”，读作“平行四边形ABCD”，线段BD就是

ABCD的一条对角线。

2、　平行四边形的性质

（1）从边看：

平行四边形的对边平行且相等。

（2）从角看：

平行四边形的对角线相等，邻角互补。

（3）从对角线看：

平行四边形的对角线互相平分。

3、　平行线之间的距离

若两条直线互补平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平分线之间的距离。

规律方法

1、平行四边形分割成我们熟悉的三角形，再利用三角形全等的有关知识来研究。

2、充分利用平移、旋转的方法来研究平行四边形。

3、从平行四边形的边、角、对角线三个方面去认识平行四边形。

第二节　平行四边形的判别

1、知识点1平行四边形的判别方法

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

规律方法

1、平行四边形的定义（即：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形）是判别一个四边形是平行四边形的根本方法。

2、利用平行四边形的对角线平行四边形分割成我们熟悉的三角形，再利用三角形全等的有关知识来探究平行四边形。

3、从平行四边形的边、角、对角线三个方面去判别平行四边形。

第二节　菱形　

1、　菱形的定义

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、　菱形的性质

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

（3）菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都慢对称轴

2、　菱形的判别方法

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

规律方法

1、利用旋转、平移、对称的思想来研究菱形的有关知识。

2、利用菱形两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，再利用直角三角形的有关知识，如勾股定理、两锐角互余等。

3、利用同一个菱形两种不同的面积求法，来求要关线段的长度。

4、菱形是特殊的平行四边形，只有在平行四边形的前提下，外加对角线互相垂直可一组邻边相等，才能得菱形。

第四节　矩形、正方形

1、矩形的定义

有一个内角的直角的平行四边形叫做矩形

2、矩形的性质

（1）矩形具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的对角线相等。

（3）矩形的四个角是直角。

（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

3、矩形的常用判别方法

（1）、由定义：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形

（2）、对角线相等的平行四边形是矩形。

（4）四个角都相等的四边形是矩形。

4、正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形

5、正方形的性质

（1）、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（2）、正方形是由轴对称图形，有四条对称轴

6、正方形的常用判别方法

（1）有一个内角是直角的菱形是正方形。

（2）邻边相等的矩形是正方形。

（3）对角线相等的菱形是正方形。

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。

7、正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间的关系（如图）

规律方法

1、从边、角、对角线三个方面去理解，特别是对角线性质的区别。

2、矩形、正方形的判别方较多，要注意多角度去理解。

3、注意在平行四边形、菱形、矩形、正方形中的特殊三角形的应用，即这两个直角三角形如　

都可以出现。

搞清上述这两个三角形的边、角关系，有助于提高解题速度和准确率。

第五节　梯形

1、梯形的有关概念

（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（2）两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

（3）一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等

（2）等腰梯形的对角线相等。

4、等腰梯形的判别方法

（1）由定义：

两条腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

规律方法

1、解决梯形的问题的基本思路是通过割补、拼接转化成三角形、四边形的问题解决。

通常利用平移、旋转、引辅助线来实现转化。

2．常用的梯形辅助线添加方法：

第六节探索多边形的内角和与外角和

1、多边形的概念

在平面内，由若干条不同一条直角上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形

2、正多边形的概念

在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的内角和、外角和公式

（1）n边形的内角和等于（n－2）×180°

（2）多边形的外角和都等于360°

规律方法

1、在解决有关内角和、外角和的题目中，常常利用外角和360°这一定值来推导多边形的内角。

2、求多边形的边数，通常利用多边形的内角和定理列方程来解决。

第七节平面图形的密铺

1、平面图形密铺（镶嵌）的概念

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

2、能够密铺的同一种图形

三角形、四边形和正六边形可以密铺，

说明：

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形。

规律方法

1、能密铺的同一种图形有：

三角形、四边形、正六边形。

2、各种平面图形能够密铺的必备条件是图形拼合后同一个顶点的若干个角和恰好等于360°。

第八节中心对称图形

1、中心对称图形的定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、中心对称图形的基本性质

中心对称图形上有每一点对应点所连成的线段都被对称中心平分。

规律方法

如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，反之，中心对称图形不一定是轴对称图形。

第五章位置的确定

第一节确定位置　

1、确定位置的两种主要方法

（1）纵、横两直线相交，用交点的惟一性确定物体的位置。

（2）用方位角和距离确定物体的位置。

规律方法

1、确定平面上物体的位置时，一定是一个物体相对于另一个物体的位置，不能孤立起来考虑。

2、确定平面上物体的位置时，要用两个数据来表示，一个数据不能准确表示位置。

第二节平面直角坐标系

1、平面直角坐标系的概念

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点

说明：

两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限，第三象限和第四象限，如图

注意：

坐标轴上的点不在任何一个象限内

2、点的坐标

在平面直角坐标系内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

说明：

①已知坐标平面内的一个点，可以确定它的坐标

②已知点的坐标，在平面直角坐标系中可以描出该点

③坐标平面内的点与有序实数对一一对应的。

规律方法

1、坐标轴上的点，不在任何象限内，其坐标特征是x轴上点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0。

2、各象限内点的坐标的符号特征，如下表

第三节变化的鱼

1、图形上的点的横、纵坐标的变化对图形变化的影响

横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于y轴对称；

纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于x轴对称；

横、纵坐标均乘以－1，图形关于原点对称；

横坐标加2，图形沿x轴正方向平移2个单位；横坐标减2，图形沿x轴向下平移2个单位

纵坐标加2，图形沿y轴正方向平移2个单位；纵坐标减2，图形不沿y轴向下平移2个单位；

横坐标不变，纵坐标都扩大n倍，则图形横向不变，纵向拉长为原来的n倍；

横坐标不变，纵坐标都缩小n倍，则图形横向不变，纵向压缩为原来的

倍；

纵坐标不变，横坐标都扩大n倍，则图形纵向不变，横向拉长为原来的n倍；

纵坐标不变，横坐标都缩小n倍，则图形纵向不变，横向压缩为原来的

倍；

横、纵坐标都扩大n倍，则整个图形横向、纵向均拉长为原来的n倍。

图形的形状不变；

规律方法

通过直角坐标系观察，探索各种变换与对应点坐标的变化情况时，除了应加强对图形变换的认识外，还应注意将变化前后图形的对应点坐标进行对比分析，更重要的是领会数形结合的思路和真正的涵义。

第六章一次函数

第一节　函数

1、一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y的值，那么我们称y是x的函数，其中x中自变量，y是因变量。

规律方法

对于一个实际问题中的两个变量，自身先改变的是自变量，随之而变的是因变量，并且对于每一个自变量的值，都的惟一的因变量与之对应，学习部分内容时我们可以借助分析大量的实际问题来帮忙理解，并可以从相应的图象中直观地感受两个变量之间相互依存的变化关系

有些函数是可以用关系式表示自变量和因变量之间的关系的，而有些函数是不能写出关系式的，这就需要我们采用其他的方式进行表达—图象和图表，有了这三种表达函数的方法我们就可以解决不同情境下的问题了。

第二节一次函数

1、一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx＝6（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y是因变量），特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数

2、写出函数关系表达式

规律方法

1、形如y＝kx＋b（k≠0）的函数是一次函数，特别地当b=0时，函数y＝kx（k≠0）是正比例函数。

2、根据条件写出函数关系式要与列代数式等相联系。

第三节一次函数的图象

1、函数的图象

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

2、一次函数的图象

一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b；正比例函数y＝kx有图象是经过原点（0,0）的一条直线。

作一次函数图象的一般步骤是：

列表、描点、连线。

3、一次函数的性质

在一次函数y＝kx＋b中，当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小。

规律方法

1、作一次函数y＝kx＋b图象，通常选取（0，b）和（－

，0）两点；作正比例函数

y＝kx的图象通常选取（1，k）

2、一次函数的性质：

　k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升；

k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。

3、一次函数图象间的位置关系取决于函数中k、b的取值，k确定直线的方向，b确定直线与y的交点。

第四节确定一次函数表达式

1、确定一次函数的表达式

规律方法

根据条件确定一次函数的表达式需两个条件，确定正比例函数的表达式，则中需一个条件。

运用的方法是特定系数法。

第五节一次函数图象的应用

1、一次函数图象的应用

根据己知的一次函数获取信息，并利用函数的图象解决实际问题。

规律方法

利用一次函数的图象解决实际问题时，要注意通过函数图象获取信息。

发展形象思维，通过函数图象的应用，发展数学应用能力，并从中体会方程与函数的关系，加强“数”与“形”的结合，建立良好的知识联系。

第七章二元一次方程组

第一节谁的包裹多

1、二元一次方程的有关概念

（1）二元一次方程的定义

含有两个末知数，且所含末知