高等代数北大版课件1.3整除的概念.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、带余除法,二、整除,1.3整除的概念,对,一、带余除法,定理,称为除的商，为除,的余式,若,则令,结论成立,若,证：

当时，,结论成立,下面讨论的情形，,假设对次数小于n的，,结论已成立,先证存在性,次数为时结论显然成立,设的首项为,的首项为,则与首项相同，,因而，多项式,的次数小于n或f1为0,若,若,由归纳假设，存在,使得,现在来看次数为n的情形,其中,或者,于是,成立,的存在性得证,由归纳法原理，对,再证唯一性,若同时有,其中,其中,和,则,即,但,矛盾,所以,从而,唯一性得证,附：

综合除法,可按下列计算格式求得：

这里，,的形式,说明：

综合除法一般用于,例1求除的商式和余式,解:

由,）,有,4,解:

1,=,2,3,2,3,4,5=,1,3,6,3,6,1,4,4,1,1,10=,5=,10=,二、整除,1定义,设,记作,即,区别：

零多项式整除零多项式，有意义,除数为零，无意义,所得的商可表成,定理1,2整除的判定,3整除的性质,1）对,有,对,有,即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式,时，与有相同的因式和倍式,2）若，则,证：

使得,使得,若,则,皆为非空常数,4）若,（整除关系的传递性）,5）若,注：

反之不然如,但,6）整除不变性：

两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变,例3求实数满足什么条件时多项式,整除多项式,附：

整数上的带余除法,对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数q、r，,使aqbr，,其中,作业,P441.2）2.2）3.2）4.2）,