分式初中数学第六册教案九年级数学教案.docx

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分式初中数学第六册教案九年级数学教案

分式——初中数学第六册教案_九年级数学教案

分式（2课时）

上课时间     年   月   日星期

一、复习要点

1、分式的通分和约分

2、分式的定义域

3、分式的化简和求值

二、复习过程

1、求代数式的值：

①化  ②代    ③算

例：

①已知x+y=5；xy=3，求x3y+2x2y2+xy3

       ②已知a=-1，b=-3，c=1，求  a2b-[     a2b-（3abc-a2c）-4a2c]-3abc

       ③已知a=            求                  ÷（        -            ）+

       ④已知x=                y=                ，求       +

2、分式的通分和约分

（1）通分最简公分母：

小；高

（2）约分：

注：

              与                 和

3、分式的定义域

①分式                    

（1）何时有意义

（2）何时无意义（3）何时值为0

4、分式的化简和求值

①1-          ÷                      +                                  

其他例题见复习用书13页5（6、7、8、）6

三、小结       1、分式的通分和约分

2、分式的定义域

3、分式的化简和求值

四、练习：

略

五、作业：

见复习用书

分式（2课时）

上课时间     年   月   日星期

一、复习要点

1、分式的通分和约分

2、分式的定义域

3、分式的化简和求值

二、复习过程

1、求代数式的值：

①化  ②代    ③算

例：

①已知x+y=5；xy=3，求x3y+2x2y2+xy3

       ②已知a=-1，b=-3，c=1，求  a2b-[     a2b-（3abc-a2c）-4a2c]-3abc

       ③已知a=            求                  ÷（        -            ）+

       ④已知x=                y=                ，求       +

2、分式的通分和约分

（1）通分最简公分母：

小；高

（2）约分：

注：

              与                 和

3、分式的定义域

①分式                    

（1）何时有意义

（2）何时无意义（3）何时值为0

4、分式的化简和求值

①1-          ÷                      +                                  

其他例题见复习用书13页5（6、7、8、）6

三、小结       1、分式的通分和约分

2、分式的定义域

3、分式的化简和求值

四、练习：

略

五、作业：

见复习用书

教学建议

　　1．知识结构：

　　本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

　　2．重点和难点分析：

　　教学重点和难点：

直角三角形的解法.

　　本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

　　3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

　　锐角三角函数的定义：

　　实际上分别给了三个量的关系：

a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

　　当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

　　如：

已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

　　画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

　　由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

　　即得BC的长为.

　　又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

　　画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

　　也就是

　　这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

　　由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

　　4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

　　5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

　　由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.

　　例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

　　这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：

作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.

　　在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

　　解：

作于D，在Rt中，有

　　；

　　又，在Rt中，有

　　∴

　　又，

　　∴ 

　　于是，有

　　由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

　　（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

　　（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

　　6.要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.

　　很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.

　　我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

　　据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

　　另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

　　设螺纹初始角为，则在Rt中，有

　　∴.

　　即，螺纹的初始角约为.

　　这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

　一、教学目标

　　1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

　　2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

　　3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．重点：

直角三角形的解法。

　　2．难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

　　3．疑点：

学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

　　4．解决办法：

设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

　　三、教学步骤

（一）明确目标

　　1．在三角形中国共产党有几个元素？

　　2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

　　（勾股定理）

　　（3）锐角之间关系 。

　　以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

　　教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。

同时，本课又为以后的应用举例打下基础。

因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。

综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

　　（三）教学过程

　　1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。

这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

　　2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？

”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？

（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）。

　　3．例题

　　【例1】 在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

　　解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。

因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。

其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

　　解：

（1），

（2），

　　∴

　　（3）

　　∴

　　完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？

”

　　答：

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。

计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

　　【例2】 在Rt中，，解这个三角形。

　　在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

　　解：

（1），

　　查表得；

（2）

　　（3），

　　∴。

　　注意：

例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。

但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

　　4．巩固练习

　　解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。

为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力。

　　[参考答案]

　　1．

（1）；

（2）由求出或；

　　（3），

　　或；

　　（4）或。

　　2．

（1）；

（2）。

　　说明：

解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。

但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程。

要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

　　（四）总结扩展

　　1．请学生小结：

在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

　　2．幻灯片出示图表，请学生完成

　　四、布置作业

　　教材P．32习题6．4A组3。

　　[参考答案]

　　3．；

　　五、板书设计

课 题:

两圆的位置关系

教学目的：

掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：

两圆的五种位置的判定．

教学难点：

知识的综合运用．

教学过程（）：

一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相 离

相 切

相 交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d二.讲解:

 圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外 离

外 切

相 交

内 切

内 含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-rd=R-r

d 

定理 设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr）Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外离        （B）相切         （C）内含        （D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外切        （B）内切         （C）外切或内切  （D）不确定

⒊已知：

⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm； ⑵O1O2=7cm；  ⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm； ⑸O1O2=0.5cm；      ⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:

P137    2.3.4.5

教学设计示例1　　教学目标：

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

　　（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

　　教学重点：

　　正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

　　教学难点：

　　对定理的理解以及定理的证明方法．

　　教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

　　观察、分析：

1．等边三角形的边、角各有什么性质？

　　2．正方形的边、角各有什么性质？

　　归纳：

等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

　　教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：

各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

　　①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

　　②矩形是正多边形吗？

为什么？

菱形是正多边形吗？

为什么？

　　矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

　　（三）分析、发现：

　　问题：

正多边形与圆有什么关系呢？

　　发现：

正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

　　分析：

正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

　　（四）多边形和圆的关系的定理

　　定理：

把圆分成n（n≥3）等份：

（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

　　我们以n=5的情况进行证明．

　　已知：

⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

　　求证：

（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

　　证明：

（略）

　　引导学生分析、归纳证明思路：

　　弧相等

　　说明：

（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：

①依次连结圆的n（n≥3）等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n（n≥3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

（2）要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

　　（3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

　　（五）初步应用

　　P157练习

　　1、（口答）矩形是正多边形吗?

菱形是正多边形吗?

为什么?

　　2．求证：

正五边形的对角线相等．

　　3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

　　（六）小结：

　　知识：

（1）正多边形的概念．

（2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

　　能力和方法：

正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

　　（七）作业教材P172习题A组2、3．

教学设计示例2

　　教学目标：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

　　（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

　　（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

　　教学重点：

　　理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

　　教学难点：

　　对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

　　教学活动设计：

（一）提出问题：

　　问题：

上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分（n≥3）圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

　　组织学生自己完成以下活动．

　　实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？

半径是什么？

　　2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？

半径是什么？

　　探究1：

当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

　　探究2：

（1）正方形有外接圆吗？

若有外接圆的圆心在哪？

（正方形对角线的交点．）

（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

　　（3）正方形有内切圆吗？

圆心在哪？

半径是谁？

　　（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

　　过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

　　 同理，点E在⊙O上．

　　所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

　　因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距（OH）为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

　　正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

　　它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

　　其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

　　正五边形的各顶点共圆．

　　正五边形有外接圆．

　　圆心到各边的距离相等．

　　正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

　　照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

　　定理：

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

　　正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．

　　（3）巩固练习：

　　1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

　　2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

　　3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

　　4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

　　（四）正多边形的性质：

　　1、各边都相等．

　　2、各角都相等．

　　观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？

如果是，它们又各应有几条对称轴？

　　3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

　　4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

　　5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

　　以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

　　（五）总结

　　知识：

（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

　　能力：

探索、推理、归纳等能力．

　　方法：

证明点共圆的方法．

　　（六）作业 P159中练习1、2、3．

教学设计示例3

　　教学目标：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

　　（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

　　教学重点：

　　综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

　　教学难点：

综合运用知识证题．

　　教学活动设计：

（一）知识回顾

　　1．什么叫做正多边形？

　　2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

　　3．正多边形有哪些性质？

（边、角、对称性、相似性、有两圆且同心）

　　4．正n边形的每个中心角都等于．

　　5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

　　例1、求证：

各角相等的圆外切五边形是正五边形．

　　已知：

如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

　　求证：

五边形ABCDE是正五边形．

　　分析：

要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

　　教师引导学生分析，学生动手证明．

　　证法1：

连结OA、OB、OC，

　　∵五边形ABCDE外切于⊙O．

　　∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

　　又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

　　∴∠BAO=∠OCB．

　　又∵OB=OB

　　∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

　　∴五边形ABCDE是正五边形．

　　证法2：

作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

　　OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

　　∠B=∠C∠1=∠2=．

　　同理 ===，

　　即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形A