经典专题空间几何的外接球和内切球教师版.docx

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经典专题空间几何的外接球和内切球教师版

专题

（一）——空间几何体的外接球和内切球

一、典例探究

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）.

方法：

找三条两两垂直的线段，直接用公式

，即

，求出

.

例1：

已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为

，体积为

，则这个球的表面积是（）.

A．

B．

C．

D．

解：

，

，

，

，选C.

变式1、若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为

，则其外接球的表面积是.

解：

，

.

变式2、在正三棱锥

中，

分别是棱

的中点，且

若侧棱

则正三棱锥

外接球的表面积是.

解：

引理：

正三棱锥的对棱互垂直.

如图（3）-1，取

的中点

，连接

，

交于

，连接

，则

是底面正三角形

的中心，

平面

，

，

，

，

，

平面

，

，同理：

，

，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，

，

，

，

，

平面

，

，

，

，

，

平面

，

，故三棱锥

的三棱条侧棱两两互相垂直，

，即

，

正三棱锥

外接球的表面积是

.

变式3、在四面体

中，

，

则该四面体的外接球的表面积为（）.

解：

在

中，

，

，

的外接球直径为

，

，

，选D.

变式4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为

、

、

，那么它的外接球的表面积是.

解：

三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为

（

），则

，

，

，

，

，

，

.

变式5、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为

的等腰直角三角形和边长为

的正方形，则该几何体外接球的体积为.

解：

，

，

.

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

模型1：

如图5，

平面

.

解题步骤：

第一步：

将

画在小圆面上，

为小圆直径的一个端点，作小圆的直径

，连接

，则

必过球心

；

第二步：

为

的外心，所以

平面

，算出小圆

的半径

（三角形的外接圆直径算法：

利用正弦定理，得

），

；

第三步：

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

；

.

模型2：

如图6，7，8，

的射影是

的外心

三棱锥

的三条侧棱相等

三棱锥

的底面

在圆锥的底上，顶点

点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：

确定球心

的位置，取

的外心

，则

三点共线；

第二步：

先算出小圆

的半径

，再算出棱锥的高

（也是圆锥的高）；

第三步：

勾股定理：

，解出

.

方法二：

小圆直径参与构造大圆.

例2、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）.

A．

B．

C．

D．以上都不对

解：

选C，

.

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

模型1：

如图9-1，平面

平面

，且

（即

为小圆的直径）

第一步：

易知球心

必是

的外心，即

的外接圆是大圆，先求出小圆的直径

；

第二步：

在

中，可根据正弦定理

，求出

.

模型2：

如图9-2，平面

平面

，且

（即

为小圆的直径）.

.

模型3：

如图9-3，平面

平面

，且

（即

为小圆的直径），且

的射影是

的外心

三棱锥

的三条侧棱相等

三棱

的底面

在圆锥的底上，顶点

点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：

确定球心

的位置，取

的外心

，则

三点共线；

第二步：

先算出小圆

的半径

，再算出棱锥的高

（也是圆锥的高）；

第三步：

勾股定理：

，解出

.

模型4：

如图9-4，平面

平面

，且

（即

为小圆的直径），且

，则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

.

.

例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为

，则该球的表面积为.

解：

（1）由正弦定理或找球心都可得

，

，

变式1、正四棱锥

的底面边长和各侧棱长都为

，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为.

解：

方法一：

找球心的位置，易知

，

，

，故球心在正方形的中心

处，

，

.

方法二：

大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是

的外接圆，此处特殊，

的斜边是球半径，

，

，

.

变式2、在三棱锥

中，

侧棱

与底面

所成的角为

，则该三棱锥外接球的体积为（）.

A．

　B.

　C.4

　D.

解：

选D，圆锥

在以

的圆上，

.

变式3、已知三棱锥

的所有顶点都在球

的求面上,

是边长为

的正三角形,

为球

的直径,且

，则此棱锥的体积为（）.

A．

B．

C．

D．

解：

，

，

，选A.

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

模型：

如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：

确定球心

的位置，

是

的外心，则

平面

；

第二步：

算出小圆

的半径

，

（

也是圆柱的高）；

第三步：

勾股定理：

，解出

.

例4、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

，底面周长为

，则这个球的体积为.

解：

设正六边形边长为

，正六棱柱的高为

，底面外接圆的关径为

，则

，

底面积为

，

，

，

，

，球的体积为

.

变式1、直三棱柱

的各顶点都在同一球面上，若

，则此球的表面积等于.

解：

，

，

，

，

.

变式2、已知

所在的平面与矩形

所在的平面互相垂直，

，则多面体

的外接球的表面积为.

解：

折叠型，法一：

的外接圆半径为

，

，

；法二：

，

，

，

，

.

变式3、在直三棱柱

中，

则直三棱柱

的外接球的表面积为.

解：

，

，

，

，

，

.

类型五、折叠模型

题设：

两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）

第一步：

先画出如图所示的图形，将

画在小圆上，找出

和

的外心

和

；

第二步：

过

和

分别作平面

和平面

的垂线，两垂线的交点即为球心

，连接

；

第三步：

解

，算出

，在

中，勾股定理：

.

例5、三棱锥

中，平面

平面

，△

和△

均为边长为

的正三角形，则三棱锥

外接球的半径为.

解：

，

，

，

，

；

法二：

，

，

，

，

.

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

模型：

三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（

，

，

）

第一步：

画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：

设出长方体的长宽高分别为

，

，

，

，列方程组，

.

补充：

.

第三步：

根据墙角模型，

，

，

，求出

，例如，正四面体的外接球半径可用此法.

例6、棱长为

的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.

解：

截面为

，面积是

；

变式1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为

的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）.

A．

B．

C．

D．

解：

高

，底面外接圆的半径为

，直径为

，设底面边长为

，则

，

，

，三棱锥的体积为

.

变式2、在三棱锥

中，

则三棱锥

外接球的表面积为.

解：

如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为

，则

，

，

，

，

，

，

.

变式3、如图所示三棱锥

，其中

则该三棱锥外接球的表面积为.

解：

同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为

，

，

，

，

.

变式4、正四面体的各条棱长都为

，则该正面体外接球的体积为.

解：

这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，

，

，

.

类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型

模型：

，求三棱锥

外接球半径（分析：

取公共的斜边的中点

，连接

，则

，

为三棱锥

外接球球心，然后在

中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.

例7、在矩形

中，

，

，沿

将矩形

折成一个直二面角

，则四面体

的外接球的体积为（）.

A．

B．

C．

D．

解：

，

，

，选C.

变式、在矩形

中，

，

，沿

将矩形

折叠，连接

，所得三棱锥

的外接球的表面积为.

解：

的中点是球心

，

，

.

类型八、锥体的内切球问题

模型1：

如图14，三棱锥

上正三棱锥，求其外接球的半径.

第一步：

先现出内切球的截面图，

分别是两个三角形的外心；

第二步：

求

，

，

是侧面

的高；

第三步：

由

相似于

，建立等式：

，解出

.

模型2：

如图15，四棱锥

上正四棱锥，求其外接球的半径.

第一步：

先现出内切球的截面图，

三点共线；

第二步：

求

，

，

是侧面

的高；

第三步：

由

相似于

，建立等式：

，解出.

模型3：

三棱锥

是任意三棱锥，求其的内切球半径.

方法：

等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.

第一步：

先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：

设内切球的半径为

，建立等式：

.

第三步：

解出

.

二、课后巩固

1．若三棱锥

的三条侧棱两两垂直，且

，

，则该三棱锥的外接球半径为（）.

A.

B.

C.

D.

解：

，

，选A.

2.三棱锥

中，侧棱

平面

，底面

是边长为

的正三角形，

，则该三棱锥的外接球体积等于.

解：

，

，

，

，外接球体积

.

3．正三棱锥

中，底面

是边长为

的正三角形，侧棱长为

，则该三棱锥的外接球体积等于.

解：

外接圆的半径为，三棱锥

的直径为

，外接球半径

，

或

，

，外接球体积

.

4．三棱锥

中，平面

平面

，△

边长为

的正三角形，

，则三棱锥

外接球的半径为.

解：

的外接圆是大圆，

，

.

5.三棱锥

中，平面

平面

，

，

，

，则三棱锥

外接球的半径为.

解：

，

，

，

，

.

6.三棱锥

中，平面

平面

，

，

，

，则三棱锥

外接球的半径为.

解：

是公共的斜边，

的中点是球心

，球半径为

.