变化率与导数.ppt

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牛顿,莱布尼兹,两人同时创立了微积分,导数及其应用,3.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,第一次,第二次,0.62dm,0.16dm,问题一:

气球膨胀率,气球的平均膨胀率为,气球的平均膨胀率为,当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

思考,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位:

m）与起跳后的时间t（单位:

s）存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:

在0t0.5这段时间里,在1t2这段时间里,问题二:

高台跳水,计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）运动员在这段时间里是静止的吗?

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.,探究,式子,平均变化率的定义,若设x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1）则平均变化率为,这里x看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同理y=f（x2）-f（x1）,yx,=,f（x2）-f（x1）x2x1,=,称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率.,思考?

观察函数f（x）的图象平均变化率表示什么?

O,A,B,x,y,Y=f（x）,x1,x2,f（x1）,f（x2）,x2-x1=x,f（x2）-f（x1）=y,直线AB的斜率,例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）1，3；

（2）1，2；（3）1，1.1,4,3,2.1,例题讲解,例2.求函数y=5x2+6在区间2，2+x内的平均变化率。

解y=5（2+x）2+6-（522+6）=20x+5x2,所以平均变化率为,例题讲解,1.一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（）A4B8C6D6,C,课堂练习,2.设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（）Af（x0+x）Bf（x0）+xCf（x0）xDf（x0+x）f（x0）,D,3.已知f（x）=2x2+1

（1）求:

其从x1到x2的平均变化率；

（2）求:

其从x0到x0+x的平均变化率，并求x0=1,x=时的平均变化率。

（1）2（x1+x2）,

（2）4x0+2x,5,课堂练习,小结：

1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:

3.函数的平均变化率的几何意义：

（1）求函数的改变量：

f；,

（2）计算平均变化率,表示函数图象上两点A（x1,f（x1）,B（x2,f（x2）连线（割线）的斜率。

在高台跳水中，函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,如何求2时的瞬时速度？

瞬时速度：

物体在某一时刻的速度,3.1.2导数的概念,当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

瞬时速度,（在局部）先求平均速度，然后取极限。

如何求瞬时速度？

lim是什么意思？

在其下面的条件下求右面的极限值。

运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示?

思考,、函数的平均变化率怎么表示？

思考,导数的定义:

函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是,称为函数y=f（x）在x=x0处的导数,记作,或,导数的作用：

在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；,在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,求函数y=f（x）在点x0处的导数的基本步骤是:

注意：

x可正也可负.,一差、二比、三极限,例1.

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.,

（2）求函数f（x）=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,（3）质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,例1.

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.,例题讲解,例1.

（2）求函数f（x）=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,例题讲解,例1.（3）质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,练习,计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

这说明:

在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。

练习：

小结：

1求物体运动的瞬时速度：

（1）求位移增量s=s（t+t）-s（t）

（2）求平均速度（3）求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤：

（1）求函数的增量y=f（x0+t）-f（x0）

（2）求平均变化率（3）求极限,一、复习,1、导数的定义,其中：

其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。

其几何意义是？

3.1.3导数的几何意义,P,Pn,o,x,y,y=f（x）,割线,切线,T,（曲线在某一点处）切线的定义,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.,通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。

所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

此处切线的定义与以前的定义有何不同？

思考,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？

即：

当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,探究,函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率，即曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率是.,故曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线方程是:

结论,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？

当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:

这个概念:

提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:

1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1:

（1）求函数y=3x2在点（1,3）处的导数.,

（2）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.,例题讲解,例2:

如图,已知曲线,求:

（1）点P处的切线的斜率;

（2）点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,

（2）在点P处的切线方程是y-8/3=4（x-2）,即12x-3y-16=0.,h,t,o,函数的导函数,函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。

练：

设f（x）为可导函数,且满足条件,求曲线y=f（x）在点（1,f

（1）处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,巩固提高,课堂练习:

如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。

P80.B2：

根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。

（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；

（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；,练习:

思考：

物体作自由落体运动,运动方程为：

其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：

（1）物体在时间区间2,2.1上的平均速度；

（2）物体在时间区间2,2.01上的平均速度；（3）物体在t=2（s）时的瞬时速度.,分析:

解:

（1）将t=0.1代入上式，得:

（2）将t=0.01代入上式，得:

小结：

1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:

（1）求函数的增量：

f=y=f（x2）-f（x1）f（x1x）f（x1）;

（2）计算平均变化率,3.函数的平均变化率的几何意义：

表示函数图象上两点A（x1,f（x1）,B（x2,f（x2）连线（割线）的斜率。

4.函数在x=x0的瞬时变化率,