指数对数概念及运算公式.docx

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指数对数概念及运算公式

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指数对数概念及运算公式

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指数函数及对数函数重难点

根式的概念：

①定义：

若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若

，则称的次方根，

1）当为奇数时，次方根记作；

2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作

.

②性质：

1）；2）当为奇数时，；

3）当为偶数时，

幂的有关概念：

①规定：

1）N*，2），

n个

3）Q，4）、N*且

②性质：

1）、Q），

2）、Q），

3）Q）

（注）上述性质对r、R均适用.

例求值

（1）

（2）（3）（4）

例.用分数指数幂表示下列分式（其中各式字母均为正数）

（1）（２）（３）

（４）（５）（6）

例.化简求值

（1）

=

指数函数的定义：

①定义：

函数称指数函数，

1）函数的定义域为R，

2）函数的值域为，

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.

提问：

在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

（7）（8）（＞1，且）

例：

比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5与1.73

（2）与

（3）1.70.3与0.93.1

例：

已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

思考：

已知按大小顺序排列.

O

例如图为指数函数，则与1的大小关系为

（A）（B）

（C）（D）

1、函数是（）

A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

2、函数的值域是（）

A、B、C、D、

3、已知,则函数的图像必定不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

例．求函数的值域和单调区间

例若不等式3>（）x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.

.f（x）=，则f（x）值域为______.

考查分段函数值域.

【解析】x∈（－∞,1］时,x－1≤0,0<3x－1≤1,

∴－2

x∈（1,+∞）时，1－x<0,0<31－x<1,∴－2

∴f（x）值域为（－2,－1］

【答案】（－2,－1］

例、已知，则函数的值域是_____________

例点（2，1）与（1，2）在函数的图象上，求的解析式

例.设函数，求使的取值范围．

例已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

对数的概念：

①定义：

如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，记作，

2）以无理数为底的对数称自然对数，记作

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），

2），

3），

4）对数恒等式：

例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）54=645

（2）（3）

（4）（5）（6）

例：

求下列各式中x的值

（1）

（2）（3）（4）

分析：

将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

练习：

将下列指数式与对数式互化，有的求出的值.

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

例利用对数恒等式，求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

③运算性质：

如果则

1）；

2）；

3）R）.

④换底公式：

，2）

对数函数的运算规律

例．用，，表示下列各式：

（2）

．

（1）；

（2）．

解：

（1）

；

例．求下列各式的值：

（1）；

（2）．

解：

（1）原式==；

（2）原式=

例．计算：

（1）lg1421g；

（2）；

（3）　　（4）lg2·lg50+（lg5）2

（5）lg25+lg2·lg50+（lg2）2

解：

（1）

；

（2）；

例．计算：

（1）；

（2）．

解：

（1）原式=；

（2）原式=．

例．求值：

（1）；

；

（3）.

例．求值

（1）log89·log2732

（2）

（3）

（4）（log2125+log425+log85）（log1258+log254+log52）

对数函数性质典型例题

例．比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；

（2），；

解：

（1）对数函数在上是增函数，

于是；

（2）对数函数在上是减函数，

于是；

2、比较大小

（1）_________

（2）________

3若，则的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

4已知，则的大小关系是（）

（B）（C）（D）

例比较下列各组数中的两个值大小：

（1）log23.4，log28.5

（2）log0.31.8，log0.32.7

（3）loga5.1，loga5.9（a＞0且a≠1）

例如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？

提示：

作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c＜d＜1＜a＜b

例求下列函数的定义域.

（1）y=

（2）y=ln（ax-k·2x）（a＞0且a≠1，k∈R）.

例．求函数的单调区间

解：

设，，由得，知定义域为

又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数

的单调增区间为，单调减区间为

例函数的单调减区间是________。

例已知y=log4（2x+3－x2）.

（1）求定义域；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.

考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.

【解】

（1）由2x+3－x2>0,解得－1

∴f（x）定义域为{x|－1

（2）令u=2x+3－x2，则u>0,y=log4u

由于u=2x+3－x2=－（x－1）2+4

再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,

又y=log4u为（0,+∞）增函数，

故该函数单调递增区间为（－1，1］，减区间为［1，3）

（3）∵u=2x+3－x2=－（x－1）2+4≤4

∴y=log4u≤log44=1

故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.

例求函数的最小值．

变式．求函数的定义域及值域．

例已知函数y=f（2x）定义域为［1，2］,则y=f（log2x）的定义域为（）

A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］

考查函数定义域的理解.

【解析】由1≤x≤22≤2x≤4,

∴y=f（x）定义域为［2，4］

由2≤log2x≤4,得4≤x≤16

【答案】B

例作出下列函数的图像，并指出其单调区间．

（1）y=lg（－x），

（2）y=log2|x＋1|

例已知函数f（t）=log2t，.

（1）求f（t）的值域G；

（2）若对于G内的所有实数x，不等式－x2+2mx－m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.

例已知函数f（x）=,其中为常数，若当x∈（－∞,1］时,f（x）有意义，求实数a的取值范围.

分析：

参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元（x）的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

解：

>0,且a2－a+1=（a－）2+>0,

∴1+2x+4x·a>0,a>,

当x∈（－∞,1]时,y=与y=都是减函数，

∴y=在（－∞,1]上是增函数，max=－,

∴a>－,故a的取值范围是（－,+∞）.

例已知a>0且a≠1,f（logax）=（x－）

（1）求f（x）；

（2）判断f（x）的奇偶性与单调性；

（3）对于f（x）,当x∈（－1,1）时,有f（1－m）+f（1－m2）<0,求m的集合M.

解：

（1）令t=logax（t∈R），则

f（x）在R上都是增函数.

例已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

例、已知函数.

（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若函数在[10，+∞）上单调递增，求k的取值范围.

1．函数的定义域是（）

A．B．C．D．

2．．已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞］时，f（x）≥0恒成立，则

（）

A．b≤1B．b＜1C．b≥1D．b=1

3．函数y=的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，－3）B．（－∞，－1）C．［1，+∞］D．［－3，－1］

4．设f（x）是定义在A上的减函数，且f（x）＞0，则下列函数：

y=3－2f（x）,y=1+,y=f2（x）,y=1－，其中增函数的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

5、.若集合M={y|y=2—x},P={y|y=},M∩P=（）

A．{y|y>1}B．{y|y≥1}C．{y|y>0}D．{y|y≥0}

6、设，则（）

A、B、C、D、

7、在中，实数的取值范围是（）

A、B、C、D、

8、已知函数，其中，则的值为（）

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9、函数的图象的大致形状是（）

10．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*，下列各式不恒等的是（）

A．loganx＝logaxB．logax＝nloga

C．＝xD．logaxn＋logayn＝n（logax＋logay）

11的值是（）

B．1C．D．2

12函数f（x）=lnx－零点所在的大致区间是

A（1，2）B（2，3）C（e，+∞）D

13．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

14．函数的递减区间为

A.（1，+）B.（－，］C.（，+）D.（－，］

15．如果是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是

A．B．

C．D．以上关系均不确定

16．函数、均为偶函数，且当x∈[0，2]时，是减函数，设，,则a、b、c的大小是

A．B．C．D．

17、如果方程的两根是，则的值是（）

A、B、C、35D、

18、已知，那么等于（）

A、B、C、D、

19．三个数的大小顺序是（）

（A）（B）

（C）（D）

20、函数的值域是（）

A、B、C、D、